数学七年级下人教版暑假专题-整式的运算复习拓展

暑假专题——整式的运算复习拓展

复习知识要点：

整式定义单项式多项式

运算加减——合并同类项

乘

除基本运算：幂的运算性质

法则乘法除法

公式乘法公式零指数幂负整数指数幂????????????????????

??

?

?

?

?

?

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???

???

?

??????

?????

????

???

?

?

????

?

【典型例题】

例1. 计算下列各题。

（1）()()()()

[

]

23521

12

212

3

20

3

a b a b a b a b a b n n n n

+---÷-÷--·· （2）

(

)

3

339333

3

3

2

1

1

2

n n n n n

+++++?+??÷

（3）若A x x Bx x x C xx x =-+-=--+=+-3214243322332

，，，求A B C -+的值。 解：（1）原式=----23

5821121366

a b a b a b a n n n ··· =-+803

2106

a b n （2）原式=

??=++-3333

33

22n n n

（3）原式()

=-+----+++-32142433

2

2

3

3

2

x x x x x xx x =-752

x

例2. 若x 、y 均不等于0或1，且()

x y x y n mn ++

=223

915，求312

52

3

m m n n +-的值。

解：∵x 、y 均不等于0或1，且()

15

9

3

22x

x y

x

n

m n =++，所以可得

()(

)3293215n m n +=+=?????，解得n m ==12，

将n m ==12，代入，得：

31253212

12518

2323

m m n n +-=?+??-?=

例3. 若能将3472

x x -+表示成()()ax b x c ++++

112

的形式，求证：c a b -+=1 证明：令x t +=1，则x t =-1 代入347

2

x x -+得： ()()()()14

103141101314

1037

14137

432

2

2

2

=-==∴++-+=+-=+---=+-c b a x x t t t t x x

，，

则c a b -+=--=143101 ∴-+=c a b 1

例4. 设M N ==357246456321357240456312

，，试比较M 与N 的大小。 解：令M x y

=

，则N x y =

--69

，且y y ->>900

， 所以()()()()()

M N x y x y x y y x y y y x y y -=---=----=--699693239

x y x y

y x ==∴>∴-<357246456321

32230

，

∴-

，即M ＜N 注：上述例3、例4所使用的方法是换元法，即用新的变元替代某个式子，从而使问题转化（化难为易，化繁为简），这种换元的方法在代数式变形中是十分有效的。

例5. 若

x y z 325

==，且x y y z z x ++=93，求9122222

x y z ++的值。 解：设x y z k 3

2

5

==

=，则x k y k z k ===325，，

由x y y z z x ++=93得：6101593222

k k k ++= ∴=k

2

3

所以9122991242251795372

2

2

2

2

2

2

x yz k k k k ++=?+?+?==

例6. 若a 、b 、c 为非零数，且

a

a

c b b

c

b a c

c

b a -+=

+-=

-+。

求：

()()()

a b b c c a a b c

+++的值。

解：设

a b c c a b c b b c a

a

k

+-=-+=+-= 那么a b c kc

a b c kb

b c a ka +-=<>-+=<>+-=<>

???

?

?123 <>+<>+<>123得：()

abc k abc ++=++ 则()()a b c k ++-=10

若a b c ++=0

时，a b c b c a c a b +=-+=-+=-，， 那么()()()()()()

ab bc c a a b c

c a b a b c

+++=

---=-1

若a b c ++≠0

，则 k a bc b c a c ab =+=+=+=1222

，，， 那么

()()()

a b b c c a a b c

a b c a b c

+++==2228··

综上所述，

()()()

a b b c c a a b c

+++的值为-1或8

注：从上述例5、例6可以看到，对于已知条件是一个连等式或连比式时，不妨设连等式或连比式的值为k 或其他形式，然后利用等式证明的相应技巧进行适当变形。

例7. 已知：多项式a x b x c x 5

3

9+++，当x =3时，它的值为81，则当x =-3

时，它的值为多少？ 解：当x =3时，

a x

b x

c x a b c 5

3

5

3

9333981+++=+++=

当x =-3

时，

()()()

a x

b x

c x a b c 53

53

93339+++=-+-+-+ (

)

=-++++=-33391863

53

a b c

例8. 设a b c b -=-=313，，求代数式()()3252a c c a -+--

的值。 解： a b c b -=-=31

3

，

()()∴-=

∴-+--=?? ???-?-=a c a c c a 83

325383283

51

122

注：例7、例8中可以看到，将整个代数式看作一个变量进行代换，把它作为整体变形的一部分，进而使问题合理而迅速地得到解决。

例9. 求满足()

n n n 2

2

11

--=+条件的所有整数n 的和。 解：据整数指数幂的运算和整式的运算，得满足()n n n 2

2

11

--=+的条件的情况有： （1）当n +=20且n n 2

10--≠时， ()()n n n n n 2

2

2

111--=--=

+ 此时n =-2

（2）当n n 2

11--=时，()

n n n n 2

2

2

111

--==++ 此时n n 2

11--=，解得：()()n n -+=

210 ∴=n 2或n =-1

（3）当n n 2

11--=-且n +2是偶数时， ()

()

n n n n 2

2

2

111--=-=++

此时，n n 20-=得()nn -=10

∴=n 0或n =1（n =1时，n +2不是偶数，故应舍去），取n =0 ∴满足()

n n n 2

2

11--=+条件的所有整数n 为--2210，，，

即所有整数n 的和为-1

例10. 如果m m m ，，++810都是质数，请你写出所有符合条件的m 。 解：（1）设m =3时，m m +=+=8111013，都是质数 （2）当m ≠3时，设m P =+31或m P =+32，P 是正整数 当m P =+31时，()m P P +=++=+831833是合数 ∴≠+m P 31

当m P =+32时，()m P P +=++=+10321034是合数 ∴≠+m P 32

所以符合条件的质数只有m =3

［小结］

1. 复习巩固整式运算一章的概念、法则、公式。

2. 进一步提高对换元思想方法的理解和掌握。

3. 通过本节拓展进一步提高分析问题和解决问题的能力。

【模拟试题】（答题时间：15分钟）

1. 设a 、b 、c 的平均数为M ，a 、b 的平均数为N ，N 、C 的平均数为P ，若a b c >>，则P_______M （填数量关系符号）。

2. 已知关于x 的一次式在x =1和x =-1时，它的值分别是-3和11，求当x =12

时，这个一次式的值。

3. 已知a a bb a a b b 2222

34223

-

-=--+=-，，求b 的值。 4. 设a b <<0

，若493722

a b a b +=，则2323a b a b

+-的值为多少？ 5. 若2

2

2

2

z y

x

s ++=，其中x 、y 是相邻的整数，且z x y =，求证：S 是奇数。

【试题答案】

1. ＜

2. 当x =12时，它的值为12

3. b =±16

4.

5

7

5. 解：不妨假设x y <，故y x =+1，则(

)

2

2

2

1

++=x x

s

又x x x 2

2

11234

++=+?? ???+>

所以()1

x

=x

s

+

1+

()

x x+1为偶数

那么()

11为奇数x x++

即S为奇数