2018年大学生数学竞赛模拟赛试题(数学类)

2018年大学生数学竞赛模拟赛试题（数学类）

一、（15分）在仿射坐标系中，求过点0(0,0,2)M ?，与平面1:3210x y z π?+?=平行，且与直线113:421

x y z l ??==?相交的直线l 的方程。二、（12分）设()+∞<<∞?x x f )(为二次可微函数，+∞

<=+∞<<∞?)(sup )(x f

M k x k )2,0(=k .试证：+∞<'=+∞<<∞?)(sup M 1x f x ，且20212M M M ≤. )()0(x f

表示)(x f .

三、（13分）设函数项级数∑+∞

=1)(k k x u 在[ a, b ]上收敛，且存在常数G 使得对任

何自然数n 及实数x ∈[ a, b ]恒有G x u k k

<'∑+∞=|)(|1。试证∑+∞

=1)(k k x u 在[ a, b ]上一致收敛。

四、（13分）判断函数n n n x x f +=1)(，（20≤≤x ）是否一致收敛？

五、（12分）设?=+++?=222)(22R y y x x R y x y d y x d x I σσ，，求σ,lim R R I ∞→.

六、(15分) 设A 为数域P 上的n 阶方阵，)(t f 与)(t g 为数域P 上的两个互素的多项式，

}0)(|P {1=∈=x A f x V n ,}

0)(|P {2=∈=x A g x V n 分别为齐次线性方程组0)(=x A f 和0)(=x A g 的解空间.证明：

21P 0)()(V V A g A f n ⊕=?=，

其中n

P 为数域P 上n 维列向量在通常运算下构成的线性空间.七、（20分）设σ，?为数域P 上的n 维线性空间V 的两个线性变换，且0=n σ，01≠?n σ.

（1）(8分)证明：存在V 的一组基使得σ在此基下的矩阵为),0(n J ，其中),0(n J 表示对角元均为0的n 阶Jordan 块；

（2）(6分)若0=n ?，01≠?n ?，证明：σ与?相似；

（3）(6分)若?σσ?=，证明：存在数域P 上的多项式)(t g 使得)(σ?g =.