高二数学下册期末试卷

高二数学下册期末试卷

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卷共4页．满分100分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共48分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名．准考证号．考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

一．选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的．

1．如图，正四面体S -ABC 中，D 为SC 的中点，E 为AB 的中点，则

直线BD 与SE 一定相互 A ．平行 B ．相交 C ．异面

D ．垂直

2．已知直线m 和不同的平面α，β，下列命题中正确的是

A ．

αββα//m m ??

??

⊥⊥

B ．βαβα⊥??

???⊥m m

C ．

βαβα//////??

??

m m D ．

βαβα////m m ??

??

? 3．直角三角形ABC 的直角边AB 在平面α内，顶点C 在α外，且C 在α内的射影为C 1（C 1

不在AB 上），则△ABC 1是 A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形

D ．以上都有可能

4．已知向量a =(2，-1，3)，b =(-4，2，x )，且(a +b )⊥a ，则x =

A ．

3

4

B ．3

4-

C ．

4

3

D ．4

3-

5．若随机变量ξ服从标准正态分布N (0，1)，已知Φ(1.96)=0.975，则P (∣ξ∣<1.96)= A ．0.950 B ．0.975 C ．0.025 D ．0.050 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为AB 的中点，则A 1E 与CD 1所成角的余弦值为

A ．

10

10 B ．

10

10

3 C ．

10

1 D ．

10

3 7．如图，OABC 是四面体，G 是△ABC 的重心，G 1是OG 上一点，且OG =3OG 1，则

A

E

B

C

S

A ．OC O

B OA OG ++=1

B ．O

C OB OA OG 31

31311++=

C ．91

91911++=

D ．4

3

43431++=

8．设(x 2

+1)(2x +1)7

=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2

+a 3(x +2)3

+…+a 9(x +2)9

，则a 0+a 1+a 2 +a 3+…+a 9的值为 A ．-1

B ．-2

C ．1

D ．2

9．从1，2，3，4，5中任取4个数，组成没有重复数字的四位数，则这个数恰好是任何两个相邻数字的奇偶性都不同的四位数的概率是 A ．

10

1 B ．

5

1 C ．

10

3 D ．

5

3 10．A 、B 、C 是球O 面上的三点，OA 与平行于截面ABC 的大圆面所成的角的大小为60o，且球心O 到截面ABC 的距离为4cm ，则球O 的表面积为

A ．

π3256

cm 2 B ．256πcm 2

C ．π3

64cm 2

D ．64πcm 2

11．底面边长为2的正三棱锥P -ABC 中，E 是BC 的中点，若△PAE 的面积为

41

，则侧棱PA 与底面所成角的正切值是 A ．1

B ．

2

1 C ．

3

1 D ．

4

1 12．正三角形ABC 的边长为a ，P 、Q 分别是AB 、AC 上的点，PQ //BC ，沿PQ 将△ABC 折起，使

平面APQ ⊥平面BPQC ，设折叠后A 、B 两点间的距离为d ，则d 的最小值为 A ．a 8

5 B ．

a 85 C ．a 8

10 D ．

a 4

10

第Ⅱ卷（非选择题，共52分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上． 2．答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚．

二．填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卷中的横线上． 13．一个容量为20的样本数据，分组后组距为10，区间和频数分布如下：(]2010，，2；

(]3020，，3；(]4030，，4；(]5040，，5；(]6050，，4；(]7060，，2．则样本在

(]40，∞-上的频率为____________．

14．若随机变量ξ～B (n ，p )，且E ξ=6，D ξ=2，则p 的值是___________．

15．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步

或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有__________种．（用数字作答）

16．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，

给出下列四个结论：

①四边形BFD 1E 一定是平行四边形； ②四边形BFD 1E 有可能是正方形；

③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④平面BFD 1E 有可能垂直于平面ABB 1A 1．

其中正确的结论有____________．（写出所有正确结论的编号） 三．解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明．证明过程或

演算步骤．

17．如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，E 、F 、G 分别是AC 、AB 、AA 1的中点．

（1）请在图中作出过BC 且平行于平面EFG 的一个截面，并

说明理由；

（2）求所作截面图形的面积．

18．2009年6月2日，《食品安全法》正式公布实施，最引人注

目的是取消了“食品免检”．某品牌食品在进入市场前必须对四项指标依次．．

进行检测．如果四项指标中的第四项不合格或其他三项中的两项不合格，则该品牌食品不能进入市场．已知每项检测是相互独立的，第四项指标不合格的概率为

5

2，其他三项指标不合格的概率均是51

．

（1）求恰在第三项指标检测结束时，能确定该食品不能进入市场的概率；

（2）若在检测到能确定该食品不能进入市场，则检测结束，否则继续，直至四项指标检测完．设在检测结束时所进行的检测次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n = n 2

a n （n ∈N *）．

（1）求S 1，S 2，S 3，S 4的值；

（2）猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．

20．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA =AD =2，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． （1）求二面角P -CD -B 的大小；

（2）求证：平面MND ⊥平面PCD ；

A D

C

B

A 1 C 1 D 1

B 1

E

F C A 1

C 1

A

B

F

E

G

P

A

D

N

（3）求点P 到平面MND 的距离．

四川省遂宁市08-09学年高二下学期期末试卷

数学试题（理科）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．

1—5 CDABA 6—10 BCBBA 11—12 DD 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．

13．0.45

14．

3

2 15．96 16．①④ 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明

过程或演算步骤．

17．解：（1）如图，连接A 1B ，A 1C ，则截面A 1BC 即为所求． ……………………………………………………………3分

理由如下：

∵ E 、F 、G 分别是AC 、AB 、AA 1的中点， ∴ GE //A 1C ，EF //BC ． 由GE ∩EF =E ，A 1C ∩BC =C ，

∴ 平面EFG //平面A 1CB ． ……………………………6分 （2）∵ 此三棱柱是正三棱柱，且各棱长均为a ， ∴ A 1C =2a ，A 1B =2a ，BC =a ， ∴ 截面图形△A 1BC 是等腰三角形，

且底边BC 上的高为a a a 2

7

)2()2(22=

-． ∴ △A 1BC 的面积为24

727211a a a S BC A =??=?． 即截面图形的面积为

2

4

7a ．…………………………………………………………10分 18．解：（1）125

85151)511(1

2=

??-?=C P ． ……………………………………………4分 （2）由题知，ξ=2，3，4．

P (ξ=2)=25

1

5151=?，

P (ξ=3)=12585151)511(1

2=

??-?C ， P (ξ=4)=)521(51)511(5251)511()521()511(52)511(21

321333-??-?+??-?+-?-+?-C C

=51)54()54(21

33??+C

=125

112，

C A 1

C 1

A F

E

G

∴ ξ的分布列为：

8分 ∴ E ξ=125

112

4125832512?

+?+? =

125

482， 即ξ的数学期望为125

482

． ……………………………………………………………10分 19．解：（1）S 1=a 1=1，

由题知，S 2=4a 2，即a 1+a 2=4a 2，得a 2=

31a 1=31，∴ S 2=3

4

． 同理得，S 3=9a 3，即S 2+a 3=9a 3，得a 3=81S 2=3481?=61，∴ S 3=23

．

S 4=16a 4，即S 3+a 4=16a 4，得a 4=151S 3=23151?=10

1，∴ S 4=58

．

……………………………………………………………………………………………4分

（2）猜想：S n =

1

2+n n

．…………………………………………………………………6分 证明：①当n =1时，11

11

21=+?=S ，与已知相符，故结论成立．

②假设当n =k 时，结论成立，即S k =1

2+k k

．

由已知有S k +1=(k +1)2

a k +1

=(k +1)2

(S k +1-S k )，

整理得[(k +1)2

-1]S k +1=(k +1)2

S k ，即S k +1=k S k

k k 2)1(22

++，

∴ S k +1=122)1(22+?

++k k k k k =1)1()1(22

)1(2+++=++k k k k ， 即当n =k +1时，结论也成立． 综上①②知，对n ∈N *，S n =

1

2+n n

．…………………………………………………10分 20．解法一：（1）∵ PA ⊥平面ABCD ，

∴ AD 是PD 在平面ABCD 上的射影． 由ABCD

是正方形知AD ⊥CD ， ∴ PD ⊥CD ．

∴ ∠PDA 是二面角P -CD -B 的平面角． ∵ PA =AD ， ∴ ∠PDA =45o，

即二面角P -CD -B 的大小为45o．………3分 （2）如图，建立空间直角坐标系至A -xyz ，则

P (0，0，2)，D (0，2，0)，C (2，2，0)， M (1，0，0)，

∵ N 是PC 的中点， ∴ N (1，1，1)，

∴ =MN (0，1，1)，=ND (-1，1，-1)，=(0，2，-2)．

设平面MND 的一个法向量为m =(x 1，y 1，z 1)，平面PCD 的一个法向量为n =(x 2，y 2，z 2)．

∴ m 0=?MN ，m 0=?ND ，即有???=-+-=+.001

1111z y x z y ，

令z 1=1，得x 1=-2，y 1=-1． ∴ m =(-2，-1，1)．

同理由n 0=?，n 0=?，即有???=-=-+-.022022

222z y z y x ，

令z 2=1，得x 2=0，y 2=1， ∴ n =(0，1，1)．

∵ m ·n =-2×+(-1)×1+1×1=0， ∴ m ⊥n ．

∴ 平面MND ⊥平面PCD ．……………………………………………………………6分 （3）设P 到平面MND 的距离为d ． 由（2）知平面MND 的法向量m =(-2，-1，1) ∵ ?PD m =(0，2，-2)·(-2，-1，1)=-4， ∴ |?m |=4．

又 |m |=611222

2=+-+-）（）

（， ∴ d =

.3626

4||||==?m m PD 即点P 到平面MND 的距离为3

6

2．………………………………………………10分 解法二：（1）同解法一．

（2）作PD 的中点E ，连接AE ，如图．

∵ NE 平行且等于CD 21，AM 平行且等于CD 2

1， ∴ NE 与AM 平行且相等，于是四边形AMNE 是平行四边形，

∴ AE //MN ． ∵ PA =AD ， ∴ AE ⊥PD ．

P

A D

M

N E

∵ PA ⊥面ABCD ， ∴ PA ⊥CD ． 又∵ CD ⊥AD ， ∴ CD ⊥面PAD ． ∴ CD ⊥AE ． ∴ AE ⊥面PCD ． ∴ MN ⊥面PCD ． 又∵ MN ?面MND ，

∴ 平面MND ⊥平面PCD ．……………………6分 （3）设P 到平面MND 的距离为d ，

由MND P PND M V V --=，有d S MN S MND PND ?=???3

1

31，

即d MN ND MN NE PD ????=????2

1

312131， ∴ ND

NE

PD d ?=

． ∵ 在Rt △PDC 中，3)22(22

121212222=+=+==AC PA PC ND ． 又PD =22，NE =AM =

2

1

AB =1， ∴36

23

122=?=

d ，

即P 到平面MND 的距离为

3

6

2．…………………………………………………10分