人教版九年级数学上册《第二十四章章末复习》名师教案

第24章章末回顾

一、本章思维导图

二、典型例题讲解

例1．（1）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为．

C

D

O

A

B

【知识点】三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理

【数学思想】转化思想、方程思想

【解题过程】解：连接DC，

∵AD是⊙O的直径

∴∠ACD＝90°

又∵∠ABC=∠DAC，∠ABC＝∠ADC

∴∠ADC =∠DAC

C

D

O

A

B

设AC ＝DC ＝x ∵AD=4，∠ACD ＝90°

∴由勾股定理：222AD DC AC =+，即2224=+x x 解得：22=x ∴AC ＝22

【思路点拨】在圆中，根据直径所对的圆周角是直角这一性质，往往会围绕直径构造直角三角形（即图中的Rt △ADC ）．同时在圆中，根据同弧或等弧所对的圆周角相等这一性质，进行等角的转化（即图中的∠ABC ＝∠ADC ）．

（2）如图，在半径为5的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，求OP 的长．

【知识点】垂径定理、等弦对等弦心距、等圆的有关性质、正方形的判定和性质、勾股定理 【数学思想】方程思想

【解题过程】解：过点O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为E 、F

∴DF ＝FC ＝DC 21

又∵DC ＝8 ∴DF ＝4 又∵OD ＝5

∴在Rt △OFD 中，由勾股定理得 OF ＝3452

2

=-

又∵AB ⊥CD ，OF ⊥DC ，OE ⊥AB ∴∠FPE ＝∠PEO ＝∠PFO ∴四边形OEPF 是矩形

∴OE ＝OF

∴矩形OEPF 是正方形 ∴OF ＝PF ＝3

∴在Rt △OFP 中，由勾股定理得：OP ＝233322=+

【思路点拨】本题需根据垂径定理构造由“半径＋半弦长＋弦心距”组成的直角三角形． 例2．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，求图中休闲区（阴影部分）的面积是多少？

【知识点】扇形面积、三角形面积、含30°的直角三角形、勾股定理 【数学思想】割补思想 【解题过程】解：连接DO ，

∵弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，

∴OC =21OA =2

1×6=3米，

∵∠AOB =90°，CD ∥OB ， ∴CD ⊥OA ，

在Rt △OCD 中，∵OD =6米，OC =3米 ∴∠ODC ＝30° ∴∠DOC =60°

又∵在Rt △ODC 中，由勾股定理得： DC ＝333632=-米

∴S 阴影=S 扇形AOD ﹣S △DOC =

)2

3

96(333213606602-=??-??ππ平方米． 【思路点拨】阴影部分的面积不太好直接求，可以通过连接OD ，用扇形AOD 的面积减去△

DOC 的面积来得到，而求扇形AOD 面积的关键是圆心角∠AOD 的度数．

例3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；

（2）当∠BAC ＝60o时，DE 与DF 有何数量关系？请说明理由；

C

【知识点】等腰三角形的判定和性质，平行的判定和性质，圆的切线的判定，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质 【数学思想】转化思想

【解题过程】（1）证明：连接OD ， ∵AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠C 又∵OD ＝OB ∴∠ABC ＝∠ODB 。 ∴∠ODB ＝∠C 。 ∴OD ∥AC ∴∠AED ＝∠ODF 又∵EF ⊥AC ∴∠AED ＝90° ∴∠ODF ＝90° ∴OD ⊥EF

∴EF 是⊙O 的切线。

（2）DE 与DF 的数量关系为：DF ＝2DE 。理由如下：

C

连接AD

∵AB 是⊙O 的直径 ∴AD ⊥BC

∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60o， ∴∠CAD ＝∠DAB ＝1

2

∠BAC ＝30°。 ∵∠F ＝90°－∠BAC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DAF ＝∠F ∴AD ＝DF

又∵∠EAD ＝30°，EF ⊥AC ∴AD ＝2DE ∴DF ＝2DE

【思路点拨】（1）要证EF 是⊙O 的切线，只要证EF 垂直于过切点的半径，故连接OD ，从而由等腰三角形等边对等角的性质和平行的性质即可得到证明。

（2）要证DF ＝2DE ，即要考虑把它们放到同一个三角形中。一方面可以由直径所对圆周角是直角的定理和等腰三角形底边上三线全一的性质证明AD ＝DF ；另一方面可以由含30°角的直角三角形中30°角所对的边是斜边一半的性质证明AD ＝2DE 。从而得证。

24章 章末检测（王鹏鹏）

一、选择题

1.下列说法正确的是（ ） A ．三点确定一个圆

B ．一个三角形只有一个外接圆

C ．和半径垂直的直线是圆的切线

D ．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 【知识点】圆的认识．

【解题过程】解：A 、不共线的三点确定一个圆，所以A 选项错误； B 、一个三角形只有一个外接圆，所以B 选项正确；

C 、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C 选项错误；

D 、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D 选项错误． 故选B ．

C

【思路点拨】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．

【答案】B

2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（）

A．30°B．50°C．60°D．70°

【知识点】圆周角定理.

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：连接BD，

∵∠ACD=30°，

∴∠ABD=30°，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．

故选C．

【思路点拨】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．

【答案】C

3.如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，垂足为D，OA=22，∠B=22.5°，AB的长为（）

A．2 B．4 C．D．

【知识点】垂径定理，勾股定理

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：由圆周角定理，得

∠O=2∠B=45°，222,

+==

AD OD OA AD OD

=2，

由垂径定理，得

AB=2AD=4，

故选：B．

【思路点拨】根据圆周角定理，可得∠O，根据等腰直角三角形性质和勾股定理，可得AD的长，根据垂径定理，可得答案．

【答案】B

4.一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）

A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm

【知识点】点与圆的位置关系．

【数学思想】数形结合，分类讨论

【解题过程】解：分为两种情况：

①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；

②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是

1.5cm．

故选C．

【思路点拔】点P应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论．当点P在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点P在圆外时，直径=最大距离﹣最小距离．

【答案】C

5.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则BD 的长为（）

A．πB．3

2

πC．2πD．3π

【知识点】弧长的计算；圆内接四边形的性质．【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠A=180°，

∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，

∴2∠A+∠A=180°，

解得：∠A=60°，

∴∠BOD=120°，

∴BD的长=1203

180

π?

=2π；

故选：C．

【思路点拔】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案。

【答案】C

6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）

A．7B．27C．6 D．8

【知识点】垂径定理；勾股定理．

【数学思想】数形结合

【解题过程】

解：连接OC，

由题意，得

OE=OA﹣AE=4﹣1=3，

CE=ED=22

OC OE

-=7，

CD=2CE=27，

故选：B．

【思路点拨】根据垂径定理，可得答案

【点评】B

7．已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（）

A．30°B．35°C．45°D．70°

【知识点】圆周角定理；垂径定理．

【数学思想】数形结合

【解题过程】

解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，

∴AB AC

=，

∴∠ADC=1

2

∠AOB=35°．

故选B．

【思路点拔】先根据垂径定理得出AB AC

=，再由圆周角定理即可得出结论．

【答案】B

8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且CE CD

=，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）

A．92°B．108° C．112°D．124°

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；多边形内角与外角．菁优网版权所有

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵∠ACB=90°，∠A=56°，

∴∠ABC=34°，

，

∵CE CD

∴2∠ABC=∠COE=68°，

又∵∠OCF=∠OEF=90°，

∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣68°=112°．

故选：C．

【思路点拔】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．

【答案】C

9.点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）

A．52B．53C6或2D6或3

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；菱形的性质．

【数学思想】数形结合，分类讨论

【解题过程】解：过B作直径，连接AC交BO于E，

∵点B为AC的中点，

∴BD⊥AC，

①如图①，

∵点D恰在该圆直径的三等分点上，

∴BD=1

3

×2×3=2，

∴OD=OB﹣BD=1，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BE=1

2

BD=1，

∴OE=OB-BE=3-1=2，

连接OC，

∵CE=22

OC OE

-=5，

∴边CD=22

DE CE

+=6；

如图②，BD=2

3

×2×3=4，

同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，

连接OD，

∵CE=22

OC OE

-=8=22，

∴边CD=2222

(22)2

DE CE

+=+=23，故选D．

【思路点拨】过B作直径，连接AC交OB于E，如图①，根据已知条件得到BD=1

3

×2×3=2，

如图②，BD=2

3

×2×3=4，求得OD=1，OE=1，DE=2，连接OD，根据勾股定理得到结论，

【答案】D

10. 如图，扇形DOE的半径为33OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，DE上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（）

A．

2

1

B．2

2C．

2

37

D．

2

35

【知识点】菱形性质、等边三角形、圆锥的侧面展开图、勾股定理．

【数学思想】方程思想

【解题过程】连结AC、OB，相交于点G，

由菱形性质得AC⊥OB，OG=GB＝

2

1

OB＝

2

3

在Rt△OGA，AG＝()23

2

3

3

2

2

2

2=

?

?

?

?

?

-

=

-OG

AO

所以3

2=

=AG

AC,

∴3

=

=

=CO

AO

AC，即△AOC是等边三角形

∴60

AOC

∠=?

∴扇形弧长为：

180

3

60?

π

设围成的圆锥底面半径为r，则底面周长为r

π2

∴

603

2

180

r

π

π

?

=，得

1

2

r=，

所以圆锥的高为22

135

3()

22

-=．

【思路点拔】本题主要考查圆锥的有关计算，关键在于求出扇形DOE的圆心角，具有一定的综合性．

【答案】D

11.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）

G

A ．

233

π

B ．

2332π- C ．π﹣32

D ．π3

【知识点】扇形面积的计算；菱形的性质． 【数学思想】数形结合 【解题过程】解：连接BD ， ∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°， ∴△DAB 是等边三角形， ∵AB=2，

∴△ABD 3

∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4，

设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ， 在△ABG 和△DBH 中，

2

3=4A AB BD =??

=???

∠∠∠∠， ∴△ABG ≌△DBH （ASA ），

∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，

∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD =

260212-23=-336023

ππ

?? 故选：A ．

【思路点拔】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．

【答案】A

12.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=3，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）

A．31

2

B．

33

2

C．

31

3

D．

33

3

-

【知识点】三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质．

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：作∠DAB1与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，

故B1F=OF=1

2 OA，

设B1F=x，则3﹣x，

3﹣x）2+x2=（2x）2，

解得x=33

2

或x=

33

2

-

（舍去），

∴四边形AB1ED

33 -+

故选：B．

【思路点拨】作∠DAB1与∠AB1G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF ⊥AB1，AB=3，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．【答案】B

二、填空题

13.△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为．

【知识点】三角形的外接圆与外心．

【解题过程】解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，

∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．

故答案为：1．

【思路解析】这个直角三角形的外接圆直径是斜边长，把斜边长除以2可求这个三角形的外接圆半径．

【答案】1

14.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=．

【知识点】切线的性质．

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，

∴∠BAT=90°，

∵∠ABT=40°，

∴∠ATB=50°，

故答案为：50°

【思路点拨】根据切线的性质即可求出答案．

【答案】50°

15.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．

【知识点】垂径定理；勾股定理．

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：连接OC，

∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴CE=DE=1

2

CD=

1

2

×6=3，

设⊙O的半径为xcm，

则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，

解得：x=5，

∴⊙O的半径为5，

故答案为：5．

【思路点拨】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，CE=1

2

CD，在直角△OCE中，

利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．

【答案】5

16.已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦2，则∠COD的度数为．【知识点】垂径定理．

【数学思想】数形结合，分类讨论

【解题过程】解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．

∵OA=OC=AC，

∴∠OAC=60°．

∵AD=22，OE⊥AD，

∴AE=2，OE=222

-=，

OA AE

∴∠OAD=45°，

∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°，

∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．

故答案为：150°或30°．

【思路点拔】连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，由OA=OC=AC可得出∠OAC=60°，再根据垂径定理结合勾股定理可得出AE=OE，即∠OAD=45°，利用角的计算结合圆周角与圆心角间的关系，即可求出∠COD的度数．

【答案】150°或30°

17.如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=．

【知识点】正多边形和圆．

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：连接OA、OB、OC，

∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，

∴∠AOB=∠BOC=72°，

∵OA=OB，OB=OC，

∴∠OBA=∠OCB=54°，

在△OBP和△OCQ中，

OB OC

OBP OCQ

BP CQ

=

?

?

=

?

?=

?

∠∠，

∴△OBP≌△OCQ，

∴∠BOP=∠COQ，

∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，

∴∠BOP=∠QOC，

∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，

∴∠POQ=∠BOC=72°．

故答案为：72°．

【思路点拨】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．

【答案】72°

18.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为．

【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质．

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：连接BH、BH1，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，∴AB=4，

∴AC=2223

AB CB

-=，

在Rt△BHC中，CH=1

2

AC=3，BC=2，

根据勾股定理可得：BH=7；

∴S

扫=S

扇形BHH1

﹣S

扇形BOO1

=12071204

360

ππ

?-?

=π．

【思路点拨】整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形BHH1与小扇形BOO1的面积差．扇形BOO1的半径为OB=2，扇形BHH1的半径可在Rt△BHC中求得．而两扇形的圆心角都等于旋转角即120°，由此可求出线段OH扫过的面积．

【答案】π

三．解答题

19.已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．

（1）求四边形AEOF的面积．

（2）设AE=x，S

△OEF

=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．

【知识点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质.

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：（1）∵BC 为半圆O 的直径，OA 为半径，且OA ⊥BC ， ∴∠B=∠OAF=45°，OA=OB ， 又∵AE=CF ，AB=AC ， ∴BE=AF ， ∴△BOE ≌△AOF

∴S 四边形AEOF =S △AOB =1

2OB?OA=2．

（2）∵BC 为半圆O 的直径， ∴∠BAC=90°，且AB=AC=22， y=S △OEF =S 四边形AEOF ﹣S △AEF =2﹣12AE?AF=2﹣1

2

x （22﹣x ） ∴y=

12

x 2

﹣2x+2（0＜x ＜22）． 【思路点拨】（1）先根据BC 为半圆O 的直径，OA 为半径，且OA ⊥BC 求出∠B=∠OAF=45°，再根据全等三角形的判定定理得出△BOE ≌△AOF ，再根据S 四边形AEOF =S △AOB 即可得出答案； （2）先根据圆周角定理求出∠BAC=90°，再根据y=S △OEF =S 四边形AEOF ﹣S △AEF 即可得出答案． 【答案】（1）S 四边形AEOF =S △AOB =

12OB?OA=2（2）y=1

2

x 2﹣2x+2（0＜x ＜22） 20.已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点．

（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD ，求证：AC ⊥BD ； （2）如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB=2，DC=4，求⊙O 的半径．

【知识点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理． 【数学思想】数形结合

【解题过程】解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°， ∴AC 、BD 是⊙O 的直径， ∴∠DAB=∠ABC=90°， ∴四边形ABCD 是矩形，