高中函数图像大全33202
高中函数图像大全
33202
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
指数函数
概念:一般地,函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。
注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质:
规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有
奇偶性。
2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;
当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀:“大增小减”。即:当a>1时,图像在R上是增函数;当0<a<1时,图像在R
上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法:
1.当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论;
3.当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;
4.对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=a x在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数,
我们把指数函数y=a x(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=log a x(a>0,a≠1).
因为指数函数y=a x的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=log a x的定义域为(0,+∞),
值域为(-∞,+∞).
2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.
为了研究对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log2x,y=log10x,y=log10
x,y=log
2
1
x,y=log
10
1
x的草图
由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图像的特征和性质.见下表.
图
象
a>1 a<1
性质(1)x>0
(2)当x=1时,y=0
(3)当x>1时,y>0
0<x<1时,y<0
(3)当x>1时,y<0
0<x<1时,y>0 (4)在(0,+∞)上是增函数(4)在(0,+∞)上是减函数
补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a>1,b>1(或0<a<1 0<b<1) 当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2
当0<x<1时“底大图高”即若a>b,则y1>y2
比较对数大小的常用方法有:
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数n y x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握n y x =,当11
2,1,,,323
n =±±±
的图像和性质,列表如下. 从中可以归纳出以下结论:
① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第
四象限.
② 11
,,1,2,332a =
时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数. ③ 1
,1,22
a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数.
④ 何两个幂函数最多有三个公共点.
定义域R R R
奇偶性奇奇奇非奇非偶奇
在第Ⅰ象限的增
减性
在第Ⅰ象
限单调递
增
在第Ⅰ象
限单调递
增
在第Ⅰ象
限单调递
增
在第Ⅰ象
限单调递
增
在第Ⅰ象
限单调递
减
n
y x
=
奇函数偶函数非奇非偶函数1
n>
01
n
<<
n<
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
幂函数y x α
=(x ∈R ,α是常数)的图像在第一象限的分
布规律是:
①所有幂函数y x α
=(x ∈R ,α是常数)的图像都过点
)1,1(;
②当
2
1,
3,2,1=α时函数y x α
=的图像都过原点)0,0(;
③当1=α时,y x α
=的的图像在第一象限是第一象限的平分线
(如2c );
④当3,2=α时,y x α
=的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如1c )
⑤当
21
=
α时,y x α
=的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如3c )
⑥当1-=α时,y x α
=的的图像不过原点)0,0(,且在第一象限是“下滑”曲线(如4c )
当0>α时,幂函数y x α
=有下列性质:
(1)图象都通过点)1,1(),0,0(; (2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,1>α时,图象是向下凸的;10<<α时,图象是向上凸的; (4)(在第一象限内,过点)1,1(后,图象向右上方无限伸展。
当0<α时,幂函数y x α
=有下列性质:
1)图象都通过点)1,1(;
2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
3)在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近;向右无限地与x 轴无限地接近; 4)在第一象限内,过点)1,1(后,α越大,图象下落的速度越快。
无论α取任何实数,幂函数y x α
=的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数x
b
ax y +=(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号“√”而得
名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,a b x b ax 2
≥+(当且仅当x b ax =即a
b
x =时取等号),由此可得函数x
b
ax y +
=(a>0,b>0,x ∈R +)的性质:
当a
b x =
时,函数x b ax y +=(a>0,b>0,x ∈R +)有最小值a b
2,特别地,当a=b=1时函
数有最小值2。函数x b ax y +
=(a>0,b>0)在区间(0,a b )上是减函数,在区间(a
b ,+∞)上是增函数。
因为函数x b ax y +=(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数x b
ax y +=(a>0,b>0,x ∈R -)
性质:当a b x -
=时,函数x b ax y +=(a>0,b>0,x ∈R -)有最大值-a
b 2,特别地,当a=b=1时
函数有最大值-2。函数x b ax y +
=(a>0,b>0)在区间(-∞,-a
b )上是增函数,在区间(-a
b
,0)上是减函 奇函数和偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x 值,都有f(-x)=-(x).那么就称f(x)为奇函数. 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x 值,都有f(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.
说明:(1)由奇函数、偶函数的定义可知,只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时,才有可能是奇
(2)判断是不是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判断f(x) 是不易的.为了便于判断有时可采取如下办法:计算f(x)+f(-x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此函数较为方便:f(x)
(3)判断函数的奇偶性时,还应注意是否对定义域内的任何x值,
当x≠0时,显然有f(-x)=-f(x),但当x=0时,f(-x)=f(x)=1,∴f(x)为非奇非偶函数.
(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形;偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形.
(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时,尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.
例如果函数f(x)是奇函数,并且在(0,+∞)上是增函数,试判断在(-∞,0)上的增减性.
解设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2<0
则有-x1>-x2>0,
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(-x1)>f(-x2)
又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(x)对任意x成立,
∴=-f(x1)>-f(x2)
∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数.
由此可得出结论:一个奇函数若在(0,+∞)上是增函数,则在(-∞,0)上也必是增函数,即奇函数在(0,+∞)上与(-∞,0)上的奇偶性相同.
类似地可以证明,偶函数在(0,+∞)和(-∞,0)上的奇偶性恰好相反.
时,f(x)的解析式
解∵x<0,∴-x>0.
又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
偶函数图象对称性的拓广与应用
我们知道,如果对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=
f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称,反之亦
真.由此可拓广如下:
如果存在常数a,b,对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,a+x,b-x仍在
(a+b-x,f(x)),而f(a+b-x)=f[a+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x),对称点
P'(a+b-x,
称: