中考数学压轴题 易错题测试提优卷

一、中考数学压轴题

1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ． （1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；

（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；

（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．

2．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．

(1)（课本习题）如图①，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE=CD ． 求证：DB=DE

(2)（尝试变式）如图②，△ABC 是等边三角形，D 是AC 边上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD ． 求证：DB=DE ．

(3)（拓展延伸）如图③，△ABC 是等边三角形，D 是AC 延长线上任意一点，延长BC 至E ，使CE=AD 请问DB 与DE 是否相等? 并证明你的结论．

3．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=?，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，

AF CD ⊥，垂足为F ．

（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；

（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由；

②若1

2,(33)2

ADH

a S

==

+，求sin GAB ∠的值．

4．如图，在ABC ?中，14AB =，45B ∠=?，4

tan 3

A =

，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．

（2）设正方形PQMN 与ABC ?重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ?内部时，求S 关于

t 的函数关系式．

（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ?的分为面积相等的两部分时，直接写出

t 的值．

5．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．

（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °

（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．

②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．

（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．

6．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”． （1）当2≤a ≤3时，

①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________； ②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围； （2）已知函数()1

0Z x x x

=

+>，请利用特征点求出该函数的最小值．

7．如图，直角三角形ABC ?中，90460ACB AC A ∠?=∠?＝，，＝，O 为BC 中点，将

ABC ?绕O 点旋转180?得到DCB ?．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿

A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．

（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使

//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0

图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在

BC 上以每秒

3

2

的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ?为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．

8．问题背景：如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，8BC =，17AD =+，

32AB =，45ABC ∠=?，P 为边AD 上一动点，连接BP 、CP ．

问题探究

（1）如图1，若30PBC ∠=?，则AP 的长为__________． （2）如图2，请求出BPC △周长的最小值；

（3）如图3，过点P 作PE BC ⊥于点E ，过点E 分别作EM PB ⊥于M ，EN PC ⊥于点N ，连接MN

①是否存在点P ，使得PMN 的面积最大？若存在，求出PMN 面积的最大值，若不存在，请说明理由；

②请直接写出PMN 面积的最小值．

9．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.

（1）求点A 的坐标；

（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；

（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.

10．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线2

1y ax a

=-

与y

轴交于点A ，点A 关于x 轴

的对称点为点B ， （1）求抛物线的对称轴；

（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）； （3）已知点11,

P a ??

???

，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．

11．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．

(1) 依题意补全图形； (2) 求证：EG ⊥AD ；

(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较

()()11a b ++与

9+62之间的大小关系，并证明．

12．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ）

（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上，BC 与y 轴交于点D ， OA ＝2，OC ＝1．

①点A 、B 、C 在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．

②设点P （x ，y ）在经过O 、B 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． ③设点Q （x ，y ）在经过A 、D 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． （2）若ω＝120°，O 为坐标原点．

①如图3，圆M 与y 轴相切原点O ，被x 轴截得的弦长OA ＝23，求圆M 的半径及圆心M 的斜坐标．

②如图4，圆M 的圆心斜坐标为M （23，23），若圆上恰有两个点到y 轴的距离为1，则圆M 的半径r 的取值范围是 ．

13．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ． （1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系； （2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ；

（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数．

14．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；

（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 重叠部分的面积为

3

时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ，将矩形

1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩

形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．

15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上，两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 满足：322m m -+62=边AB 与x 轴交于点,E 点

F 是边AD 上一动点，连接FB ，分别与x 轴，y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =．

（1）求m 的值；

（2）若45,APF ∠=?求证：AHF HFA ∠=∠；

（3）若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为 ．(用含n 的代数式表示) 16．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．

（1）正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ；

（2）将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45?，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A '，

B '，

C '，求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；

（3）动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t

秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ △为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．

17．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，tanA 3 （1）求弦AC 的长；

（2）D 是AB 延长线上一点，且AB ＝kBD ，连接CD ，若CD 与⊙O 相切，求k 的值； （3）若动点P 以3cm/s 的速度从A 点出发，沿AB 方向运动，同时动点Q 以

3

2

cm/s 的速

度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t （0＜t ＜10

3

），连结PQ ．当t 为何值时，△BPQ 为Rt △？

18．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．

（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．

（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：

如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．

19．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠． (1)若80A ∠=?，则BDC ∠的度数为______； (2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．

①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)； ②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中

NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：

③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)．

20．问题探究

（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．

（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=?，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接

圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明

理由．

问题解决：

如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=?，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 21．已知，抛物线2

12

y x bx c =++与y 轴交于点()0,4C -与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为()2,0．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）如图1，若点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作//PE AC ，交BC 于E ，连接

CP ，求PCE ?面积的最大值．

=+与线段AC交于点M，与线段BC交于点N，是否存在（3）如图2，若直线y x m

?为直角三角形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理M，N，使得OMN

由．

22．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，

（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）

（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。请直接写出∠PQF、∠A、∠ACE 之间的关系．

23．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．

（1）当甲追上乙时，x ＝

． （2）请用x 的代数式表示y ．

问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．

（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；

（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？

24．新定义，若关于x ，y 的二元一次方程组①111

222a x b y c a x b y c +=??

+=?的解是00x x y y =??=?

，关于

x ，y 的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=??+=?的解是11x x y y =??=?，且满足

10

00.1x x x -≤，10

0.1y y y -≤，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+??

-=+?的解是方程组10

310

x y x y +=??+=-?的模糊解，则m 的取值范围是________． 25．如图，抛物线2

(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴

交于点B ．

()1求这条抛物线的顶点坐标；

()2已知AD AB

=(点D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过()

t s的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ MC

+的值最小?若存在，请求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题

1．B

解析：（1）8

3

；（2）3或433）565

x≤

＜

【解析】【分析】

（1）设BP=a，则PC=8-a，由△MBP～△DCP知MB BP

DC CP

=，代入计算可得；

（2）分别求出⊙P与边CD相切时和⊙P与边AD相切时BP的长即可得；

（3）①当PM=5时，⊙P经过点M，点C；②当⊙P经过点M、点D时，由

PC2+DC2=BM2+PB2，可求得BP=7，继而知22

7465

PM=+=．据此可得答案．【详解】

（1）设BP=a，则PC=8-a，

∵AB=8，M是AB中点，

∴AM=BM=4，

∵△MBP～△DCP，

∴MB BP

DC CP

=，即

4

88

a

a

=

-

，

解得

8

3

a=，

故答案为：8

3

．

（2）如图1，当⊙P与边CD相切时，

设PC=PM=x，

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+（8-x）2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．

如图2，当⊙P与边AD相切时，

设切点为K，连接PK，

则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，22

8443

PB-=

＝

综上所述，BP的长为3或43

（3）如图1，当PM=5时，⊙P经过点M，点C；如图3，当⊙P经过点M、点D时，

∵PC 2+DC 2=BM 2+PB 2， ∴42+BP 2=（8-BP ）2+82， ∴BP=7， ∴227465PM

=+=

综上，565x ≤＜ 【点睛】

本题是圆的综合问题，主要考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．

2．D

解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE 成立，证明见详解 【解析】 【分析】

（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE ，则∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE ；

（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，证明△BDC ≌△EDG ，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，由“SAS ”可证△BCD ≌△EFD ，可得DB=DE ． 【详解】

证明：（1）∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠BCA=60°， ∵点D 为线段AC 的中点， ∴BD 平分∠ABC ，AD=CD ， ∴∠CBD=30°， ∵CD=CE ， ∴∠CDE=∠CED ， 又∵∠CDE+∠CED=∠BCD ， ∴2∠CED=60°， ∴∠CED=30°=∠CBD ， ∴DB=DE ；

（2）过点D 作DG ∥AB ，交BC 于点G ，如图，

∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°， ∴△DGC 为等边三角形， ∴DG=GC=CD ，

∴BC-GC=AC-CD ，即AD=BG ， ∵AD=CE ， ∴BG=CE ， ∴BC=GE ，

在△BDC 和△EDG 中，

60DC DG BCD EGD BC EG =?

?

∠=∠=???=?

， ∴△BDC ≌△EDG （SAS ） ∴BD=DE ； （3）DB=DE 成立，

理由如下：过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ，

∴∠CDF=∠A ，∠CFD=∠ABC ， ∵△ABC 是等边三角形

∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB ， ∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF ， ∴△CDF 为等边三角形 ∴CD=DF=CF ， 又AD=CE ， ∴AD-CD=CE-CF ， ∴BC=AC=EF ，

∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°， ∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°， ∴∠BCD=∠DFE ，且BC=EF ，CD=DF ，

∴△BCD ≌△EFD （SAS ） ∴DB=DE ． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

3．E

解析：（1）3EF EC =，见解析；（2）27

7

BK a =

；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②1

(62)4

- 【解析】 【分析】

（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ???，然后得到AEF ?为等边三角形，由解直角三角形得到3AE EC =

，即可得到答案；

（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到

AB BK

FB BA

=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ?，然后得到AG AH =，然后得到

60BAH GAB GAH ?∠+∠=∠=，即可得到答案；

②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案． 【详解】 解：（1）3EF EC =

；

理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=?，

,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ?∴==∠=∠=， 120BAD ?∴∠=，

∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，

90AEB AFD ?∴∠=∠=

Rt AEB Rt AFD ∴???，

,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=?， 60EAF ∴∠=?，

AEF ∴?为等边三角形，

EF AE ∴=.

连接AC ，1

602

BAC BAD ?∴∠=

∠= 30EAC ?∴∠=

在Rt AEC ?中，tan EC

EAC AE

∠=

3AE EC ∴=， 3EF EC ∴=

（2）如图：

∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ?

∠==，

ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ?==∠=. AF CD ⊥，垂足为F ，

1

,902

CF DF a BAF AFD ?∴==

∠=∠= 在Rt

ADF 中，sin AF

ADF AD

∠=

， 3AF ∴=

在Rt ABF 中，22BF AB AF =+

72

BF a ∴=

AK BF ⊥，垂足为K ，

90AKB FAB ?∴∠=∠=

ABK FBA ∠=∠

~Rt AKB Rt FAB ∴??， AB BK

FB BA

∴

=， 27

BK ∴=

， （3）如图：

①AGH 是等边三角形. 理由：连接AC .

,60AB BC ABC ?=∠=，

ABC ∴为等边三角形，

,60AB AC ABC ACB ?∴=∠=∠=， 120ABG ?∴∠=.

//AB CD ，

60BCH ABC ?∴∠=∠=， 120ACH ?∴∠=

ABG ACH ∴∠=∠， 又BG CH =， ABG ACH ∴?，

,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠. 60BAH HAC BAC ?∠+∠=∠=， 60BAH GAB GAH ?∴∠+∠=∠=，

AGH ∴为等边三角形； ②ADC 为等边三角形，

2,1AD DC AC CF DF ∴=====，

3AF ∴=. 1

(33)2

ADH

S

=

， 11

3(33)22

DH ∴?=， 31DH ∴=

31CH DH CD ∴=-=，3HF DH DF =-=

AF HF ∴=，

AHF ∴为等腰直角三角形，

45AHF ?∴∠=.

过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .

在Rt CMH 中，sin CM

CHM CH

∠=

， 1

(62)2

CM ∴=

-， 在Rt AMC 中，

sin CM

MAC AC

∠=

， 1

sin (62)4

MAC ∴∠=

-. 又

GAB HAC ∠=∠，

1

sin sin (62)4

GAB HAC ∴∠=∠=

-； 【点睛】

本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．

4．A

解析：（1）14

5；（2）2274,0314971421,

2

23

5t t S t t t ??

?<≤ ?

???

?=?

???-+-<< ?

????；（3）t 的值为477-或727-． 【解析】 【分析】

（1）如下图，根据4

tan 3

A =

，可得出PN 与AP 的关系，从而求出t 的值； （2）如下图，存在2种情况，一种是点M 在△ABC 内，另一种是点M 在△ABC 外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；

（3）如下图，存在2种情况，一种是PM 所在的直线将△ABC 的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC 的面积平分． 【详解】

（1）如图1，点N 在AC 上

图1

由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t ∴PN=PQ=2t ∵4tan 3

A = ∴

43NP AP =，即24

73

t t =- 解得：t=

14

5

（2）①如图2，

图2

四边形PQMN 是正方形，

90BQM ∴∠=?，

45B ∠=?，

BQ MQ ∴=，即72t t -= 解得73

t =

， 故当0t <≤73

时，22

(2)4S t t ==；

②如图3，

图3

90BQF ∠=?，45B ∠=?，

7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=?，

则37MF MQ QF t =-=-，

90M ∠=?，

37ME MF t ∴==-，

则2

2

21149(2)(37)21222

S t t t t =--=-+-

7

143

5t ??<< ???；