最新数学建模练习题

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价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
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函数图像如下图所示：
1
20 21 题目 2
22
2.在考虑最优定价问题时设销售期为 T，由于商品的损耗，成本 q 随时间增长，
23 设
,β为增长率。又设单位时间的销售量为
(p 为价格)。
24 今将销售期分为
和
两段，每段的价格固定，记为 , .
66
（2）如果能够以 2.75%的利率借到不超过 100 万元资金，该经理如何操作？
67
（3） 在 1000 万元资金情况下，若证券 A 的税前收益增加为 4.5%，
68
投资应否改变？若证券 C 的税前收益减少为 4.8%，投资应否改变？
69 解答：
70
（1） 设投资证券 A,B,C,D,E 的金额分别为
83
益可增加 0.0298 百万元。大于以 2.75%的利率借到 100 万元资金的利息，
84
所以应借贷。投资方案需将上面模型第二个约束右端改为 11，求解得到：
85
证券 A,C,E 分别投资 2.40 百万元，8.10 百万元，0.50 百万元，最大税
86
后收益为 0.3007 百万元。
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（3） 由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可
97 /t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为
98 50t；产品 A,B 的市场需求量分别为 100t，200t。问应如何安排生产？
99 解答：
100
设 分别是产品 A 中是来自混合池和原料丙的吨数， 分别是产品 B 中
101 来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为
88
知，证券 A 的税前收益可增加 0.35%，故若证券 A 的税前收益增加为 4.5%，
89
投资不应改变；证券 C 的税前收益可减少 0.112%（按 50%的税率纳税），
90
故若证券 C 的税前收益减少为 4.8%，投资应该改变。
91 题目 6
92
6.某公司将 4 种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生
.由以上关系得
.
57 题目 5
58
5.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及
59 其信用等级、到期年限、收益如表 1 所示。按照规定，市政证券的收益可以免
60 税，其他证券的收益需按 50%的税率纳税。此外还有以下限制：
61 1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进 400 万元；
62
2） 所购证券的平均信用等级不超过 1.4（信用等级数字越小，信用
63
程度越高）；
64 3） 所购证券的平均到期年限不超过 5 年。
表 1 证券信息
证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益/%
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
4
C
政府
1
4
5
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
65 问：（1）若该经理有 1000 万元资金，应如何投资？
7
成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量 w 成正比，有的与表面
8
积成正比，还有与 w 无关的因素。
9
（2） 给出单位重量价格 c 与 w 的关系，画出它的简图，说明 w 越大 c
10
越小，但是随着 w 的增加 c 减小的程度变小，解释实际意义是什么。
11 解答：
12
（1） 分析：生产成本主要与重量 w 成正比，包装成本主要与表面
25 求 , 的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期 T 内的总销售量
26 为 ,再求 , 的最优值。
27 解答：
28
由题意得：总利润为
29
,=
+
30
=
31
32 由 =0，
，可得最优价格
33
,
34 设总销量为 ，
2
35
36 在此约束条件下
的最大值点为
37
,
38 题目 3
39
3.某商店要订购一批商品零售，设购进价 ,售出 ,订购费 c0(与数量无关)，
40 随机需求量 r 的概率密度为 p(r)，每件商品的贮存费为 (与时间无关)。问如
41 何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平 42 均利润为正值，需要对订购费 c0 加什么限制？
43 解答：
44
设订购量为 u，则平均利润为
45
46
47
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u 的最优值 满足
48
最大利润为
（百万
71
元），按照规定、限制和 1000 万元资金约束，列出模型
72
73
s.t.
74
75
，即
76
77
，即
78
79
5
80
用 LINGO 求解得到：证券 A,C,E 分别投资 2.182 百万元，7.364 百万元，
81 0.454 百万元，最大税后收益为 0.298 百万元。
82
（2） 由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加 100 万元，收
93 产两种产品（分别记为 A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先
94 倒入混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产 A,B。已知原料甲、
95 乙、丙、丁的含硫量分别为 3%，1%，2%，1%，进货价格分别为 6,16,10,15（千
96 元/t）；产品 A,B 的含硫量分别不能超过 2.5,1.5（%），售价分别为 9,15（千元
.
102 优化目标是总利润最大，即
6
103 104 约束条件为：
105 1） 原料最大供应量限制：
.为使这个利润为正值，应有
49
.
50 题目 4
51
4.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定
3
52 雨速与雨滴质量的关系。 53 解答：
54
雨滴质量 m，体积 V，表面积 S 与某特征尺寸 l 之间的关系为
，
55
，可得
。雨滴在重力 和空气阻力 的作用下以匀速 v 降落，
56 所以 = ，而
1
数学建模习题
2
题目 1
3
1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如
4 洁银牙膏 50g 装的每支 1.5 元，120g 装的每支 3.00 元，二者单位重量的价格比
5 是 1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
6
（1） 分析商品价格 C 与商品重量 w 的关系。价格由生产成本、包装
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积 s 成正比，其他成本也包含与 w 和 s 成正比的部分，上述三种成本中
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都包含有与 w,s 均无关的成本。又因为形状一定时一般有
,故商品
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的价格可表示为
（α，β，γ为大于 0 的常数）。
16
（2） 单位重量价格
,显然 c 是
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w 的减函数。说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单