第22讲 相似三角形及其应用
康庄中学九年级数学复习教案
初三数学相似三角形知识点归纳
初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =
苏科版九年级数学下册：《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练
《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练 1、下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五 边形. 其中一定相似的有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 2、（1）如果 234 x y z ==，求 3x y z y -+=_____________ （2）已知x ：y =3：5，y ：z =2：3，则 z y x z y x +-++2的值为 3、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m 2 ，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( ) A.一个篮球场的面积 B.一张乒乓球台台面的面积 C.《陕西日报》的一个版面的面积 D.《数学》课本封面的面积 4、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165 cm ，下半身 长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm 5、 如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 2 6、如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA 的值为 ．
7、在Rt △ABC 中，∠C =90o，AB =10，AC =8，则sin A 的值是（ ） A ． 45 B ． 3 5 C ． 34 D ．4 3 ． 8、若3tan （a+10°）=1，则锐角a 的读数为（ ） A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 9、如果△ABC 中，sinA=cosB= 2 ，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形 10、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ， 则tan ∠CBE 的值是（ ） 11、 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设 ,()AB a CG b a b ==>.下列结论: ①BCG DCE ???；②BG DE ⊥；③ DG GO GC CE =；
论文：相似三角形的应用
相似三角形的应用——走进生活，探索自然 [教材分析] 本节内容是在学习了相似三角形识别及性质以后，让学生以此为工具建立数学模型，解决一些简单的实际问题，体会数学的价值。经历“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的过程，感受数学与现实生活的密切关系。 [设计思路] 提供挑战性的问题情境（测量金字塔的高），激发学生进行思考和自主探索。通过“与同学交流想法”，使学生在探索的过程中，进一步理解所学的知识，参与运用相似三角形的知识来解决问题的活动。 [教学目标] 1．知识目标：进一步加深对相似三角形的识别和相似三角形的性质的理解，会利用相似三角形解决一些简单的实际问题。 2．能力目标：通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，初步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。 3．情感目标：让学生体会数学源于实践又服务于实践的特点，培养应用意识，激发其学习的热情，体验探索问题的快乐，使之爱学、会学、会用。 [教学重点与难点] 1．重点：利用相似三角形的相关知识解决实际问题。 2．难点：如何把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型。 [教学过程] 一、创设问题情境 师：（多媒体演示，展示各种图片）同学们，今天让我们先一起来走进世界文明古迹：神秘的埃及金字塔建于4500年前，是古埃及国王与王后的陵墓，迄今已发现大大小小的金字塔110座，大多建于埃及古王朝时期。 师：现在画面所定格的是埃及现存规模最大的胡夫金字塔。据考证，建成这座大金字塔共动用了10万人花了20年时间。在一个烈日高照的下午，埃及著名的考古专家穆罕穆德拉着儿子小穆罕穆德来到了胡夫金字塔脚下，他想借机考一考年仅14岁的小穆罕穆德：给你一根2米高的木杆，一把皮尺，你能利用所学知识来测出塔高吗？没一会儿，小穆罕穆德就顺利解决了这个问题，你知道聪明的小穆罕穆德是如何来测量的吗？
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
第十二章全等三角形知识点小结
第十二章全等三角形知识点小结 班级：姓名： 一、本章的基本知识点 知识点1： 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 知识点2： 全等三角形的判定方法： 一般三角形的判定方法：边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS） 直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有斜边、直角边（HL）知识点3： 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB． 知识点4： 角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 符号语言： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON） 知识点5 证明文字命题的一般步骤： 证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。
二、本章应注意的问题 1、全等三角形的证明过程： ①找已知条件，做标记； ②找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件。 2、全等三角形的证明思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ?????????????????????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（） 找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 3、全等三角形证明中常见图形： C A B D C A A E D C B 变形 A B C D E 变形 A B D F E C C B A D 变形 D A C E B 变形
相似三角形的应用举例
27.2.2相似三角形应用举例 教学目标: 1．进一步巩固相似三角形的知识． 2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题． 3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． 重点、难点 1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 一、知识链接 1、判断两三角形相似有哪些方法? 2、相似三角形有什么性质？ 二、.探索新知 1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？ 2、在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例 练习：（1.）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
（2.）在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的高为60 米,那么高楼的影长是多少米? 3. 世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 3、例题讲解 例3： 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？） 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解： 4、课堂练习 在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）
三角函数和相似三角形综合题
三角函数和相似三角形综合题 1、（2017?哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB 的值为（ ） A ．14 D 2、（2017?金华）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是（ ） A ．34 B.43 C.35 D.45 3、（2017?聊城）在Rt △ABC 中，cosA=12 ，那么sinA 的值是（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．12 4、（2017?安顺）如图，⊙O 的直径AB=4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC=5，则AD 的长为（ ） A ．65 B ．85 C ．5 D ．5 5、（2017?滨州）如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 6、（2017?白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之 一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
7、（2017?淮安）A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km, ，） 8、（2017?常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参 考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414） 9（2017?张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
全等三角形教学设计与反思
全等三角形教学设计与反思 一、教学设计： 1、学习方式： 对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。 2、学习任务分析： 充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理的思考，表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明打下基础。 3、学生的认知起点分析： 学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。 4、教学目标： (1)学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
(2)掌握三角形全等的“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”的判定方法，了解三角形的稳定性，能用三角形的全等解决一些实际问题。 (3)培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。 5、教学的重点与难点： 重点：三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。 从设置情景提出问题，到动手操作，交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件，更重要得是经历了知识的形成过程，体会了一种分析问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。 难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要做出全面、正确得分析，并对各种 情况进行讨论，对初一学生有一定的难度。 根据初一学生年龄、生理及心理特征，还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力，思维受到一定的局限，考虑问题不够全面，因此要充分发挥教师的主导作用，适时点拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性、主动性参与到合作探讨中来，使学生在与他人的合作交流中获取新知，并使个性思维得以发展。。 6、教学过程(略) 教学步骤教师活动学生活动教学媒体(资源)和教学方式 7、反思小结 提炼规律 电脑显示，带领学生复习全等三角定义及其性质。 电脑显示，小明画了一个三角形，怎样才能画一个三角形与他的三角形全等?我们知道全等三角形三条边分别对应相等,三个角分别对应相等,那麽,反之这
《27.2.3 相似三角形应用举例》教案
27.2.3 相似三角形应用举例 一、课标要求: 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 二、课标理解：识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题；通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力. 三、内容安排： 【教学目标】 知识与技能：1.能运用相似三角形的数学模型解决现实世界的测量问题；2.通过例题的分析与解决，让学生进一步感受相似三角形在实际生活中的应用. 过程与方法：引导学生将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再应用相似三角形知识求解，体会相似三角形的应用方法. 情感、态度与价值观：发展学生的转化意识和自主探究、合作交流的习惯，体会相似三角形的实际应用价值，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受. 【教学重难点】 重点：运用相似三角形的知识解决生活中的一些测量问题. 难点：如何把实际问题转化相似三角形这一数学模型. 四、教学过程 （一）孕育 问题：（1）怎样判断两个三角形相似？ （2）相似三角形的性质有哪些？ 引入：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的 4 个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230 米.据考证，为建成胡夫金字塔，一共花了20 年时间，每年用工10 万人.该金字塔原高146.59 米，但由于经过几千年的风化吹蚀，高度有所降低. 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔高度的吗？ 引出课题：今天，我们就来研究利用三角形的相似，解决一些有关测量的问题. （二）萌发生长 1.探究测量物体高度 例1：据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影
人教版九年级下册 第20题 相似三角形和锐角三角函数 专题练习(无答案)
中考简答题第20题相似三角形与锐角三角函数 类型一与相似三角形有关的几何测量 1.如图,小明想利用所学的几何知识测量学校操场上旗杆AB的高度,他的测量方案如下:他在测量过程中两次利用镜子,第一次把镜子放在C点,小明在F点正好在镜子中看见旗杆顶端A，第二次把镜子放在D点,小明在H点正好在镜子中看到旗杆顶端A.已知图中的所有点均在同一平面内AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，小明的眼晴到地面的距离EF=GH=1.68米，测得CD=10米，CF= 2.4米，DH= 3.6 米,请你利用这些数据求出旗杆AB的高度。
2.小明想用镜子测量一颗松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次把镜子放在C点，人在F 点时，正好在镜子中看到树尖A，第二次把镜子放在D点，人在H点时，正好看到树尖A，已知小明的眼睛距离地面1.6m，量的CD=12m，CF=1.8m，DH= 3.8m，请你求出松树的高。
3.春节期间的一天晚上,小玲和小明去看灯展.如图,当小明站在灯杆AB和灯杆CD之间的F点处,小林的身高为EF,小玲发现了奇怪的一幕:小明在灯A的照射下,影子恰好落在灯杆CD的底部D点处,小明在灯C的照射下,影子恰好落在灯杆AB的底部B点处.已知图中所有点都在同一平面内，AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=2m，CD=6m， 求小明的身高EF。 4.大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑以紫云楼卫代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范，（如图①），小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力,他们经过研究发现需要两次测量:如图②,首先,在阳光下,小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD,此时,小花测得标杆CD的影长CE=2米;然后,小风从C点沿BC方向走了 5.4米,到达G处,在G处竖立标杆FG,接着沿BG后退到点M处时,恰好看见紫云楼顶端A和标杆顶端F在一条直线上,此时,小花测得GM=0.6米.已知小风的眼睛到地面的距离HM=1.5米,标杆CD=FG=2米AB⊥BM，CD ⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM,请你根据题中提供的相关信息,求出紫云楼的高AB。
相似三角形在实际生活中的应用
标准对数视力表 0.1 4.0 0.12 4.1 0.15 4.2 相似三角形在实际生活中的应用 【知识点击】 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过 ，那么这样的两个图形就称为位似图形。此时的这个点叫做 ，相似比又称为 ． 注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小． 2、相似多边形的性质_____________________________________________________ 【重点演练】 知识点一、位似图形 例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA ′,求四边形AA ′C ′C 的周长.（结果保留根号） 例2、如图3，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ． 变式训练： 1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两 个“E ”之间的变换是（ ） A ．平移 B ．旋转 C ．对称 D ．位似 2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 图3 ′
相似三角形,一元二次方程,三角函数
相似三角形，一元二次方程，三角函数 13. 如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60㎝，小孔O到像CD的距离是30㎝，若物体AB的长为16㎝，则像 CD的长是㎝ 15. 如图，正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，点O为位似中 心，位似比为 2：3 ，点A 的坐标为（ 0， 2 ），则点E的 坐标是 21. （8分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6 （1）请用尺规作图的方法在AB 上找点D ，使得△ACD ∽△ABC （保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求 AD的长 22. （10分） 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件. （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
24. （12分） 如图①，四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，点E，G分别在边 CD，CB上，点F 在AC上，AB=3 ，BC=4 （1）求AF BG 的值； （2）把矩形CEFG绕点C 顺时针旋转到图②的位置，P为AF，BG的交点，连接CP （Ⅰ）求AF BG 的值 （Ⅱ）判断 CP与AF的位置关系，并说明理由. 22．（10分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． (1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由； (2)求∠BAC的度数．
23.(本题满分10分) 小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录. (1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案) (2)按此市场调节的观律， ①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； ②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持 不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.
相似三角形和三角函数
1. 相似三角形的判定定理: 推论一一直角三角形相似： (1) 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。 2. 性质定理： (1) 对应角相等。 (2) 对应边成比例。 (3) 对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4) 周长比等于相似比。 (5) 面积比等于相似比的平方。 3. 相似三角形的传递性 如果△ABC S ^I B I C I ,M I B I C I s 公2B 2C 2，那么△ ABC "A 2B 2C 2 精选文档 相似三角形考点 4、 比例的性质 a c (1) 比例的基本性质： =— b d a c a b (2) 合比性质： =- b d b (3) 等比性质：a =- = L =m b d n ad 二be (bd H 0) e d d a e L m a 八 b d L (b d L n u) n b
精选文档 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心。对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比。 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 2、如下图，在 Rt △ AB （中，/ C 为直角，则/ A 的锐角三角函数为（ZA 可换成/B ）: 3、特殊角的三角函数值（重要） 三角函数 30 ° 45 ° 60 ° \ 疋 义 表达式 正 弦 sin A - A 的对边 斜边 a sin A — c 余 弦 cosA - A 的邻边 斜边 .b cos A - c 正 切 tan A - A 的对边 A 的邻边 tan A — b
全等三角形教学反思
《全等三角形》教学反思 桂平市石龙民族中学吴炯 全等三角形是八年级上册数学教材第十三章第一节的教学内容。本节课是“全等三角形”的开篇，也是进一步学习其它图形的基础之一。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形知识打好基础。因此，在教学过程中，我有意创设诱人的知识情景，增加学生的好奇心、求知欲，产生自觉学习的内在动机，不断提高学生的智慧，发挥其潜力，促进学生的智能发展。并且从央馆资源库，下载了许多有关素材，制作成课件，利用多媒体课件辅助教学，以激发学生课堂的学习兴趣和提高学生的课堂注意力。准备就绪，我和学生们在本学期的公开课中登台亮相。一节课下来感触良多，现在作如下反思： 一、课件辅助，突出重点。 首先，我利用多媒体课件展示教材上的图案以及制作的一些图案，引导学生读图，激发学生兴趣，从图中去发现有形状与大小完全相同的图形。然后我安排学生自己动手随意去做两个形状与大小相同的图形，通过动手实践，合作交流，直观感知全等形和全等三角形的概念。其次，通过阅读法让学生找出全等形和全等三角形的概念。然后，我随即演示一个三角形经平移，翻折，旋转后构成的两个三角形全等。通过课件演示让学生体会对应顶点、对应边、对应角的概念，并以找朋友的形式练习指出对应顶点、对应边、对应角，加强对对应元素的熟练程度。此时给出全等三角形的表示方法，提示对应顶点，写在对应的位置，然后再给出用全等符号表示全等三角形练习，加强对知识的巩固，再给出练习判断哪一种表示全等三角形的方法正确，通过对图形及文字语言的综合阅读，由此去理解“对应顶点写在对应的位置上”的含义。
此外，多媒体应用上，解决了以前在用重合的方法来证明两个三角形全等的时候，只是静态地呈现书本上的例题，虽然当时也用纸板进行折叠，但是现在这节课，我通过用FLASH动画，动态的呈现两个三角形重合，这种直观、形象地演示，学生们很快就弄明白了重合的方法。 二、巧妙运用，突破难点 全等三角形这一章的说理对学生的要求较高，尤其是学生根据图形和间接条件挖掘三角形全等的条件有一些困难，而且不知道究竟选用什么方法进行说理。有一道几何题图形比较复杂，在教学的过程中，我利用课件把不同的线段用不同的颜色来标注，而相等的线段用相同的颜色来标注。比如：AB线段用蓝色，BC线段用红色，而和AB线段相等的CD线段用同样的蓝色，和BC相等的线段AD用同样的红色。在分析的过程中，引导学生根据颜色来找相等的线段。在这过程中，我发现学生逐渐跟上我的思路，而且也可以根据我的提示来寻找下一组相等的线段。此外对于识图有困难的学生还可以引导学生将图形进行分离。 这两个方法有助于学生理解SAS，ASA定理中夹边和夹角的概念。对提高学生学习几何的兴趣有一定的帮助。 这节课，让我深刻体会到了利用远教资源辅助于课堂教学具有许多优越性，它以直观、立体、生动、形象的特点进一步激发了学生的兴趣，提高了学生的积极性。在今后的教学中，我要加强运用远教资源来教学，不断提高课堂教学质量。
相似三角形在实际生活中的应用上课讲义
相似三角形在实际生活中的应用
相似三角形在实际生活中的应用 【知识点击】 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过，那么这样的两个图形就称为位似图形。此时的这个点叫做，相似比又称为． 注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小． 2、相似多边形的性质_____________________________________________________ 【重点演练】 知识点一、位似图形 例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号） 例2、如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．
B′ A′ -1 x 1 O -1 1 y B A C 标准对数视力 0.1 4.0 0.12 4.1 0.15 4.2 变式训练： 1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是（ ） A ．平移 B ．旋转 C ．对称 D ．位似 2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为 （4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ） A ．1 2 a - B ．1(1)2 a -+ C ．1 (1)2 a -- D ．1 (3)2 a -+ 图3 O A B C D E A ′ B ′ C ′ ′ E ′ y x A B C D F E G O
相似三角形和锐角三角函数综合测试题
一、选择题 １．下列多边形一定相似的为( ) A ．两个矩形 B.两个菱形? C ．两个正方形 ?D.两个平行四边形 2．在△ＡＢC 中,ＢC=15cm,CA=45ｃm,AB=63ｃm,另一个和它相似的三角形的最短边是5cm,则最长边是( ） Ａ.1８cm B ．２1cm ? C.24c ｍ Ｄ．19.5c ｍ ３．如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成3０°夹角,这棵大树在折断前的高度为（ ) A.1０米? B.15米 C.25米? D ．30米 4．若A B ∠∠、均为锐角，且2 1 cos 21 sin = =B A ，,则( ）. Ａ．?=∠=∠60B A ??? Ｂ.?=∠=∠30B A Ｃ．?=∠?=∠3060B A ， ? ?D.?=∠?=∠6030B A ， 5. 如图:把△ AB Ｃ沿A Ｂ边平移到△A ＇B'C'的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分） 的面积是空白部分面积的一半,若ＡB=1,则此三角形移动的距离A Ａ'是（ ) A 2- 1?B 2 ?C ．2 1- D ． 1 2 ６. Ｐ是R ｔ△A ＢC 的斜边ＢC 上异于B , Ｃ的一点,过P 点作直线截△A ＢC ，使截 得的三角形与△A ＢC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A. l 条 ??Ｂ. 2条? ?C. 3 条 D. 4条 7. 在△A ＢＣ中，∠A=10５°,∠B=４5°，ｔａｎＣ的值是（ ） A. 21 ????B. 3 3 ? C ． 1 ? D. 3 8.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为６,8,现将ABC △如图那样折叠，使点A 与 点B 重合,折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是( ） A ． 24 7 ?7 C ．724? D ．13 1０ 题 A B D C E 30 ° 6 8 C E A B D （第8题）
全等三角形小结(1)
D C B A E C D B A y x B A O Q P 全等三角形小结（1） 【目标导航】 1．掌握全等形、全等三角形的含义及全等三角形的性质； 2．进一步熟悉判定三角形全等的条件，会证明三角形全等． 【预习引领】 1．如图1，△ABC ≌△ADE ，且∠B =∠D ，则其余的对应角是 ， ，对应边是 ， ， ． 2．如图2所示，要证明△ABC ≌△DCB 已具备了条件 ，还需要补充什么条件，请你照样子一一写出来并说明理由： （1） AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB （SAS ）； （2） ， （ ）； （3） ， （ ）； （4） ， （ ）； （5） ， （ ）． （图1） （图2） （图3） 3．如图3所示，甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是______． 4．已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝50°，∠E －∠F ＝40°，则∠B = 度． 5．下列说法错误的有： （填序号）． ①有两边和一角对应相等的两个三角形全等；②有一角为80°，且腰长相等的两个等腰三角形全等；③有两边对应相等的两个直角三角形全等；④有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等． 6．已知：如图：AB =CD ，AB //CD ，求证：∠B =∠D ． 【要点梳理】 1．全等三角形的性质： （1） ；（2） ． 2． 、 、 前后的图形全等． 3．一般三角形全等的判定方法有 、 、 和 ．要判定直角三角形全等除了上述方法外，还可以用 ． 【问题探究】 例1 《互动课堂》P 9，第16题．（性质+判定） 例2 《互动课堂》P 11，第20题．（解题格式） 例3 《互动课堂》P 7，第7题．（思路、方法） 例4 《互动课堂》P 15，第31题．（第⑴题易错，第⑵题辅助线，第⑶题思路） 【课堂操练】 1．已知在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB =A 1B 1，∠A =∠A 1，要使△ABC ≌△A 1B 1C 1，?还需添加一个条 件，这个条件可以是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(3，2)，BA ⊥x 轴于A ， 若点P 在x 轴负半轴上、Q 在y 轴正半轴上运动，则当P 点的坐标 为 时，△ABO 和△AOQ 全等． 【课外拓展】 已知：如图△ABC 中，AM 是BC 边上的中线． 求证：)(2 1 AC AB AM +< ．
圆与三角函数及相似三角形综合训练题
圆与三角函数及相似三角形综合训练题 1.如图，R t△ABC中，∠ACB=90 ，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心作⊙O分别与AC、 BC相切于D、E。⑴求⊙O的半径。⑵求sin∠BOC的值。 2.如图，如图，R t△ABC中，已知∠ACB=90 ，BC=6，AB=10，以BC为直径作⊙O交AB于 D,AC、DO的延长线交于E,点M为线段AC上一点，且CM=4. ⑴求证：直线DM是⊙O的切线。⑵求tan∠E的值。
3．﹙河南中考题﹚已知，如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E,且EM ﹥MC.连结DE ，DE=15.⑴求EM 的长；⑵求sin ∠EOB 的值。 4.﹙河南中考题﹚已知：如图，点DC 是以AB 为直径的半圆上的两点，O 为圆心，DB 与AC 相交于点E,OC ∥AD,AB=5，cos ∠CAB=5 4.求CE 和DE 的长。
5. ﹙河南中考题﹚已知：如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D,DP ⊥PB,垂足为P,PB与⊙O交于点C,PD=8. ⑴求BC的长；⑵连结DC,求tan∠PCD的值；⑶以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式。 6. ﹙北京中考题﹚已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F，交AE于点M,且∠B=∠CAE, FE:FD=4:3. ⑴求证：AF=DF；⑵求∠AED的余弦值；⑶如果BD=10，求△ABC的面积。
7. ﹙北京海淀区中考题﹚已知：以R t△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点，连结DE. ⑴如图，求证：DE是⊙O的切线；⑵连结OE、AE.当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值。 8．﹙天津中考题﹚如图，R t△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径 的圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD的长。
相似与三角函数(09)
2012—2013学年九年级数学（下）周末复习资料（09） 理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分: 一、知识点梳理： 1、等腰三角形： （1）性质：等边对等角；三线合一。 （2）判定：等角对等边。 2、相似三角形： （1）判定：①两角对应相等，两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似；④直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． （2）性质：①对应边成比例，对应角相等； ②对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比；③周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 3、直角三角形： （1）勾股定理及逆定理：a 2＋b 2＝c 2 （2）锐角三角函数：sinA=c a cosA=c b tanA=b a 特殊角的三角函数值。 （3）解直角三角形：俯角（仰角） ；坡角（坡度、坡比）；方位角。 二、巩固练习： 1、（2012江苏徐州）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为【 】 A ．9 B ．7 C ．12 D ．9或12 2、（2012湖北荆门）如图1，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF =2，则PE 的长为【 】 A ． 2 B ． 2 C ． D ． 3 3、（2012浙江湖州）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是【 】 A ．20 B ．10 C ．5 D ．52 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 4、（2012四川绵阳）已知，如图3，△ABC 中，∠C =90°，tanA =12 ，D 是AC 上一点，∠CBD =∠A ，则sin ∠ABD =【 】。 A ．35 B C ．310 D