线性代数行列式经典例题
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线性代数行列式经典例题
例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.
解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，
1,1,
n a n =-，故
0111
021
2
n n n D n n --=
--1,1,,2
i i r r i n n --=-=
0111111
1
1
n ----
1,,1
j n c c j n +=-=
1
2
110
2
1
(
1)
2
(1)
2
1
n n n n n n ------=----
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n
列． 方法
2
01110212
n n n D n n --=
--
11,2,,
1
11111112
i i r r i n n n +-=----=
--
12,,1
001
2
0123
1
j c c j n
n n n +=---=
---=
1
2
(1)
2
(1)
n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
=
行列式 即为y 2
前的系数. 于是
=
所以
的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D n =
12
1
10001
0n
n n x x
a a a x
a
----+
解： 方法1 递推法 按第1列展开，有
D n = x D 1-n +（－1）
1
+n a n
1
11
1
1n x x x
-----= x D 1-n + a n
由于D 1= x + a 1，22
1
1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2
D 2-n +
a 1-n x + a n =
= x
1
-n D 1+ a 2x
2
-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++
++
方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x
1
-n 倍分别加到第1列上
12
c xc n D +=
2112
1010010000n n n n x x x a xa a a x
a
-----++
213
c x c += 3
212
12
3
1
01000010
00
10n n n n n n x x
x a xa x a a a a x
a
----
----+++
=
=
11
1x f
x
---n r =
按展开
1(1)n f
+
-1
11
1n x x
x
----=
111n n n n x a x a x a --++
++
方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
D n
21
32
1
111n n c c x c c x
c c x
-+++=
112200
00
000
n n n
n
n n n
x x x a a a a a a k x
x x
---+
+
+
n =
按c 展开
x
1
-n k n = x
1
-n (
1
-n n x
a + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x) =111n n n n a a x a x x --++
++
方法
4 n r n
D =
按展开
1(1)n n
a +-10
00100
1
x x
-
--+
21(1)n n a +--
0000100
1x
x
-
-+ +21
2
(1)
n a --10000
01
x x --
+21(1)()
n
a x -+10
000
00
0x x x
-
=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x + +（－1）12-n （－1）a 2x 2-n +（－1）n 2( a 1+x) x 1-n = 111n n n n a a x a x x --++
++
例4． 计算n 阶行列式：
1121221
2
n
n n n n
a b a a a a b a D a a a b ++=
+ (12
0n b b b ≠)
解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,
,n a a a ，可在保持
原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．
121121221
2
100
n n n n n n
a a a a
b a a D a a b a a a a b +=++升阶
213111
n r r r r r r +---=
1212110
01001
n n
a a a
b b b --- 11
1
2,,1
j j c c b j n -+
=+=
1
1121
1
12100000000
n n
a a a a a
b b b b b +
++
=1
12
1
(1)n
n n
a a
b b b b b +
++
这个题的特殊情形是
12121
2
n
n n n a x a a a a x a D a a a x
++=
+=1
1
()n
n i i x
x a -=+∑
可作为公式记下来．
例5．计算n 阶“三对角”行列式