数学学科发展前沿

数学学科发展前沿 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

数学学科发展前沿

吴琼 145395

一、数学学科及数学教育的地位和作用

1．数学学科的地位和作用

数学在人类文明的进步和发展中一直发挥着重要的作用。过去，人们习惯把科学分为自然科学、社会科学两大类，数、理、化、天、地、生都归属于自然科学。但是，现在科学家更倾向于把自然科学界定为以研究物质的某一运动形态为特征的科学，如物理学、化学、生物学。数学是忽略了物质的具体运动形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位，与理、化、生等学科不属于同一层次，因此不是自然科学的一种。把科学分为自然科学、社会科学和数学科学三大类，这种观点更为学术界所认可。

恩格斯曾说过：“数学在化学中的应用是线性方程组，而在生物学中的应用是零”。但是，在当今高科技时代，自然科学和社会科学的各领域的研究进入到更深的层次和更广的范畴，在这些研究中数学的运用往往是实质性的，数学与自然科学和社会科学的关系从来没有像今天这样密切。许多一度被认为没有应用价值的抽象的数学概念与理论，出人意料地找到了它们的原

型和应用。恩格斯所描述的状况早已成为历史。我们略举若干侧面，表明数学的渗透和应用。

2．数学教育的地位和作用

数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力之一。数学与人类文明、与人类文化有着密切的关系。数学在人类文明的进步和发展中，一直在文化层面上发挥着重要的作用。

数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。数学训练在提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和创造能力上，是其他训练难以替代的。

数学素质是人的文化素质的一个重要方面。古希腊的上流社会中，懂数学是有文化的象征；没有相当数学底蕴的人，在上层人士中是受歧视的。数学的思想、精神、方法，从数学角度看问题的着眼点、处理问题的条理性、思考问题的严密性，对人的综合素质的提高都有不可或缺的作用。较高的数学修养，无论在古代还是在现代，无论对科技工作者还是企业管理者，无论对各行业的工作人员还是政府公务员，都是十分有益的。“胸中有数”中的“数”，不仅包含事物的数量方面，还应包含数学的思想、精神、方法等方面。所以，数学教育是提高整个中华民族国民素质的重要环节。

随着知识经济时代和信息时代的到来，数学更是“无处不在，无所不用”。各个领域中许多研究对象的数量化趋势愈发加强，数学结构的联系愈发重要，再加上计算机的普及和应用，给我们一个现实的启示：每一个想成为有较高文化素质的现代人，都应当具备较高的数学素质，因此，数学教育对所有专业的大学生来说，都必不可少。

二、数学学科专业教学改革应有的特点

数学学科专业教学改革除了具有各学科教学改革的共性外，还有自己的特性，这是因为数学学科有自己的特点。以下五个方面的问题虽然是所有学科的教育教学改革都要涉及的问题，但在这些问题上，数学教育特殊性，尤其值得认真思考和妥善把握。

1．数学教学中理论联系实际的问题

数学来源于人类实践，但从实践中抽象出来以后，又有它相对的独立性和稳定性。特别是当它发展到一定程度以后，数学内部提出了大量重要的纯数学问题，在相当大的程度上吸引了数学家的兴趣。推动数学的发展，除了实践及其他学科和技术的需要这种来自外部的动力外，还有来自数学内部的巨大动力。数学工作者常常通过对数学内部提出的问题的研究，发展和完善数学理论，这些理论又通过不同途径应用于实践。例如，对欧几里得平行线公设的讨论持续了两千年，虽然许多数学家在试图证明这一公设的努力中失败了，但它最终导致了意义重大

的非欧几何的诞生。对数学学科理论联系实际的理解不能简单化。数学问题的形式化表述有时让人觉得难以预测其应用前景，但数学理论可能联系的“实际”，有时会远远超出人们的想象，甚至常常是数学理论出现时尚未出现的“实际”。古希腊的圆锥曲线理论后来被应用于开普勒的行星运动三定律，黎曼几何理论后来被应用于爱因斯坦的广义相对论，陈省身的纤维丛理论后来被应用于杨振宁的规范场理论，都大大推动了世界科学技术的发展。

因此，数学教学中要注意理论联系实际，特别要注意数学建模的重要性，但不能处处都强调机械地联系当时生产、生活中的实际；在可能的情况下讲清楚数学概念内部的联系、数学理论的科学意义、数学与其他学科的联系，以及学习数学时自觉培养“应用意识”的重要性，倒是目前教学中普遍欠缺的。

2．数学教学内容现代化的问题

数学学科专业基础课内容现代化的问题，是从1958年“教育革命”以来就有争议的问题。数学的基本理论，不像电子元件从电子管、晶体管到集成电路那样可以“更新换代”或“弃旧换新”；数学的教学只能在已有知识的基础上去讲新知识。有人用下面的比喻来说明这一点：“其他学科的创新常常是一代人推倒前一代人的大厦，建立起新的理论体系；而数学，却总是后人在前人所盖的大楼上，加盖一层新楼。”我们不可能在没有初等函数知识的条件下去讲微积分，也不可能在没有函数概念的条件下去

讲泛函。在数学基础课教学内容的现代化问题上，我们应该看到数学的特殊性，尊重人的认识规律，不赶时髦。曾经有人指责“在现代大学还在讲17世纪的微积分”，这是荒唐的！其实，在经济学课程中使用简单的微积分是“现代化”，为什么在数学课程中讲授微积分这样重要的必备的基础就是“老化”呢？

我们认为，数学学科专业的教学内容的确应当现代化，但那是指课程体系总体而言，不是要求每门课的每一部分都现代化。数学基础课应当在内容上、观点上、语言上乃至符号上为后续课的现代化做好准备，着力打好基础，而不是简单地把后续课的内容前移。为了让学生看清基础课与现代数学的联系，在基础课的讲授中开几个“窗口”，讲一点只要求学生了解的内容，“点到为止”就可以了。

3．数学教学中注意发展学生个性的问题

数学研究和创新当然需要讨论和交流，需要团队精神和集体力量。但是与其他学科的研究有所不同的一个特点是，数学创新更多的是个人劳动的成果。牛顿从对力学的研究中创立了微积分，莱布尼茨从对几何的研究中创立了微积分，他们之间并没有直接的合作。罗巴契夫斯基、高斯、波约尔各自创立了非欧几何，他们之间也没有合作。

各校数学学科专业的学生中往往会出现一两个特殊学生，他们不仅对数学有浓厚的兴趣，有较好的基础，而且对数学有比较

深刻的理解，有一定的数学天赋。在数学教学中注意发现这样的学生，特别指导这样的学生，发展这些学生的个性和数学优势，促使他们迅速成才，是我们义不容辞的责任。

为了发现和培养这些好苗子，在数学教学中如下做法是值得提倡的：设计“课下思考题”，组织“课外学习小组”，鼓励“本科生讨论班”，支持大学生研究项目，开设深入浅出的近代数学讲座，指导本科生写小论文，引导他们参加各种级别的数学竞赛和数学建模竞赛。

4．数学教学中如何采用多媒体辅助教学的手段和双语教学的方式

高度的抽象性和严密的逻辑性，是数学学科两个显着的特性。它决定了数学教学不仅应注意传授知识，更应注意培养学生的抽象思维和逻辑思维。近些年开展的多媒体辅助教学，优点是形象、具体。但当教学中需要培养学生的想象能力、抽象能力和逻辑推理能力的时候，若用屏幕上有限的“形象”代替了学生更接近数学本质的“想象”，用屏幕上个别的“具体”取代了学生的数学“抽象”，用屏幕上的快速推导，取代了板书教学中边写边想师生互动的逻辑渐进过程，也许反而减弱对学生的训练。所以，数学教学中，多媒体的辅助手段要结合数学课程的特点，注意实效，恰当运用，不可过多，只能辅助教学，不能代替教学。课题组认为，特别对于以培养学生的抽象思维、逻辑思维为特点的课程，应以板书教学为主，其他媒体辅助教学的作用是有

限的。经过课题组讨论，认为数学课中可以采用计算机辅助教学的，大概有以下一些方面：复杂三维图形的多角度展示、动态过程的演示、影像资料的放映、书写量过大难于板书的内容、大量表格、资料、数据、图形的展示、数学人物、数学史简介、集体答疑、序言课、复习课等。数学“精品课程”的评审条件中，不应硬性要求多媒体课件上网。

5．数学基础课中加强习题课教学的问题

数学学科和数学教学的特点，使习题训练在数学教学中有特别重要的作用。理解各部分知识间的联系，明确解决问题的思路，数学思维的培养，书面表达能力的训练，很大程度上依靠做题的过程来完成。习题课是在教师指导下的做题，与学生自己做作业或看《习题解答》是很不一样的。习题课教师的作用是不可轻视的，他们应积极发挥主导作用，认真选择难易适中的题目，仔细设计做题与讲题的过程；对较难的题目，应有分层次的提示，并在巡视中了解学生的做题进度，及时说一些有针对性的话；习题课中还可适当组织讨论，活跃学生的思维；或做完题后，引导学生总结解题的思路和方法；以及启发学生自己提出有关的新问题，从中培养学生解决问题的能力和创新的意识。一题多解，易混淆的概念，常出错的关键点，都是习题课教师备课中要考虑的地方。现在多数教师上习题课时，只有出题和写解答的环节，很少提示和启发，不积极巡视和观察，基本上不组织讨论，更不注意培养学生举一反三和提出新

问题的意识。还有不少学校让研究生上习题课。这些研究生大多有临时观念和任务观念，用应付的态度上习题课，以致有些学校的习题课已经名存实亡。所以，加强一二年级数学基础课的习题课教学，是当前亟待解决的问题。其实，数学基础课的教师在主讲前上几遍习题课，同时听听老教师的讲课，应该成为制度。年轻教师上习题课的经历和经验，也是他们日后主讲数学课程必要的前提。这几年，大量出版各种《习题解答》，是弊多利少的；它造成许多学生不动脑筋，靠看《解答》做题，甚至照抄《解答》。数学的立体化教材中，应把《习题解答》排除在外。

三、数学学科专业目前的发展态势

如前所述，数学学科专业近些年出现了大发展的态势，同时也存在一些问题。下面分五点叙述。

1．发展速度加快，办学规模迅速扩大

数学学科专业的大发展，近二十年中有过两次。一次是在20世纪的80年代前期，因高校数学教师奇缺，许多工科院校办起了数学系或应用数学系，突破了过去只在综合性大学和师范院校中办数学系的框框，引起了数学学科专业，主要是“数学与应用数学专业”（含其前身）的大发展。另一次大发展是在1998年教育部调整专业目录及1999年起实行高校扩招后。高校扩招又一次造成高校数学教师的缺乏。而新公布的“信息与计算科学专业”，名称诱人，生源充足，开办该专业又不需要大的投入，在

扩招的形势下，许多学校办起了“信息与计算科学专业”。这引起了数学学科专业的第二次大发展。这次是以“信息与计算科学专业”的大发展为主。当然，这两次大发展，也与数学学科在人们心目中地位的提高、社会公众对数学重要性的认可相关。2．多元化的培养规格正在成为各校的共识和实践

在过去计划经济的体制下，数学系是专门培养数学研究和数学教学人才的。现在，随着市场经济的发展，以及数学与各种科学技术的紧密结合，人才市场上各个行业都需要许多具有良好的数学基础、较强的动手能力、较宽的知识面、综合素质好的数学人才。因此，多元化的培养规格正在成为各校的共识。各校在实践上一方面培养数学研究和数学教学人才，一方面也培养一大批以数学和计算机为主要工具的、国民经济各领域所需要的应用型人才。

这里所说的多元化，除了包含多种类型的人才外，也包含同一类型中多种层次的人才。我国有上千所大学，有几百个数学系或应用数学系，情况千差万别。所以，同一类型的人才，不同学校的培养目标可能是不同层次的。只要市场有需求，都应当得到尊重和鼓励。

3．“厚基础、宽口径”的培养思路深入人心，各校普遍加强了基础课教学

文革前“专门化”的培养思路，毕业生出路过窄，降低了办学效益，也不利于学生的个性发展。现在，数学学科专业毕业生需

求的多元化，引起了高校数学人才培养规格的多元化；同时，也形成了“厚基础、宽口径”的培养思路，它使毕业生的基础打得更加扎实，适应面大大拓宽。教育部在1998年把数学学科专业从8个调整为2个，另加统计学专业。这就为“厚基础、宽口径”的培养思路创造了条件。

在这种思路的指导下，各校普遍加强了数学分析、高等代数、解析几何这三门基础课的教学。所谓加强，并不在于增加课时或加深内容，而在于帮助学生更好地掌握每门课程的核心内容，抓住基本知识、基本技能等重点，加强对数学思想方法的理解和应用。而后续课程的安排与要求，不同学校，甚至同一学校中针对不同的学生群体，都表现出更加多样灵活的特征。4．强调知识、能力、素质的综合协调发展

近些年来，素质教育的思想逐渐深入人心，教学不再只强调传授知识，而是注意学生知识、能力、素质的综合协调发展。从数学专业学生的特点出发，课题组吸取一些高校的研究成果，总结了优秀的数学本科生应具备的十种基本的数学能力和五种基本的数学素养。

十种基本的数学能力是：类比的能力，分析的能力，归纳的能力，抽象的能力，联想的能力，演绎推理的能力，准确计算的能力，学习新知识的能力，运用数学软件的能力，“应用”数学的能力。

五种基本的数学素养是：主动探寻并善于抓住数学问题中的背景和本质的素养；熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养；具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的道路的素养；善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。

5．快速发展中各校办学水平参差不齐，有些专业点办学质量堪忧

在近几年数学学科专业快速发展中，有一批注重规模和质量协调发展的学校。这些学校往往有较深厚的历史积淀，办学水平较高，“数学与应用数学专业”和“信息与计算科学专业”两个专业的师资都比较充足，培养计划比较成熟，毕业生得到社会的广泛欢迎，成为我国数学学科专业发展的龙头。

但是，不可忽视的是，有些学校在师资不足、基本教学条件欠缺、甚至对专业不甚了解的情况下，却由于种种原因，办起了“数学与应用数学专业”或“信息与计算科学专业”。这必然导致办学水平低，毕业生基本质量得不到保证。特别是“信息与计算科学专业”，有的学校甚至不知道这个专业的内涵是什么，要开些什么课，便仓促上马。2003年全国“信息与计算科学专业”专业点已达到366个，首次超过“数学与应用数学专业”专业点的数目，其中有些学校连主干课程都难以开齐，何谈教学质量？最

近社会上已经有一种说法，认为这些学校的毕业生“信息理论知道的不多，计算机能力又不强”。数学学科专业发展中的这一问题，应引起我们的严重注意。

从根本上说，近些年数学学科专业的快速发展中，对规模、结构、效益、质量的关系似乎重视不够。发展的总规模多大为宜两个专业维持怎样的结构比例比较合理如何使办学规模与办学效益同步增长培养的学生是否达到质量的基本要求这些关键问题没有加以特别关注和研究。课题组认为，近些年数学学科专业的快速发展有一定的盲目性，有些专业点的办学质量堪忧。