用数轴标根法解一元二次不等式

数学教学论文

用数轴标根法解一元二次不等式

用数轴标根法解一元二次不等式

摘要：解一元二次不等式是我们的职业高中的学生普遍遇到的难题，它对于我们整个职业高中数学来说，既是基础又是工具。同集合、函数、数列、三角函数、直线与圆和圆锥曲线等内容都有很大的联系。因此解一元二次不等式就成了我们的重中之重。本文就是在这个基础上探索讨论用数轴标根法来解一元二次不等式。通过教学的几个例子来阐述数轴标根法能及取得的效果。

关键词：一元二次不等式；数轴标根法；

我参加工作已有六年了，在这六年中，前两年是教计算机，这几年就一直教数学。而在这几年的数学教学中，我发现数学是学生很难掌握的一门学科。因为一来学生的数学基础差；二来数学对于大多数学生来说是一门比较枯燥的学科，就不愿意学，更不要说掌握的很好了。所以我就一直在思考如何提高学生学习数学的兴趣，知识不能因为难而就不用学了，我发现再难的题你只要有方法就行了。比如解一元二次不等式是我们的职业高中的学生普遍遇到的难题，它对于我们整个职业高中数学来说，既是基础又是工具。对集合、函数、数列、三角函数、直线与圆和圆锥曲线等内容都有很大的联系。因此解一元二次不等式就成了我们的重中之重。我就谈一谈我在教学生解一元

二次不等式的教学体会——用数轴标根法解一元二次不等式。

一、传统方法解一元二次不等式

我们拿到一个一元二次不等式,首先就是判断它有没有根,所以先用一元二次方程根的判别式来判断根的情况，

(1)△>0 方程有两个不相等的实数根．

(2)△＝0 方程有两个相等的实数根．

(3)△<0 方程没有实数根．

若有根，就求出它的根。下面我就举例说明一下：解不等式：x2-x-6>0

△=1-4×（-6）=25>0,所以这个方程x2-x-6=0有两个不相等的实根。我们一般用因式分解法(十字相乘法)求根。所以，x2-x-6>0等价于（x-3）（x+2）>0,因为不等号为大于号，所以不等式x2-x-6>0的解集为{x|x>3或x<-2}。若不等式为x2-x-6<0那么它的解题过程同x2-x-6>0基本相同，通过因式分解法求根，x2-x-6<0等价于（x-3）（x+2）<0,因为不等号为小于号，所以不等式x2-x-6>0的解集为{x|-20或x2-x+6<0这两种不等式学生就很难理解：方程x2-x+6=0，这个方程△<0 方程没有实数根．那么解集为什么会是空集还是全体实数呢？学生怎么教都很难理解，除了个别成绩好点的还能掌握一下，其它学生就是靠死记硬背。所以这种解不等式的解法的弊端就在这了，那能不能找到一种通用的方法，让学生更容易理解的。

二、数轴标根法解一元二次不等式

我也是在不停的思考，如何让学生在解一元二次不等式上有个通用的方法，这两年在教高三升大的数学，学生是愿意学的，关键是如何教好它，使得学生就更容易理解。刚开学不久，我同往常一样，教学生解一元二次不等式，用传统的方法教，慢慢地教。但是像x2-x+6>0或x2-x+6<0这两种不等式中方程x2-x+6=0，这个方程△<0 方程没有实数根的情况我先不讲，看看有什么好的方法给他们。有一天上课，我在讲高次不等式如：a10或（x-a1）

（x-a2）（x-a3）…(x-a n)<0的解法如下图（即“数轴标根法”）

例如:不等式(x-1)(x+1)(x-2)>0的解集

解:-1<1<2用数轴法为:

所以它的解集为:{x|-12}这种问题我们的学生很容易掌握并且很快能够写出它的解集。我就想，我们的一元二次不等式可不可以也用这种方法来解决呢？在一次课堂上，我就用这种方法讲。将一元二次不等式，如果是有根的都要写成几个因式相乘的式子。例1：x2-x-6<0

解：先用十字相乘法或公式法分解因式得到：（x-3）（x+2）<0

数轴标根法:-2<3

它的解集为：{x|-2

例2：x2-2x-8>0

先用十字相乘法或公式法分解因式得到：（x-4）（x+2）>0

数轴标根法:-2<4

它的解集为：{x|x>4或x<-2}。上了几堂课以后，发现学生对这种方法求解不等式比较容易掌握，于是我就在课堂上就采取这种方法教学生求解不等式。如果是有两个根的情况只要画这个图就可以了x1

这个图也很好画，以上两种方法对于有两个根的情况学生都能够掌握，但是对于只有一个根或者是无根的情况，则用数轴标根法就更好些。

三、数轴标根法的探究交流

从传统方法到数轴标根法我们都作了研究，下面我就再进一步来探究数轴标根法来解决对于不等式x2-2x+1>0、x2-x+6>0和x2-x+6<0的效果。从特殊到一般是我们发现问题、寻求规律、提示问题本质最常用的方法之一。我就让学生多练习，在学生熟知数轴标根法的基础上，我同学生一起来探究交流对于这两种不等式x2-2x+1>0、x2-x+6>0和x2-x+6<0。问题的关键在于这个图怎么画。方程x2-2x+1=0、x2-x+6=0和x2-x+6=0是一个根或者无根怎么画图。

例3：x2-2x+1>0

通过解方程我们可以得到：方程x2-2x+1=0，求根得：x1= x2

=1

它的解集为：{x|x>1或x<1}也就是{x|x≠1}。那么x2-2x+1<0，我就画了一个图给给学生，让学生自己去判断，小于0也就是在x轴的下方，然后问学生下方有什么？

学生就回答说x轴的下方没有图像，我说这就对了，没有图像说明它的解集就是 。例4：x2-x+6>0

通过判断这道题，这个方程x2-x+6=0，△<0 方程没有实数根，图像我也给学生画好了，

通过观察，大于0图像在x轴的上方，而无根的情况，这个图像是全部都在x轴的上x1x2