2019-2020年北京市西城区八年级上册期末数学试卷有答案

八 年 级 数 学

试卷满分：100分，考试时间：100分钟

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）. A.

1x - B.18 C.

1

16

D.29a

2. 2015年9月14日，意大利物理学家马尔科?德拉戈收到自激光干涉引力波天文台（LIGO ）的系统自动提示邮件，一股宇宙深处的引力波到达地球，在位于美国华盛顿和烈文斯顿的两个LIGO 探测器上产生了-18410?米的空间畸变（如图中的引力波信号图像所示），也被称作“时空中的涟漪”，人类第一次探测到了引力波的存在，“天空和以前不同了……你也听得到了.”这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差.

三百五十万分之一约为0.000 000 285 7.将0.000 000 285 7用科学记数法表示应为（ ）.

、

A ．-82.85710? B. -72.85710? C . -62.85710? D. -60.285 710?

3.以下图形中，不是．．

轴对称图形的是（ ）.

4. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60?，点D 在AB 边上，DE ⊥AB ，并与 AC 边交于点E . 如果AD=1，BC=6，那么CE 等于（ ）. A. 5 B. 4

— C. 3 D. 2

5.下列各式正确的是（ ）. A. 6212121= x x x x --?= B. 623

31 x x x x --÷== C. 32332

2 () x xy x y y --== D. 1

3223y x x y -??= ???

6.化简21

1

x x --正确的是（ ）.

A. 221(1)1111x x x x x --==---

B. 221(1)111x x x x x --==---

C. 21(1)(1)111

x x x x x x -+-==+-- D.

21(1)(1)1111x x x x x x -+-==--+ >

7. 在△ABD 与△ACD 中，∠BAD =∠CAD ，且B 点，C 点在AD 边两侧，则不一定．．．能使△ABD 和△ACD

全等的条件是（ ）.

A. BD =CD

B. ∠B =∠C

C. AB =AC

D. ∠BDA =∠CDA 8.下列判断错误的是（ ）. A. 当a ≠0时，分式2

a

有意义 B. 当3a =-时，分式

2

3

9

a a +-有意义 C. 当12a =-时，分式2a +1a 的值为0 D. 当1a =时，分式21

a a

-的值为1

：

9. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠C =20?，AB BD AC +=，

将△ABD 沿AD 所在直线翻折，点B 在AC 边上的落点记为 点E ，那么∠AED 等于（ ）. A. 80? ? C. 40? D. 30?

10. 在课堂上，张老师布置了一道画图题：

画一个Rt △ABC ，使∠B =90°，它的两条边分别等于两条已知线段.

小刘和小赵同学先画出了∠MBN =90°之后，后续画图的主要过程分别如下图所示.

…

那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ）.

A. SAS ，HL

B. HL ，SAS

C. SAS ，AAS

D. AAS ，HL

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 0(π-3)=________.

…

小刘同学 小赵同

学

13. 在平面直角坐标系Oy 中，点(5,1)-关于y 轴对称的点的坐标为_________.

14. 中国新闻网报道： 2022年北京冬奥会的配套设施——“京张高铁”（北京至张家口高速铁路）将于2019

年底全线通车，届时，北京至张家口高铁将实现1小时直达. 目前，北京至张家口的列车里程约200千米，列车的平均时速为v 千米/时，那么北京至张家口“京张高铁”运行的时间比现在列车运行的时间少________小时.（用含v 的式子表示）

15. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），

其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个．．．．．小三角形， 使它与阴影部分合起所构成的完整图形是一个轴对称图形.（1）画出其中 一种涂色方式并画出此时的对称轴；（2）满足题意的涂色方式有_____种.

`

16. 对于实数p ，我们规定：用

表示不小于p 的最小整数，例如：<4>=4，<3>=2. 现对72进行如下操

作：

（1）对36只需进行_______次操作后变为2；

（2）只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是________.

三、解答题（本题共52分） 17. （本题6分，每小题3分） ?

分解因式：（1）3225a b a b -； （2）231212a a -+.

解： 解：

18. （本题6分） ^

化简并求值：22

2142442a a a a a a a a ---??-÷ ?++++??，其中1a =-.

*

19. （本题6分）

解方程：2

217

111

x x x +=-+-. 解：

】

20. （本题6分）

小华在学习二次根式时遇到如下计算题，他是这样做的：

请你先把他在第一步中出现的其它错误圈画出（不必改正），再．完成此题的解答过程．．．．．．．．．. 解：

'

21. （本题6分）

如图，△PAO 和△PBQ 是等边三角形，连接AB ，OQ . 求证：AB =OQ . }

证明：

|

22. （本题6分）

阅读下列材料：

小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：

小铭：“我知道一般当m ≠n 时，2m n +≠2m n +.可是我见到有这样一个神奇的等式：

2()a b a b b -+=2

()a b a b b

-+（其中a ，b 为任意实数，且b ≠0）.你相信它成立吗”

#

小雨：“我可以先给a ，b 取几组特殊值验证一下看看.” 完成下列任务：

（1）请选择两组你喜欢的、合适的a ，b 的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式

并验证它们是否成立（在相应方框内打勾）；

① 当a = ，b = 时，等式 （□成立；□不成立）；

② 当a = ，b = 时，等式 （□成立；□不成立）.

（2）对于任意实数a ，b （b ≠0），通过计算说明2()a

b a b b -+

=2

()a b a b b

-+是否成立. 解：

%

"

23. （本题5分）

阅读下列材料：

为了了解学校初二年级学生的阅读情况，小廉所在实践小组的同学们设计了相应的调查问卷，他们共发放问卷300张，收回有效问卷290张，并利用统计表整理了每一个问题的数据，绘制了统计图.他们的调查问卷中，有关“阅读载体的选择”和“阅读过书的类型”两个问题的统计情况如下表所示.

表1：

A.手机

B.电脑

,

C. 电子书

D. 纸质书

E. 其他

45307513010 !

表2：

您阅读过书的类型（可多选）

A.历史传记类

B.社会哲学类

C.科普科技

类

D.文学名著

类

23635

，

185290

E.报刊杂志类

F.网络小说类

G.漫画类

H.其他

21685

<

196160

根据以上材料解答下列问题：

（1）根据表1中的统计数据，选择合适的统计图对其进行数据的描述；

（2）通过表2中统计出的数据你能得到哪些结论请你说出其中的一条即可.

解：（1）（2）

-

24. 先阅读以下材料，再从、两题中任选一题

．．．．作答（若两题都做以第一题为准）

．．．．．．．．．．．．

.题5分（此时卷面满分100分），题7分（卷面总分不超过100分）.

…

[

请先在以下相应方框内打勾，再解答相应题目.

解决下列两个问题：

（1）如图2，在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，EF 垂直且平分

BC ，点P 在直线EF 上，直接写出PA +PB 的最小值，回答 PA +PB 取最小值时点P 的位置并在图中标出．．．．．

； 解：PA +PB 的最小值为 ，PA +PB 取最小值时点P 的

）

位置是 ；

（2）如图3，点M ，N 分别在直线AB 两侧，在直线AB 上找一点

P ，使得MPB NPB ∠=∠.要求画图，并简要叙述确定点P 位置的步骤.（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明）

解：确定点P 位置的简要步骤：

.

借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图．．．．

： 已知三条线段h ，m ，c ，求作△ABC ，使其BC 边上的高AH =h ，中线AD =m ，AB = c .

>．

（1）请先画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现目标图的大致作图步骤）；（4分）

解：

》

【

（2）完成尺规作图（不要求写作法．．．．．．．

，作出一个满足条件的三角形即可）.（3分）

/

25. （本题6分）

在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，DE =DA （如图1）.

）

（1）求证：∠BAD =∠EDC ；

（2）点E 关于直线BC 的对称点为M ，连接DM ，AM .

①依题意将图2补全；

②小姚通过观察、实验提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有DA=AM .小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1要证明DA=AM ，只需证△ADM 是等边三角形； 想法2：连接CM ，只需证明△ABD ≌△ACM 即可.

请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM （一种方法即可）.

…

（1）证明：

，

（2）①补全图形.

②证明：

》图1

图2

北京市西城区第一学期期末试卷

八年级数学附加题

试卷满分：20分

一、填空题（本题8分）

1. 3，按下面的方式进行排列：

。

所在的位置记为(1,5)，(2,3)，那么

（1所在的位置应记为；

（2）在(4,1)的位置上的数是，所在的位置应记为；

（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为.

二、操作题（本题4分）

2. 条件：图①和图②是由边长都为1个单位长度的小正方形组成的网格，其中有三个图形：组块A，组块

B和组块C.

任务：在图②的正方形网格中，用这三个组块拼出一个轴对称图形（组块C的位置已经画好），要求组块

的所有顶点都在格点上，并且3个组块中，每两个组块

．．．．．要有公共的顶点或边.请画出组块A和组块B 的位置（用阴影部分表示，并标注字母）

|

说明：只画一种即可，组块A，组块B可在网格中平移，翻折或旋转.

(

三、解答题（本题8分）

3. 在平面直角坐标系Oy中，点A的坐标为(4,0)

-，点B的坐标为(0,)b，将线段BA绕点B顺时针旋转90得到线段BC，连接AC.

（1）当点B在y轴的正半轴上时，在图1中画出△ABC并求点C的坐标（用含b的式子表示）；（2）画图探究：当点B在y轴上运动且满足2-≤b≤5

时，相应的点C的运动路径形成什么图形.

…

①在图2中画出该图形；

②描述该图形的特征；

③利用图3简要证明以上结论.

解：（1）

&

（2）①画图.

②该图形的特征是

—

.

③简要证明过程：

? 图1图2

、

北京市西城区第一学期期末试卷

八年级数学参考答案及评分标准

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

11. 1. 12. ≥3. 13. (5,1). 14. 200

(

1)v

-. 15. （1）见图1（涂色1分，画对称轴1分）；（2）3（1分）.

}

16. （1）3（2分）；（2）256（1分）.

三、解答题（本题共52分） 17. （本题6分，每小题3分）

解：（1）32225(5)a b a b a b a b -=-； …………………………………………………… 3分 （2） 231212a a -+

23(44)a a =-+ …………………………………………………………………… 4分

23(2)a =-. ………………………………………………………………………… 6分

18. （本题6分） > 解： 22

2142442

a a a a a a a a ---??-÷

?++++?? 2212=(2)(2)4a a a a a a a ??--+-???

++-??

21

=(4)(2)(4)a a a a a a ---

-+-

…………………………………………………………… 3分 (2)(2)(1)

a a a a -+--图1

4

=

(2)(4)a a a a -+-

……………………………………………………………………… 4分

2

1

=

2a a +. ……………………………………………………………………………… 5分

当1a =-时，

2211

12(1)2(1)

a a ==-+-+?-. …………………………………………6分

19. （本题6分）

。

解：方程两边同乘(1)(1)x x -+，得 2(1)(1)7x x ++-=.…………………………………2分

去括号，得 2217x x ++-=.……………………………………………………………3分 移项，合并，得 36x =.……………………………………………………………… 4分 系数化1，得 2x =. …………………………………………………………………… 5分 经检验，2x =是原方程的根. ………………………………………………………… 6分 所以原方程的解为2x =. 20. （本题6分）

………… 2分

&

解：原式

2

22-?

…………………………………………… 4分

=

3

1222+- ………………………………………………………………… 5分

=1

152

-……………………………………………………………………… 6分

21. （本题6分） 证明：如图2.

∵ △PAO 和△PBQ 是等边三角形， ∴ PA=PO ，PB=PQ ，∠OPA =60°，∠QPB =60°.

、

∴ ∠OPA =∠QPB .

∴ 33OPA QPB ∠-∠=∠-∠.

∴ ∠1=∠2. ……………………………………………… 1分 在△PAB 和△POQ 中，

,12,PA PO =??

∠=∠………………………………………………………………………… 4分

图2

∴ △PAB ≌△POQ . ………………………………………………………………… 5分 ∴ AB=OQ . ……………………………………………………………………… 6分 22. （本题6分） *

（1）例如：

①当a = 2 ，b = 3 时，等式222121

()()3333+=+成立；…………………………… 1分

② 当a = 3 ，b = 5 时，等式223232

()()5555+=+成立. ……………………………2分

（2）解：2222

2222

()()a b a a b a a b b a a ab b b b b b b b --+--++=+==

，…………………… 3分 2222

2222()a b a a b ab a a ab b b b b b b --+-++=+=

. …………………………… 5分 所以等式2()a b a b b -+=2()a b a b b

-+成立.…………………………………… 6分

23. （本题5分）

解：（1）例如：（画出一种即可）

|

………………… 4分

（2）结论略. …………………………………………………………………………… 5分 （本题5分）

解：（1）4（1分），直线EF 与AC 边的交点（1分），

标图1分（图略）. …………………3分

（2）先画点M 关于直线AB 的对称点M '，射线NM '

与直线AB 的交点即为点P . （见图3）

/

………………………………… 5分 注：画图1分，回答1分.

（本题7分）

（1）解：草图如图4. …………………………………………………………………………1分

先由长为h ，m 的两条线段作Rt △ADH ，再由线段c 作边AB 确定点B ，再倍长 BD 确定点C . …………………………………………………………………… 4分

（2）如图5. ………………………………………………………………………………… 7分

图3

注：其他正确图形及作法相应给分.

（

25.（本题6分） （1）证明：如图6.

∵ △ABC 是等边三角形，

∴ 260BAC B ∠=∠=∠=?. ∵ AD=DE ， ∴ 1E ∠=∠.

∵ 1BAD BAC ∠=∠-∠，2EDC E ∠=∠-∠， ∴ ∠BAD =∠EDC . ……………………… 2分

…

（2）①补全图形.（见图7）……………………3分

②法1： 证明：如图7. 由（1）已得34∠=∠.

∵ 点E 与点M 关于直线BC 对称，

可得 45∠=∠，DE=DM .

∵ DE=DA ， ~

∴ 35∠=∠，DA=DM .

∵ ∠ADC 是△ABD 的外角， ∴ 3603ADC B ∠=∠+∠=?+∠.

又∵ 5ADC ADM ∠=∠+∠， ∴ 60ADM ∠=?. ∴ △ADM 是等边三角形.

∴ DA=AM . ……………………………………………………………………… 6分

法2：

》

证明：如图8，在AB 边上截取BF=BD ，连接CM ，DF . 可得△BDF 是等边三角形，120AFD DCE ∠=∠=?.

∴ △ADF ≌△DEC . ∴ DF=EC .

∵ 点E 与点M 关于直线BC 对称， 可得45∠=∠，CE=CM ，

\

120DCM DCE ∠=∠=?.

∴ BD= DF=EC= MC ，60ACM ∠=?. ∴ B ACM ∠=∠. ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB AC =. ∴ △ABD ≌△ACM .

∴ DA=AM . ……………………………………………………………………… 6分

北京市西城区第一学期期末试卷

八年级数学附加题参考答案及评分标准

一、填空题（本题8分）

1.解：（1）(2,5).…………………………………………………………………………… 2分

（2）43，(5,4).…………………………………………………………………… 6分 （3）(6,2).…………………………………………………………………………… 8分 二、操作题（本题4分） 2.解：如图所示，任画一种即可.

…………………………………………………………4分 三、解答题（本题8分）

3.解：（1）如图1，作CD ⊥y 轴于点D . 由题意可得AB=BC ，90ABC ∠=?，

∴ 90DBC OBA ∠+∠=?. ∵ 90AOB BDC ∠=∠=?， ∴ 90OAB OBA ∠+∠=?. ∴ OAB DBC ∠=∠.

∴ △OAB ≌△DBC . ………………………… 2分 ∴ OB=DC ，OA=DB . ……………………… 3分

∵ 点A 的坐标为(4,0)-，点B 的坐标为(0,)b ，点B 在y 轴的正半轴上， ∴ 4OA =，OB b =.

∴ 4OD OB BD b =+=+，CD OB b ==. …………………………………… 4分 由题意知点C 在第二象限，

∴ 点C 的坐标为( ,+4)b b -.………………………………………………………5分 （2）①画图见图2. ………………………………………………………………………6分 ②线段13C C ，其中1C ，3C 两点的坐标分别为1(2,2) C ，3(5,9) C -，线段13C C 所 在直线与y 轴所夹的锐角为45. ………………………………………………7分 ③简要证明过程：如图3，设点G 的坐标为(0,4)G ，点H 的坐标为(4,0)H ，可 得∠OGH =45

.

图1

由点(0,4)G 可得4OG OA ==. 同（1）可得OB=CD ，AO=BD .

所以 CD OB OD BD ==-OD OA OD OG DG =-=-=. 由CD ⊥y 轴于点D 可得∠DGC =45.

所以无论点B 在y 轴上如何运动，相应的点C 在运动时总落在直线GH 上.而点B 在y 轴上运动满足2-≤b ≤5时，此时点C 运动的路径是这条直线上的一部分，是线段13C C （见图2），其中与点1(0,2) B -对应的端点为1(2,2) C ；与点3(0,5) B 对应的端点为3(5,9) C -. …………………………………………… 8分

图2 图3