2013年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案

2013年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1． 集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（ ）

A. 3a ≥

B. 1a ≤-.

C. 1a ≤-或 3a ≥

D. 13a -≤≤

2． 若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3． 已知等比数列{a

n

}：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是

（ ）

A. D.

4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2

8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =--

5. 已知直线AB 与抛物线2

4y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（ ）。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 01

2

C M AB =

6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25

,

7. 若三位数abc被7整除，且,,

a b c成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（）个。

A.4

B. 6

C. 7 D 8

8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（）。

A.

B.

2

C.

D.

4

正视图：

正方形

2

9. 设函数2

3

4

()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则函数()y f x =的极大值点为（ ）

A.0x =

B. 1x =

C. 2x =

D. 3x =

10. 已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足

1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-??

-+=+-≤

，则()h x 的表达式为（ ）。

A.1()2h x x =-

B.1

()2h x x =--

C.1()2h x x =-+

D.1

()2

h x x =+

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分） 11. 若1

tan tan 2,sin sin 3

x y x y ==，则x y -=________________。

12. 已知2

()(1)2f x x k x =-++，若当0x >时()f x 恒大于零，则k 的取值范围为_____________ 。

13.

数列1,2,n =，则数列中最大项的值为______________。

14. 若,x y R ∈，满足2

2

2

2

222()5x x y y x x x --+-=，则x =_______, y =________。

15. 设直线l 与曲线3

1y x x =++有三个不同的交点,,A B C ,

且AB BC ==则直线l 的方程为_________________。

16. 若0,0,a b >>则22

11

min{max(,,

)}a b a b +=______________________。

17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限,x y 轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有__________________种不同的运动轨迹。

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18. 已知抛物线2

4y x =，过x 轴上一点K 的直线与抛物线交于点,,P Q

两点。证明，存在唯一一点K ，使得2

2

11PK

KQ

+

为常数，并确定K 点的坐标。

19. 设二次函数2

()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[3,4]上至少有一个零点，求2

2

a b +的最小值。

20. 设x N ∈满足2013

12014

.2013

x x +??

<

?

??

数列12201,,,a a a 是公差为2013

x

，首项22012

1(1)1a x x =+-的等差数列； 数列122013,,

,b b b 是公比为

1,x

x

+首项20131(1)b x x =+的等比数列，求证：11220122013b a b a b <<<<< 。

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。） 21. 设,,,3,a b c R ab bc ca +

∈++≥证明

555322322322()()()9a b c a b c b c a c a b ++++++++≥。

22. 从0,1,2，…，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。 试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。

（图 1 ）

2013年浙江省高中数学竞赛答案

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1. 答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ?=?，则12a -≥或

10a +≤。解得1a ≤-或 3a ≥。

2. 答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==?+=。

当60sin sin 1αβαβ==?+=>，但90αβ+≠。

3. 答案 B 计算得27

33,q a ==

4. 答案 D

5. 答案 B

2

()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM ?=-?-=-++? 2

2

min

min{}CM AM CA CB CM

CM l =-??=?⊥。

6. 答案 C 111

1

10.9624.

1223

(1)1

S k k k k =+++

=-≥?≤???++

7. 答案 D 设三位数为()()11199(09,99,0),b d b b d b d b d d -+=-≤<-<<≠由

7(11199)7()1,1;2,2;3,3;b d b d b d b d b d -?+?==-==-==-4,3,4;b d ==-

5,2;6,1;8,1b d b d b d ======-。所以，所有的三位数为 210,420,630,147,840,357,567,987

8. 答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。

9. 答案 B 由图象可知1x =为函数极大值点，3x =是极小值点，0,2x =不是极值点。

10. 答案 C 22(1)1

()22

x h x x -++-=

=-+。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分） 11. 解答：由111

tan tan 2,sin sin cos cos cos()362

x y x y x y x y ==

?=?-=，所以 x y -=23

k ππ±

。

12. 解答

由2

22

(1)201,x k x k x x x x

-++>?+<+

+≥

等号在x =

1k <。

13. 解答 11

1ln /2()()(1ln )x

x x

x

x

f x x e

f x x x e x

==?=

-?=为极大值点，所以数列最大项

。

14. 解答 把等式看成关于x 的一元二次方程

2222

4(1)20(221)0(32)0,33

y y y y y x ?=--++≥?+≤?=-=。

15. 解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为1,(,)y kx A x y =+，

则

3

211

(2)(2)02y kx y x x k k k k ?=+??=++?-++=?=?=。所求直线方程为21y x =+。

16. 解答 2222211112

max{,,},,a b m a m b m m m a b a b m

+=?≤≤+≤?≥

?m ≥，所以

2

211

min{max(,,

)}a b a b

+

=。

17. 解答 21

669C C -=.

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18. 解答 设K （,0a ），过K 点直线方程为()y k x a =-，交抛物线于1122(,),(,),

A x y

B x y

联立方程组

22222222

12122

42(2)2(2)0,()

y x ak k x ak x a k x x x x a k y k x a ?=+?-++=?+==?=-?…5分 222222

1122

(),()PK x a y KQ x a y ?=-+=-+……………………………………7分 2

2222

1112(1)a

k a k PK KQ

+?+=+，……………………………………………………12分 令2a =22

111,(2,0)4K PK KQ

?+=。…………………………………………17分

19. 解法1 由已知得，设t 为二次函数在[3,4]上的零点，则有2

(21)20at b t a ++--=，变形

222222222222(2)[(1)2]()((1))()(1)t a t bt a b t t a b t -=-+≤+-+=++，……5分

于是2

2

222211

(

)51100(24)2

t a b t t t -+≥=≥

+-++-，……………………………12分 因为52,[3,4]2t t t -+∈-是减函数，上述式子在23

3,,2550

t a b ==-=-时取等号，故

22a b +的最小值为1

100

。………………………………………………………………17分

解法 2 把等式看成关于,a b 的直线方程2

:(1)220x a xb x -++-=，利用直线上一点（,a b

≥上）。

20. 解：首先， 20132012

2)1(1)1(x i x

x a i -+-+=， -----------------2分

i i i i x x x

x x x b --+=++=20141

2013)1()1()1(。-----------------4分

i

i i x

x x b b )1(20131+=-+…………………………………………6分

用归纳法证明 20131,2013

20142013≤≤-≥-i i

x b a i i 。

由于201320122013111x x x b a ≥-+=-，即i=1成立。……………………8分 假设 20121≤≤i 成立，

则)()1()()()(201320131111i i i

i i i i i i i i b a x

x x x b a b b a a b a -++-=-+---=-++++

)(20131

)()1(201320320132013i i i i b a x b a x x x x -+-≥-++-≥

2013)

1(2014201312013201312013

20132013+-=+-+-≥i x i x x 。…………………14分 所以，2013,,2,1, =>i b a i i 。

归纳证明2012,,2,1,1 =>+i a b i i ，首先 0112>=-a b ，假设 20111≤≤i 成立， 则

)

()()(111212i i i i i i i i a b a a b b a b -+---=-++++++0)()1(120131

2013>-+-+=++i i i a b x x

x x 。…………………………………………17分

故命题成立。

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。） 21. 解答 原命题等价于333222()()9a b c a b c ++++≥，………………………………10分

又2223

3

32

3

()9(

),3

a b c a b c ++++≥…………………………………………………20分 故只需要证明222

3a b c ++≥成立。…………………………………………………25分 利用已知条件，这是显然的。

22. 解答 对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。………………………………10分 对于图2不存在完美填法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，……，10， …………… ……………………………………………… 15分 其和1213237855s a a a a a a a a =-+-+-+

+-=为奇数。……………… 20分

另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述S 的表达式中出现偶数次。因此S 应为偶数，矛盾。………………………………………25分 所以，不存在完美填fa