证明圆周率π是无理数很容易？人类花了2000年！

我在之前制作的视频中，多次谈到了圆周率π。比如，我介绍过阿基米德和刘徽计算圆周率的方法——割圆术，还谈到了蒲丰利用一根针计算圆周率的方法——蒲丰投针实验。人类使用和计算圆周率已经有了数千年的历史，可是了解圆周率的数学性质其实是最近二三百年的事情。最初人们总是希望能够计算出圆周率的准确值，写成一个分数或者有限小数的形式，可是数千年来的一次次的努力都失败了。

直到两百多年前，数学家们才证明了圆周率是一个无理数（无限不循环小数），是不可能用有限小数或者分数写出来的。可是，你知道这个命题如何证明吗？这回我们就来讨论一下。

一.有理数和无理数

我们首先来复习一下基础概念：什么是无理数？初中时候我们学习过数轴，数轴上面密密麻麻布满了点，有的点是整数，有的点不是整数，但是每一个点就对应了一个数，这个数叫做实数。实数与数轴上的点一一对应。

数轴

我们可以把实数分成两类：有理数和无理数。有理数是那些可以写成两个整数的比的数，例如：1，2，1/3，0.25（=1/4），0.929292…(=92/99)...... 这些数字要么本身是整数，要么等于两个整

数的比，所以都是有理数。有时候，我们又把有理数分为三种，分别是整数、有限小数和循环小数。有理数有无穷多个，但是我们其实可以把有理数一个一个排列起来，所以有理数的个数其实是与自然数一样多的，这一点我在精读《从一到无穷大》的专栏中说到过证明。

数轴上除了有理数外，其余的数字叫做无理数——无理数不能写成两个整数的比，它们是无限不循环小数。例如圆周率π=3.1415926……

自然对数的底e=2.71828……

2的平方根√2=1.414……

…

无理数有无穷多个，而且无理数没有办法一个一个排列起来，它的个数比有理数多得多。

实数的分类

现在我们已经复习完了有理数和无理数的概念。要证明一个数字是有理数很简单：只要把这个数字表示成两个整数的比就行了。但是要证明一个数字是无理数，就要证明它不能表示成两个整数的比，数学上如何去证明一件事情不可能呢？这就需要用到一种数学方法——反证法了。

二. 反证法

反证法的原理是：我们要证明一件事不可能，就首先假设这件事可能，然后推导出矛盾的结果，于是就证明了它不可能。例如：我们可以通过反证法证明√2是一个无理数。

求证：√2是一个无理数

首先假设√2是有理数，然后推导出矛盾的结果，从而证明√2是无理数。我们利用这种方法，就能证明圆周率是无理数了。

三.第一个证明

200多年前，瑞士著名数学家欧拉研究了关于连分数的问题。

欧拉

所谓连分数是指形如下面的数字：

、

其中ai都是整数。数学家们证明：任何一个实数都可以唯一对应一个（特定规则的）连分数，并且有理数对应的连分数是有限层数，

而无理数对应的连分数有无限层。例如，无理数√2可以表示成如下形式：

在欧拉的启发下，欧拉的同事，瑞士数学家兰伯特想到：能够顺着连分数的思路，证明圆周率是无理数呢？1761年，兰伯特给出了这个证明。

兰伯特 1728-1777

首先，兰伯特证明了：正切函数可以展开成一种类似于连分数的函数形式:

然后，兰伯特根据以上表达式证明：如果x是一个有理数，则tan(x)一定是无理数。

最后，利用反证法：设π是有理数，则π/4也是有理数，于是按照上面的证明，tan(π/4)应该是无理数。但是tan(π/4)=1是一个有理数，发生矛盾。因此π是无理数，证明完毕。

看起来，兰伯特的方法似乎没有多么繁琐，可是如何证明tan(x)可以写成这样的展开式？又如何通过这个展开式证明x是有理数时tan(x)一定是无理数呢？这个过程过于冗长，在这里就不再赘述。

从兰伯特给出了圆周率的是无理数的第一个证明后，数学家们陆续提出了一些其他的证明方式。其中，二十世纪的美国数学家伊万.尼云给出的方法最为简洁，他写的论文总共不到一页纸。小伙伴们保持关注，下一回再给大家介绍伊万的证明方法。

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内容来自：科普中国

证明圆周率π是无理数很容易？人类花了2000年！

证明圆周率π是无理数很容易？人类花了2000年！我在之前制作的视频中，多次谈到了圆周率π。比如，我介绍过阿基米德和刘徽计算圆周率的方法——割圆术，还谈到了蒲丰利用一根针计算圆周率的方法——蒲丰投针实验。人类使用和计算圆周率已经有了数千年的历史，可是了解圆周率的数学性质其实是最近二三百年的事情。最初人们总是希望能够计算出圆周率的准确值，写成一个分数或者有限小数的形式，可是数千年来的一次次的努力都失败了。直到两百多年前，数学家们才证明了圆周率是一个无理数（无限不循环小数），是不可能用有限小数或者分数写出来的。可是，你知道这个命题如何证明吗？这回我们就来讨论一下。一.有理数和无理数我们首先来复习一下基础概念：什么是无理数？初中时候我们学习过数轴，数轴上面密密麻麻布满了点，有的点是整数，有的点不是整数，但是每一个点就对应了一个数，这个数叫做实数。实数与数轴上的点一一对应。数轴我们可以把实数分成两类：有理数和无理数。有理数是那些可以写成两个整数的比的数，例如：1，2，1/3，0.25（=1/4），0.929292…(=92/99)...... 这些数字要么本身是整数，要么等于两个整

数的比，所以都是有理数。有时候，我们又把有理数分为三种，分别是整数、有限小数和循环小数。有理数有无穷多个，但是我们其实可以把有理数一个一个排列起来，所以有理数的个数其实是与自然数一样多的，这一点我在精读《从一到无穷大》的专栏中说到过证明。数轴上除了有理数外，其余的数字叫做无理数——无理数不能写成两个整数的比，它们是无限不循环小数。例如圆周率π=3.1415926…… 自然对数的底e=2.71828…… 2的平方根√2=1.414…… … 无理数有无穷多个，而且无理数没有办法一个一个排列起来，它的个数比有理数多得多。实数的分类现在我们已经复习完了有理数和无理数的概念。要证明一个数字是有理数很简单：只要把这个数字表示成两个整数的比就行了。但是要证明一个数字是无理数，就要证明它不能表示成两个整数的比，数学上如何去证明一件事情不可能呢？这就需要用到一种数学方法——反证法了。二. 反证法反证法的原理是：我们要证明一件事不可能，就首先假设这件事可能，然后推导出矛盾的结果，于是就证明了它不可能。例如：我们可以通过反证法证明√2是一个无理数。求证：√2是一个无理数

数学万花筒(10) “π”的演义

数学万花筒(10)“π”的演义古代在求圆的周长时，中西方文化较发达地区的人们均取π＝3，如我国《周髀算经》就说“径一周三”，后人称之为“古率”.人们通过实践，逐步认识到用“古率”计算圆周长和圆面积时，所得到的值均小于实际值，于是不断利用经验数据修正π值，例如古埃及人和巴比伦人分别得到π＝3.156和π＝3.125.后来古希腊数学家阿基米德(公元前287～212年)利用圆内接和外切正多边形来求圆周率的近似值，得到当时关于π的最好估值约为：3.1409，…….待到南北朝时，祖冲之(公元429～500年)则更上一层楼，计算出π的值在3.1415926与3.1415927之间，它将π值精确到小数点后第七位.这一精度，在长达一千年的时间中，一直处于世界领先地位，直到公元1429年左右才被中亚细亚的数学家阿尔·卡西打破. 在十八世纪以前，“π是有理数还是无理数？”一直是许多数学家研究的课题之一.直到1767年兰伯脱才证明了π是无理数，圆满地回答了这个问题.然而人类对于π值的进一步计算并没有终止，例如1610年德国人鲁道夫根据古典方法，用262边形，计算π到小数点后第35位.他把自己一生的大部分时间花在这项工作上.后人为了纪念他，就把这个数刻在他的墓碑上，至今圆周率被德国人称为“鲁道夫数”.后来有了电子计算机，有人已经算到第十亿位.若要问计算如此高精度的π值，其意义何在？专家们说，至少可以由此来研究π的小数出现的规律.更重要的是，对π认识的新突破进一步说明了人类对自然的认识是无穷无尽的.几千年来，没有哪一个数比圆周率π更能牵动人们的心、让如此多的痴迷者“为伊消得人憔悴，衣带渐宽终不悔”的了！ 1

数学家与圆周率的故事

数学家与圆周率的故事数学家与圆周率的故事圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。下面是店铺带来的数学家与圆周率的故事，希望对你有帮助。数学家与圆周率的故事 1 因为圆形的普遍存在，所以圆周率π是个广泛使用的常数。小学生就开始了对圆周率π的学习，但很多人对于π的认识，基本上就停止在小学水平。学数学就是要经常问一问为什么，不能仅仅接受结论，而不思考得出结论的过程和历史，对于圆周率π也一样。对于π，到了中学和大学以后，就可以思考的更多些。圆的周长与直径的比，对于所有大大小小的圆，难道都是一个恒定不变的常数吗？有的人认为，这是一个不需要思考的问题，其实不然。我们从小学开始就学到了这个问题的结论，并用这个结论进行各种计算，用的也很好。其实，在小学时就可以适当的思考下：这是为什么呢?只要思考一下，思考的稍微多一点，就一定对学习数学有益！随着学习的逐渐深入，还可以进一步思考：这个常数是有限小数、无限循环小数，还是无限不循环小数？说它是个无理数，即无限不循环小数，数学上证明过了吗？不要说以上各种各样的思考没有意义，实际上，我们人类正因为很多像这样的思考，才使得数学有意思、有用途，从而取得了巨大的进步和成就。近两年，我对圆周率π再一次感兴趣，是因为读了《中国桥魂：茅以升的故事》（吉林科学技术出版社），了解到茅以升在美国留学读研期间，在中国留学生主办的《科学》杂志上发表了论文《中国圆周率略史》，科学地证明了中国是最早确切知道圆周率科学内容的国

圆周率简介

位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下新的纪录。至今，最新纪录是小数点后25769亿位。除π的数值计算外，它的性质探讨也吸引了众多数学家。1761年瑞士数学家兰伯特第一个证明π是无理数。1794年法国数学家勒让德又证明了π^2也是无理数。到1882年德国数学家林德曼首次证明了π是超越数，由此否定了困惑人们两千多年的“化圆为方”尺规作图问题。还有人对π的特征及与其它数字的联系进行研究。如1929年苏联数学家格尔丰德证明了e^π是超越数等等。编辑本段圆周率的计算古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正2^62边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的威廉·山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否是循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力的，还有，就是为了兴趣。圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。通常用希腊字母π来表示。1706年，英国人琼斯首次创用π代表圆周率。他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。现在π已成为圆周率的专用符号，π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。在古代，实际上长期使用π＝３这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。东汉的数学家又将π值约为3.16。直正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71 。这是第一次在科学

圆周率π的计算与应用

圆周率π的计算与应用圆周率π是数学中一个重要的无理数，它的计算和应用在科学和工程领域中起着重要的作用。本文将探讨圆周率π的计算方法和应用领域。一、圆周率的计算方法计算圆周率π是一个古老而复杂的问题，历史上有许多不同的计算方法被提出和应用。其中最著名的方法之一是阿基米德的方法。阿基米德通过将一个圆内接正多边形的周长逐渐逼近圆的周长，从而得到了一个较为准确的圆周率近似值。这个方法被称为“阿基米德方法”，至今仍然被广泛使用。除了阿基米德方法，还有许多其他的计算圆周率的方法。例如，马青公式是一种基于级数展开的计算圆周率的方法。该方法通过将一个无穷级数展开，逐渐逼近圆周率的值。这个方法的优点是可以通过增加级数的项数来提高计算精度。另外，近年来随着计算机技术的发展，一些基于数值计算的方法也被广泛应用于计算圆周率。例如，蒙特卡洛方法是一种基于随机数的计算圆周率的方法。该方法通过在一个正方形内随机生成大量的点，并统计落在圆内的点的比例来估算圆周率的值。由于计算机的高速计算能力，蒙特卡洛方法可以得到非常精确的圆周率近似值。二、圆周率的应用领域圆周率π在科学和工程领域中有着广泛的应用。首先，圆周率π在几何学中起着重要的作用。几何学是研究图形、形状和空间关系的数学学科，而圆周率π是几何学中最基本的常数之一。在计算圆的面积、周长以及其他几何问题时，圆周率π是必不可少的。其次，圆周率π在物理学中也有着重要的应用。物理学是研究自然界中物质和能量的运动和相互作用的学科，而圆周率π在物理学中常常出现在各种公式和方程

中。例如，在计算圆形物体的转动惯量、计算电子的自旋磁矩等问题时，圆周率π 起着关键的作用。此外，圆周率π还在工程领域中有广泛的应用。工程学是应用科学的一个分支，它研究如何设计、建造和维护各种工程系统。在工程设计中，圆周率π经常用于计算圆形结构的尺寸和参数。例如，在建筑设计中，计算圆柱体的体积和表面积时，圆周率π是必需的。总结起来，圆周率π的计算和应用在科学和工程领域中具有重要的意义。通过不断发展和改进计算方法，我们可以获得更加精确的圆周率近似值，并在各个领域中应用它的数学性质。无论是几何学、物理学还是工程学，圆周率π都是不可或缺的常数，它的计算和应用将继续对人类的科学研究和技术发展做出贡献。

趣味故事圆周率的趣闻,总有一条你不知道

趣味故事圆周率的趣闻，总有一条你不知道！点击蓝字关注我们美国麻省理工学院首先提议将3月14日定为国家圆周率日（National Pi Day）。2009 年美国众议院正式通过将每年的3月14号设定为“圆周率日”（Pi day）。我们一起来看看这个魔法数字π有哪些趣闻吧！圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，英国数学家琼斯（William Jones）在 1706 年第一次使用希腊字母π 来表示圆周率，大数学家欧拉（Leonhard Euler）在1737 年将这种用法普及开来。

左图/琼斯（William Jones，1675~1749）右图/欧拉（Leonhard Euler，1707~1783） 1768年，德国数学家朗伯（Johann Lambert ）证明π 是无理数，也就是说，π 不能表示成整数之比。 1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明圆周率是超越数，即它不是任何一个有理系数代数方程的根。圆周率超越性的证明解决了一个古老的难题——化圆为方，不可能用尺规作图法做出与指定圆面积相等的正方形。 3月14日是“圆周率日”，这天也恰好是爱因斯坦的生日。 7月22日是“圆周率近似值日”，因为英国日期的写法是22/7，2/7 ≈3.1428…

爱因斯坦（Albert.Einstein） 1879年3月14日~1955年4月18日德国数学家科伊伦（Ludolph Van Ceulen）使用纸笔用了几乎一生的时间，在 1609 年得到圆周率前35位。英国业余数学家山克斯（William Shanks），花了 15 年时间在1874年得到圆周率的小数点后707位。但是，在 1944 年后人使用计算器发现他在 527 位之后就算错了。 1949 年，世界上第一台通用计算机 ENIAC 花费 70 小时计算出圆周率 2037 位。 2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。

数学之美—圆周率π的秘密

数学之美—圆周率π的秘密如果说存在那么一个数字，我们很小就知道了它，但最顶尖的数学家依然对它着迷，那么，这个数字很大可能性是一个几千年前人类已经知道它存在，但直到今天它依然彷佛存有无限秘密的数字，一个看似简单的常数，圆的周长与直径之比——圆周率π。为何看似如此简单的数字吸引着无数的人为之着迷，不如我们来看一下宅总怎么说：宅总对于圆周率的解释这段解释将π的迷人之处展示得淋漓尽致，但是有个问题，它是正确的吗？不着急，我们慢慢来，首先看看关于圆周率的发现之路。 •圆周率的发现之旅 1706年英国数学家威廉·琼斯最先使用π来表示圆周率。1736年，欧拉也开始用π表示圆周率。从此，π便成了圆周率的代名词。有确切考证的最早关于圆周率的记录发现于古埃及文物，莱因德数学纸草书表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605。同一时期的一块古巴比伦石匾（约产于公元前1900年至1600年）也清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。可以说人们已经在几千年前就清楚的认识到圆的周长与直径之比是一个常数了。在此后有很多伟大的数学家通过各种方法手工计算了圆周率的值，这里做一个简单介绍：首先是阿基米德，一个伟大的古希腊大数学家，他从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止（本人对于阿基米德的计算能力无比佩服，读者可以想象一下96边形是个什么样子）。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7，并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。

揭开圆周率π的神秘面纱

揭开圆周率π的神秘面纱圆周率，也被简写为π，是数学中一个非常神秘而重要的常数。它是数学界一个充满挑战，却又充满魅力的问题，也是需要不断研究和探索的一个无底洞。本文将揭开圆周率π的神秘面纱，介绍其背后的数学原理和引人入胜的发现。一、圆周率的定义和历史圆周率是一个无理数，其定义是一个圆的周长与其直径之比。数学家通常用希腊字母π（pi）来表示圆周率，其近似值为3.14159。圆周率的概念最早可以追溯到古代希腊，当时的数学家们已经开始研究圆的性质和周长与直径之间的关系。在不同的文明和时期，人们通过不同的方法和算法来逼近圆周率的精确值。二、数学方法与公式为了逼近圆周率的精确值，数学家们发展了各种不同的方法和公式。古希腊数学家阿基米德使用了一个近似圆的多边形来计算圆周率的下限，而印度的一位数学家马杜拉使用了一个连分数公式，可以逐步逼近圆周率。这些方法和公式为研究圆周率的进一步发展奠定了基础。三、圆周率的无理数性质圆周率是一个无理数，这意味着它不能被表示为两个整数的比值。这一性质是由17世纪法国数学家费马提出并得到证明的，这个证明过程被认为是数学史上的一个重要里程碑。无理数的性质使得圆周率具

备了一种无窮不循環的小数表示形式，也是为什么我们需要使用符号π来表示它的原因。四、圆周率的应用圆周率不仅仅是一个数学问题，它在科学和工程领域中具有非常广泛的应用。在几何学方面，圆周率是计算圆的面积和体积的重要参数。而在物理学中，圆周率的精确值也是进行精确计算和测量的关键因素。此外，圆周率还在电子工程、计算机科学、天文学等领域中扮演着重要的角色。五、圆周率和随机数令人惊讶的是，圆周率π与随机数理论之间存在着紧密的联系。在二十世纪中期，数学家们发现了利用随机数模拟来计算圆周率的方法。通过生成大量的随机点，并计算其中落在圆内的比例，可以逼近圆周率的精确值。这一发现大大推动了随机数理论的发展，并促进了数学和统计学的交叉研究。六、圆周率的计算记录与挑战圆周率的计算一直是一个具有争议和挑战性的问题。人们通过不断创新的计算算法和日益强大的计算机性能，不断刷新圆周率的计算记录。最近的一次突破是由中国数学家李祖涵和计算机科学家亚历山大·约科维特创造的，他们使用了一种新的算法，计算出了π的十五万亿位小数值。这一成果使得人们对圆周率的认识和计算能力达到了新的高度。

圆周率的历史

圆周率的历史圆周率，一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数.它定义为圆形之周长与直径之比.它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。圆周率是一个常数(约等于3.1４15926),是代表圆周长和直径的比例.它是一个无理数,即是一个无限不循环小数。圆周率在生产实践中应用非常广泛,在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平。圆周率π 圆的周长与直径之比是个与圆的大小无关的一个常数，人们称之为圆周率。巴比伦人最早发现了圆周率。1600年,英国威廉奥托兰特首先使用π表示圆周率,因为π是希腊之“圆周"的第一个字母.170６年，英国的琼斯首先使用π。173７年，欧拉在其著作中使用，后来被数学家广泛接受,一直沿用至今. π是一个非常重要的常数，一位德国数学家评论道：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的重要标志，古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过值的计算方法。从埃及到巴比伦到中国一直都在对圆周率的精确值做出研究。早期的测算中人们使用了很粗糙方法.古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率的稍好些的值。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器--律嘉量斛.刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。他得到一些

关于圆周率的并不划一的近似值,分别为３.154７，3．1992,3．1498，３。203１,比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果,当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。转图为汉莽新嘉量铭文公元前20０年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出π值的正确求法。他专门写了一篇论文《圆的度量》用圆外切与内接多边形的周长以大小两个方向上同时逐步逼近圆的周长，巧妙地求得π.这是第一次在科学中创用上下界来确定近似值，公元前１５0年左右，另一位古希腊数学家托勒密用弦表法（以1的圆心角所对弦长乘以3６０再除以圆的直径）给出了π的近似值3。1４16。公元2０0年间，我国数学家刘徽在注释《九章算术》中独立发现了用几何方法求圆周率的方法，称之为“割圆术”。刘徽由正六边形开始,不断倍增正多边形的边数。正六边形正十二边形正二十四边形正四十八边形

圆周率的历史与进展

圆周率的历史与进展 1. 引言圆周率，简称π，是数学中一个非常重要的常数，它描述了圆的周长与直径的比值。这个神秘而有趣的数学常数在人类历史上扮演了重要的角色，引发了无数数学家和科学家的研究和探索。本文将带您回顾圆周率的历史，并介绍一些关于圆周率的最新进展和挑战。 2. 古代的圆周率探索早在古代，人们就开始探索圆周率的值。在约公元前2000年的古埃及，人们已经知道了一个近似值3.16，可以用来计算圆的周长。在古代希腊，著名的数学家阿基米德使用了更为精确的近似值3.1416，并且提出了一种计算圆周率的方法，即利用多边形逼近圆的面积，然后不断增加多边形的边数以获得更加精确的近似值。然而，古代数学家们并没有发现圆周率的无理性。这一发现要等到公元5世纪的古希腊数学家兹诺的贡献，他证明了圆周率是一个无理数，即不能表示为两个整数的比值。这个发现开启了圆周率研究的新篇章。 3. 近代的圆周率计算进入近代，数学家们开始探索更精确的圆周率值。在17世纪，数学家约翰·沃利斯和詹姆斯·格雷戈利等人分别提出了一些无穷级数，用于计

算π的近似值。他们的工作为后来的数学家们提供了宝贵的思路和方法。 18世纪，瑞士数学家莱布尼茨和德国数学家欧拉在圆周率的计算上取得了重要突破。莱布尼茨利用反正切函数的级数展开，推导出了一个无穷级数，可以用来计算π的近似值。欧拉则通过一系列复杂的数学变换，证明了π是一个无理数，并且推出了一些关于π的重要公式，如欧拉公式。 4. 计算机和圆周率随着计算机技术的发展，人们在圆周率的计算上取得了巨大的进展。20世纪，英国数学家弗朗西斯·贝利和美国数学家约翰·马查给出了一种新的算法，可以计算到π的任意位数。这个算法被称为贝利-马查算法，它将圆周率的计算与复杂的数学变换和数值逼近结合起来，使得圆周率的计算变得更加高效和准确。随后，人们利用计算机不断刷新着π的计算记录。1961年，美国数学家丹尼斯·珀克斯使用计算机计算出π的1000位小数。1989年，日本数学家高精度计算机核心研究所使用了强大的计算机集群，计算出了π的一千万位小数，创造了新的世界纪录。 5. 当代的圆周率挑战尽管已经取得了惊人的进展，但计算π的精确值仍然是一个巨大的挑

你所知道的π原来是错的关于π的一切

你所知道的π原来是错的关于π的一切谁是最著名的数学常数？毫无疑问是π。我们小学就学过，老师说它约等于3.14，而且是最重要的数学常数之一。但是，数学家鲍勃·帕莱、物理学家迈克尔·哈特尔、科普专家维·哈特却说：“π 是错的！” π 是错的！什么意思？π 不能约等于 3.14 ？不是。他们想说的是，如果重写数学，他们根本就不会提到π，要提也只是把它当成注脚，说明其历史上的作用即可。众所周知的π 在推翻数学史之前，我们先简单看看历史说了什么。π 又叫圆周率，是圆周长与直径之比，换句话说，如果圆的直径为 1，则周长为π（任意单位）。然而，π 能让数学家和大众频频称道，却并不是因为它的定义，而是因为它的性质。这里只提一下π 的三个奇妙性质： •奇数倒数正负交错相加， 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …，等于π/4； •自然数平方的倒数相加，1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …，等于(π^2)/6；

•任取两个正整数，互质的概率为1/π。不可思议吧？π 出现在和圆周长毫无关系的地方。惊讶于此的不止你一个，这个数学常数无处不在，十分神秘，引起了许多数学家的好奇。但是，让π 名声大噪的应该还是它令人捉摸不透的本性。18 世纪，瑞士数学家约翰·朗伯证明了π 是无理数，和 2 的平方根一样，不能写为分数形式，换句话说，不能用整数a 和b 写出π = a/b。更“糟”的是， 1882 年，费迪南德·冯·林德曼指出π 是超越数。笼统地说，这表示π 不是任何一个整系数多项式方程的解，和黄金分割率φ 不同，因为黄金分割率是方程 x^2 = x + 1 的解。 π 的神秘之处不止于此。其性质如此复杂，有些关于其数位的简单问题至今也没有答案。比如，取一个整数，如265，π 的数位中是否有这个数？对265 来说，答案是肯定的，因为π 的前几位就是3.141592653... 但是，任取一个整数都一定会在其中出现吗？或者说，π 是一个“包罗万象”的数吗？人们还不知道答案。但我敢肯定，能解决这个问题的人一定会名垂青史…… 不管怎么说，在我们这个时代，π 已成为数学和极客文化的标志，说起来总是很有“派”。人们把每年的 3 月 14 日被定为“π 日”，好像纪念远古神祇一样。反“派”公式但在鲍勃·帕莱、迈克尔·哈特尔和维·哈特看来，π 是错的，或者说，π 这个常数选得不好。为什么呢？在他们看来，“真正”的圆周率不应该是周长与直径之比，而应该是周长与半径之比，他们称为τ（念 tao）。实际上，如果用τ 代替2π，许多公式都能简化。学习数学或物理的学生们都有这样的经验，π 前面经常有 2，如果把2π 写成τ，那应该能节省一点墨水。当然，数学家完全不在意用多少墨水，但非常在意另一件事——优雅。优雅部分来自公式的简洁。如果用τ 代替π 的话，许多公式都会变得更优雅。比如右图中这些公式，它们都是数学和物理学研究中

圆周率有关的知识点

圆周率有关的知识点圆周率是数学中的一个重要概念，它是一个无理数，用希腊字母π表示。圆周率的值约为 3.1415926，它是圆的周长与直径之比。圆周率的历史可以追溯到古代，早在公元前2000年左右，古埃及人就已经知道了圆周率的存在，并使用它来计算金字塔的体积。古代希腊人也研究了圆周率，其中最著名的是阿基米德。他使用一个多边形逼近圆的面积，从而得到了一个较为准确的圆周率值。随着数学的发展，人们对圆周率的研究也越来越深入。下面我们来介绍一些和圆周率有关的知识点。 1. 圆周率的无理性圆周率是一个无理数，这意味着它不能用两个整数的比值表示出来。这个结论最早是由古希腊数学家欧多克斯证明的。他使用反证法，假设圆周率是一个有理数，然后推导出矛盾的结论，从而证明了圆周率的无理性。 2. 圆周率的近似值由于圆周率是一个无限不循环小数，因此我们只能通过近似值来表示它。最早的圆周率近似值是由古代中国数学家刘徽提出的，他使用正96边形逼近圆的面积，得到了圆周率的近似值为 3.1416。后来，人们不断改进逼近方法，得到了更为准确的近似值。目前，使用计算机可以计算出数万亿位的圆周率。最著名的是日本数学家山本达郎和美国数学家斯普格曼，他们分别使用超级计算机计算出了数十亿位的圆周率。

3. 圆周率的应用圆周率在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。其中最为著名的是欧拉公式，它将圆周率、自然常数 e、虚数单位 i 组合在一起，形成了一个非常优美的公式： e^iπ + 1 = 0 欧拉公式被认为是数学中最美丽的公式之一，它将几个看似毫不相关的数学概念联系在了一起。此外，圆周率还在计算机科学中有广泛应用，例如在密码学中的哈希函数、随机数生成、图像压缩等领域都涉及到圆周率的运算。 4. 圆周率的研究圆周率的研究一直是数学中的一个重要课题。目前，人们仍在不断探索圆周率的性质和规律。例如，人们发现圆周率中的数字是随机出现的，没有任何规律可言。此外，人们还研究了圆周率在不同进制下的表现形式，以及圆周率的分数部分和小数部分之间的关系等。总之，圆周率是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。圆周率的研究也一直是数学家们的热点话题，我们相信，在未来的研究中，圆周率还会带给我们更多的惊喜。

这才是真正的民间数学大神！短短几行字就严格证明了π是无理数！

这才是真正的民间数学大神！短短几行字就严格证明了π是无理数！我们都知道圆周率π，π的定义是一个圆的周长和这个圆的直径的比值。 π=圆周长：直径圆周长=直径×π=2R×π=2πR 我国古代著名数学家祖冲之利用割圆术将π精确计算到小数点后第7位，这种精度领先西方数学500多年。 3.1415926＜π＜3.1415927 大约在2000多年前，人们就已经发现了圆周率π。从直觉上来看，π显然应该是一个无理数，也就是一个无限不循环小数。但直觉是不靠谱的，我们必须严格证明才能真正地让所有人信服。关于π是无理数的严格证明直到近200年，数学家们才通过理论严格证明了这一结论。数学家们是通过反证法进行证明的：假设π不是无理数，那么π是有理数，π可以表示成一个既约分数令π=a/b＞0 这里a和b都是正整数，a，b∈N* 并且a和b互质，或者说约成最简整分数，(a，b)=1 然后构造了一个函数 f(x)=[(x^n)×(a-bx)^n]/n! 经过一系列求导和求积分，最终得出与假设矛盾，从而推出假设错误，进而证明π是无理数。整个证明过程论文长达数十页，过程相对复杂，这里略去不讲。总结一下：要想严格证明π是一个无理数绝非易事！需要庞大的数学理论知识！然而，近期一位民间数学大神宣称自己轻易就证明了π是无理数，证明过程只有短短几行字，而且逻辑毫无漏洞！

接下来我们就来欣赏一下大神的表演：求证：π是无理数证明：假设π是有理数则可令π=a/b＞0 这里a，b∈N*，且(a，b)=1 所以b=a×π sin(b)=sin(a×π) 注意到a是一个正整数我们知道π的正整数倍的正弦值一定为0 即sin(a×π)=0 所以sin(b)=sin(a×π)=0 同时注意到b也是一个正整数我们又知道一个正整数的正弦值一定不为0 即sin(b)≠0 从而产生矛盾说明“假设π是有理数”错误所以π是无理数证毕！看到这里，我是真的惊呆了！就这么几句话就严格证明了π是无理数？如果这个证明过程真的是毫无逻辑漏洞的话，那只能说这帮数学家们简直弱爆了！显然！这位大神的论证方式是存在逻辑漏洞的！但是看上去这个证明过程却又是如此丝滑，那么问题究竟出在哪儿呢？事实的真相只有一个！那就是犯了循环论证的逻辑错误！所谓循环论证就是指：用来证明结论的论据本身是需要依靠这个结论来证明的逻辑错误。在循环论证中，论证的前提就是论证的结论，因此又称为“先定结论”。在以上证明过程中，“π的正整数倍的正弦值一定为0”，这句话要成立的前提就是“π是一个无理数”。

数学家与圆周率的故事

圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。下面是店铺带来的数学家与圆周率的故事，希望对你有帮助。数学家与圆周率的故事 1 因为圆形的普遍存在，所以圆周率π是个广泛使用的常数。小学生就开始了对圆周率π的学习，但很多人对于π的认识，基本上就停止在小学水平。学数学就是要经常问一问为什么，不能仅仅接受结论，而不思考得出结论的过程和历史，对于圆周率π也一样。对于π，到了中学和大学以后，就可以思考的更多些。圆的周长与直径的比，对于所有大大小小的圆，难道都是一个恒定不变的常数吗？有的人认为，这是一个不需要思考的问题，其实不然。我们从小学开始就学到了这个问题的结论，并用这个结论进行各种计算，用的也很好。其实，在小学时就可以适当的思考下：这是为什么呢?只要思考一下，思考的稍微多一点，就一定对学习数学有益！随着学习的逐渐深入，还可以进一步思考：这个常数是有限小数、无限循环小数，还是无限不循环小数？说它是个无理数，即无限不循环小数，数学上证明过了吗？不要说以上各种各样的思考没有意义，实际上，我们人类正因为很多像这样的思考，才使得数学有意思、有用途，从而取得了巨大的进步和成就。近两年，我对圆周率π再一次感兴趣，是因为读了《中国桥魂：茅以升的故事》（吉林科学技术出版社），了解到茅以升在美国留学读研期间，在中国留学生主办的《科学》杂志上发表了论文《中国圆周率略史》，科学地证明了中国是最早确切知道圆周率科学内容的国家，祖冲之是世界上最早把圆周率计算到小数点后7位的人。从人类对圆周率π逐步认识的历史过程来看，我做了如下简要的梳理：

数学小故事-圆周率π的计算历程

数学小故事:圆周率π的计算历程圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说：历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。我们可以将这一计算历程分为几个阶段。实验时期通过实验对值进行估算，这是计算的的第一阶段。这种对值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用＝3这个数值。最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前圆径一而周三曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆周三径一这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：周三径一，方五斜七，意思是说，直径为1的

圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率和2这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为古率。早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值由此，得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的4 (8/9)2= 3.1605。在印度，公元前六世纪，曾取= 10= 3.162。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。几何法时期凭直观推测或实物度量，来计算值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此22＜＜4。当然，这是一个差劲透顶的例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。

圆周率的故事

圆周率的故事第一篇：圆周率的故事历史上求圆周率的故事古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。历史上最马拉松式的计算，其一是德国的鲁道夫，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为鲁道夫数；其二是英国的威廉·山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。据说，从前有位私塾先生，经常想出怪招来惩罚学生，而他自己却溜出去玩。有一次上课时，一位学生调皮，老师罚所有学生放学后留下背出圆周率小数点后20位数字才能回家，而他自己却跑到山顶上的一个寺庙里与和尚喝酒。大家很郁闷，怎么也背不出来。一位学生看看自己、想想老师，灵感勃发，用了谐音的方法编了一套顺口溜，

圆周率π计算附简单应用

圆周率π的计算及简单应用一、π的来历 π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。通常用希腊字母π来表示。英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。此后π才成为圆周率的专用符号。π的历史是饶有趣味的。对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。在我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。用

分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上： 3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的π值。π的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。至2010年最新记录是2000万亿。π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。二、π的定义圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。因此，π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，π可以严格地定义为满足0 x的 sin= 最小正实数x。