华师大版七年级数学下册教案(全册)

第6章一元一次方程

6．1从实际问题到方程

教学目的

1．通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。

2．使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

3．会判断一个数是不是某个方程的解。

重点、难点

1．重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。

2．难点：弄清题意，找出“相等关系”。

教学过程

一、复习提问

小学里已经学过列方程解简单的应用题，我们回顾一下，如何列方程解应用题?

例如：一本笔记本1．2元。小红有6元钱，那她最多能买到几本这样的笔记本呢?

解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得

1.2x＝6

因为1.2×5＝6，所以小红能买到5本笔记本。

二、新授：

我们再来看下面一个例子：

问题1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可以乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆?

问：你能解决这个问题吗?有哪些方法?

(让学生思考后，回答，教师再作讲评)

算术法：(328－64)÷44＝264÷44＝6(辆)

列方程解应用题：

设需要租用x 辆客车，那么这些客车共可乘44x 人，加上乘坐校车的64人，就是全体师生328人，可得。

44x+64＝328 （1）

解这个方程，就能得到所求的结果。

问：你会解这个方程吗?试试看?

(学生可能利用逆运算求解，教师加以肯定，同时指出本章里我们将要学习解方程的另一种方法。)

问题2：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

小敏同学很快说出了答案。“三年”。他是这样算的：

1年后，老师46岁，同学们的年龄是14岁，不是老师的三分之一。

2年后，老师47岁，同学们的年龄是15岁，也不是老师的三分之一。

3年后，老师48岁，同学们的年龄是16岁，恰好是老师的三分之一。

你能否用方程的方法来解呢？

通过分析，列出方程：13＋x ＝3

1（45＋x ） （2） 问：你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发？

这个方程不像例l 中的方程(1)那样容易求出它的解，小敏同学的方法启发了我们，可以用尝试，检验的方法找出方程(2)的解。也就是只要将x ＝1，2，3，4，……代人方程(2)的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就是这个方程的解。

把x ＝3代人方程(2)，左边＝13+3＝16，右边＝(45+3)＝×48＝16，

因为左边＝右边，所以x ＝3就是这个方程的解。

这种通过试验的方法得出方程的解，这也是一种基本的数学思想方法。也可以据此检

验一下一个数是不是方程的解。

问：若把例2中的“三分之一”改为“二分之一”，那么答案是多少?

同学们动手试一试，大家发现了什么问题?

同样，用检验的方法也很难得到方程的解，因为这里x的值很大。另外，有的方程的解不一定是整数，该从何试起?如何试验根本无法人手，又该怎么办?

这正是我们本章要解决的问题。

三、巩固练习

1．教科书第3页练习1、2。

2．补充练习：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解。

(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)

(2)2y(y－1)＝3 (y＝－1，y＝2)

(3)5(x－1)(x－2)＝0 (x＝0，x＝1，x＝2)

四、小结。本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法，解决一些实际问题。谈谈你的学习体会。

五、作业。教科书第3页，习题6.1第1、3题。

6.2解一元一次方程

1．方程的简单变形

教学目的

通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。

重点、难点

1．重点：方程的两种变形。

2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。

教学过程

一、引入

上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。

二、新授

让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。

测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。

如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。

如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗?

让同学们观察图6.2.1的左边的天平；天平的左盘内有一个大砝码和2个小砝码，右盘上有5个小砝码，天平平衡，表示左右两盘的质量相等。如果我们用x表示大砝码的质量，1表示小砝码的质量，那么可用方程x+2＝5表示天平两盘内物体的质量关系。

问：图6.2.1右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?它所表示的方程如何

由方程x+2＝5变形得到的?

学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。

问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去)同一个整式呢?

让同学们看图6.2.2。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?

把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上2x呢?

由图6.2.1和6.2.2可归结为；

方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。

让学生观察(3)，由学生自己得出方程的第二个变形。

即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：

通过对方程进行适当的变形．可以求得方程的解。

例1．解下列方程

(1)x－5＝7 (2)4x＝3x－4

解：(1) 两边都加上5，得x＝7+5 即x＝12

(2) 两边都减去3x，得x＝3x－4－3x 即x＝－4

请同学们分别将x＝7+5与原方程x－5＝7；x＝3x－4－3与原方程4x＝3x－4比较，你发现了这些方程的变形。有什么共同特点?

这就是说把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

注意：“移项’’是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要先变号后移项。

例2．解下列方程

(1)－5x ＝2 (2) 2

3x ＝31 这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。

以上两个例题都是对方程进行适当的变形，得到x ＝a 的形式。

练习：

课本第6页练习1、2、3。

练习中的第3题，即第2页中的方程①先让学生讨论、交流。

鼓励学生采用不同的方法，要他们说出每一步变形的根据，由他们自己得出采用哪种方法简便，体会方程的不同解法中所经历的转化思想，让学生自己体验成功的感觉。

三、巩固练习

教科书第7页，练习

四、小结

本节课我们通过天平实验，得出方程的两种变形：

1．把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。

2.把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数，方程的解不变。第①种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。

五、作业

教科书第7—8页习题6.2.1第1、2、3。

6.2、解一元一次方程

第一课时

教学目的

1．了解一元一次方程的概念。

2．掌握含有括号的一元一次方程的解法。

重点、难点

1．重点；解含有括号的一元一次方程的解法。

2．难点；括号前面是负号时，去括号时忘记变号。

教学过程

一、复习提问

1．解下列方程：

(1)5x－2＝8 (2)5+2x＝4x

2．去括号法则是什么?“移项”要注意什么?

二、新授

一元一次方程的概念

前面我们遇到的一些方程，例如44x+64＝328 3+x＝(45+x) y－5＝2y+l 问：大家观察这些方程，它们有什么共同特征?

(提示：观察未知数的个数和未知数的次数。)

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是l，这样的方程叫做一元一次方程。

例1．判断下列哪些是一元一次方程

x＝3x－2 x－3＝－l

5x2－3x+1＝0 2x+y＝l－3y＝5

下面我们再一起来解几个一元一次方程。

例2．解方程(1) －2(x－1)＝4

(2) 3(x－2)+1＝x－(2x－1)

方程(1)该怎样解?由学生独立探索解法，并互相交流

此方程既可以先去括号求解，也可以看作关于(x－1)的一元一次方程进行求解。

第(2)题可由学生自己完成后讲评，讲评时，强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项，若括号前面是“－”号，注意去掉括号，要改变括号内的每一项的符号。

补充例题：解方程3x－[3(x+1)－(1+4)]＝l

方程中有多重括号，你会解这个方程吗?

说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

三、巩固练习

教科书第9页，练习，l、2、3。

四、小结

本节课我们学习了一元一次方程的概念，并学习了含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号。

五、作业

教科书第12页习题6．2，2第l题。

第二课时

教学目的：

使学生掌握去分母解方程的方法，并从中体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程，要注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

重点、难点

1、重点：掌握去分母解方程的方法。

2、难点：求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。

教学过程

一、复习提问

1．去括号和添括号法则。

2．求几个数的最小公倍数的方法。

二、新授

例1：解方程

23

x-

－

31

2x+

＝1

分析：如何解这个方程呢?此方程可改写成

6

)1 2x (2

)3

x(3+

-

-

＝1

所以可以去括号解这个方程，先让学生自己解。

同学们，想一想还有其他方法吗?能否把方程变形成没有分母的一元一次方程，这样，我们就可以用已学过的方法解它了。

解法二；把方程两边都乘以6，去分母。

比较两种解法，可知解法二简便。

想一想，解一元一次方程有哪些步骤?

先让学生自己总结，然后互相交流，得出结论。

解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x ＝a 的形式。解题时，要灵活运用这些步骤。 补充例2：解方程 5

15x +＝21－ 37x - 问：如果先去分母，方程两边应同乘以一个什么数?

应乘以各分母的最小公倍数，5、2、3的最小公倍数。

三、巩固练习

教科书第10页，练习1、2。

(练习第1题是辨析题，引导学生进行分析、讨论，帮助学生在实践中自我认识和纠正解题中的错误)

四、小结

1．解一元一次方程有哪些步骤?

2．同学们要灵活运用这些解法步骤，掌握移项要变号，去分母时，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上。

五、作业

教科书第12页习题6.2.2第2题。

第三课时

教学目的：

理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列一元一次方程解简单应用题。重点、难点

1、重点：弄清应用题题意列出方程。

2、难点：弄清应用题题意列出方程。

教学过程

一、复习

1、什么叫一元一次方程？

2、解一元一次方程的理论根据是什么？

二、新授。

例1、如图6.2.4（课本第10页）天平的两个盘内分别盛有51克，45克食盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到月盘内，才能两盘所盛的盐的质量相等?

先让学生思考，引导学生结合填表，体会解决实际问题，重在学会探索：已知量和未知量的关系，主要的等量关系，建立方程，转化为数学问题。

分析：设应从A盘内拿出盐x，可列表帮助分析。

等量关系；A盘现有盐＝B盘现有盐

完成后，可让学生反思，检验所求出的解是否合理。

(盘A现有盐为5l－3＝48，盘B现有盐为45+3＝48。)

培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

例2. 学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了400块，问初一同学有多少人参加了搬砖?

引导学生弄清题意，疏理已知量和未知量：

1．题目中有哪些已知量?

(1)参加搬砖的初一同学和其他年级同学共65名。

(2)初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块。

(3)初一和其他年级同学一共搬了400块。

2．求什么?初一同学有多少人参加搬砖?

3．等量关系是什么?初一同学搬砖的块数十其他年级同学的搬砖数＝400 如果设初一同学有工人参加搬砖，那么由已知量(1)可得，其他年级同学有(65－x)人参加搬砖；再由已知量(2)和等量关系可列出方程

6x+8(65－x)＝400

也可以按照教科书上的列表法分析

三、巩固练习

教科书第11页练习1、2、3

第l题：可引导学生画线图分析

等量关系是：AC十CB＝400

若设小刚在冲刺阶段花了x秒，即t1＝x秒，则t2(65－x)秒，再由等量关系就可列出方程：

6(65－x)+8x=400

四、小结

本节课我们学习了用一元一次方程解答实际问题，列方程解应用题的关键在于抓住能表示问题含意的一个主要等量关系，对于这个等量关系中涉及的量，哪些是已知的，哪些是未知的，用字母表示适当的未知数(设元)，再将其余未知量用这个字母的代数式表示，最后根据等量关系，得到方程，解这个方程求得未知数的值，并检验是否合理。最后写出答案。

五、作业

教科书第12页习题6.2.2第3、4、5、6题。

6.3实践与探索

第一课时

教学目的

让学生通过独立思考，积极探索，从而发现；围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”同时根据计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变化，且长方形的长与宽越接近时，面积越大。通过问题3的教学，让学生初步体会数形结合思想的作用。

重点、难点

1．重点：通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。

2．难点：找出“等量关系”列出方程。

教学过程

一、复习提问

1．列一元一次方程解应用题的步骤是什么?

2．长方形的周长公式、面积公式。

二、新授

问题1．用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。

(1)使长方形的宽是长的专，求这个长方形的长和宽。

(2)使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积。

(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗?

让学生独立探索解法，并互相交流。第(1)小题一般能由学生独立或合作完成，教师也可提示：与几何图形有关的实际问题，可画出图形，在图上标注相关量的代数式，借助直观形象有助于分析和发现数量关系。

分析：由题意知，长方形的周长始终不变，长与宽的和为60÷2＝30(厘米)，解决这个问题时，要抓住这个等量关系。

第(2)小题的设元，可让学生尝试、讨论，对学生所得到的结论都应给予鼓励，在讨论

交流的基础上，使学生知道，不是每道应用题都是直接设元，要认真分析题意，找出能表示整个题意的等量关系，再根据这个等量关系，确定如何设未知数。

(3)当长方形的长为18厘米，宽为12厘米时

长方形的面积＝18×12＝216(平方厘米)

当长方形的长为17厘米，宽为13厘米时

长方形的面积＝221(平方厘米)

∴(1)中的长方形面积比(2)中的长方形面积小。

问：(1)、(2)中的长方形的长、宽是怎样变化的?你发现了什么?如果把(2)中的宽比长少“4厘米”改为3厘米、2厘米、1厘米、0.5厘米长方形的面积有什么变化?猜想宽比长少多少时，长方形的面积最大呢?并加以验证。

通过计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变

化，并且长和宽的差越小，长方形的面积越大，当长和宽相等，即成正方形时面积最大。

实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。

三、巩固练习

教科书第14页练习1、2。

第l题，组织学生讨论，寻找本题的“等量关系”。

用一块橡皮泥捏出的各种形状的物体，它的体积是不变的。因此等量关系是：圆柱的体积＝长方体的体积。

第2题，先让学生根据生活经验，开展讨论，解这道题的关键是什么?题中的等量关系是什么?

通过思考，使学生明确要解决“能否完全装下”这个问题，实质是比较这两个容器的容积大小，因此只要分别计算这两个容器的容积，结果发现装不下，接着研究第2个问题，“那么瓶内水面还有多高”呢?如果设瓶内水面还有x厘米高，那么这里的等量关系是什么?

等量关系是：玻璃杯中的水的体积十瓶内剩下的水的体积＝原来整瓶水的体积。从而列出方程

四、小结

本节课同学们认真思考，积极探索，通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会到运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，有些等量关系是隐藏的，不明显，同学们要联系实际，积极探索，找出等量关系。

五、作业

教科书第15页，习题6.3.1第1、2、3。

第二课时

教学目的

通过分析储蓄中的数量关系，以及商品利润等有关知识，经历运用方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

重点、难点

1．重点：探索这些实际问题中的等量关系，由此等量关系列出方程。

2．难点：找出能表示整个题意的等量关系。

教学过程

一、复习

1．储蓄中的利息、本金、利率、本利和等含义，它们之间的数量关系利息＝本金×年利率×年数

本利和＝本金×利息×年数＋本金

2．商品利润等有关知识。

利润＝售价－成本＝商品利润率

二、新授

在本章6.l练习中讨论过的教育储蓄，是我国目前暂不征收利息税的储种，国家对其他储蓄所产生的利息征收20％的个人所得税，即利息税。今天我们来探索一般的储蓄问题。

问题2、小明爸爸前年存了年利率为2.43％的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少元?

先让学生思考，试着列出方程，对有困难的学生，教师可引导他们进行分析，找出等量关系。

利息－利息税＝48.6

可设小明爸爸前年存了x元，那么二年后共得利息为

2.43％×X×2，利息税为2.43％X×2×20％

根据等量关系，得 2.43％x·2－2.43％x×2×20％＝48.6

问，扣除利息的20％，那么实际得到的利息是多少?你能否列出较简单的方程?

扣除利息的20％，实际得到利息的80％，因此可得

2.43％x·2·80％＝48.6

解方程，得x=1250

例1．一家商店将某种服装按成本价提高40％后标价，又以8折(即按标价的80％)优惠卖出，结果每件仍获利15元，那么这种服装每件的成本是多少元?

大家想一想这15元的利润是怎么来的?

标价的80％(即售价)－成本＝15

若设这种服装每件的成本是x元，那么

每件服装的标价为：(1+40％)x

每件服装的实际售价为：(1+40％)x·80％

每件服装的利润为：(1+40％)x·80％－x

由等量关系，列出方程：(1+40％)x·80％－x＝15

解方程，得x＝125

答：每件服装的成本是125元。

三、巩固练习教科书第15页，练习1、2。

四、小结本节课我们利用一元一次方程解决有关储蓄、商品利润等实际问题，当运用方程解决实际问题时，首先要弄清题意，从实际问题中抽象出数学问题，然后分析数学问题中的等量关系，并由此列出方程；求出所列方程的解；检验解的合理性。应用一元一次方程解决实际问题的关键是：根据题意首先寻找“等量关系”。

五、作业：教科书第16页，习题6.3.1，第3、4、5题。

第三课时

教学目的

1．使学生理解用一元一次方程解工程问题的本质规律；通过对“工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力。

2．使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力。

重点、难点

重点：工程中的工作量、工作的效率和工作时间的关系。

难点：把全部工作量看作“1”。

教学过程

一、复习提问

1．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲独做I小时完成全部工作量的多少?

2．一件工作，如果甲单独做a小时完成，那么甲独做1小时，完成全部工作量的多少?

3．工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系?

二、新授

让学生阅读教科书第19页中的问题3。

分析：

1．这是一个关于工程问题的实际问题，在这个问题中，已经知道了什么?小刘提出什么问题?

已知：制作一块广告牌，师傅单独完成需4天，徒弟单独做要6天。

小刘提出的问题是：两人合作需要几天完成?

2．怎样用列方程解决这个问题?本题中的等量关系是什么?

[等量关系是：师傅做的工作量+徒弟做的工作量＝1]

若设两人合作需要x天完成，那么甲、乙分别做了几天?甲、乙的工作效率是多少?

本题中工作总量没有告诉，我们把它看成“1”，根据等量关系可得方程。（略）

3．你还能提出什么问题?试试看，并解答这些问题。

让学生充分思考，大胆提出问题，互相交流，对于合理的问题，让大家共同解答，对于不合理的问题，让大家探讨为什么不合理?应改为怎样提?

4．李老师把两位同学的问题，合起来后，已知条件增加了什么?求什么?

[“徒弟先做1天”，也就是说徒弟比师傅多做1天]

5．要解决本题提出的问题，应先求什么？[先要求出师傅与徒弟各完成的工作量是多少?] 两人的工效已知，因此要先求他们各自所做的天数，因此，设师傅做了x天，则徒弟做(x+1)天，根据等量关系，列方程（略）

解方程得x＝2 师傅完成的工作量为（略），徒弟完成的工作量为（略）

所以他们两人完成的工作量相同，因此每人各得225元。

三、巩固练习

一件工作，甲独做需30小时完成，由甲、乙合做需24小时完成，现由甲独做10小时；请你提出问题，并加以解答。

例如(1)剩下的乙独做要几小时完成?

(2)剩下的由甲、乙合作，还需多少小时完成?

(3)乙又独做5小时，然后甲、乙合做，还需多少小时完成?

四、小结1.本节课主要分析了工作问题中工作量、工作效率和工作时间之间的关系，即

工作量＝工作效率×工作时间

工作效率＝工作量／工作时间工作时间＝工作量／工作效率

2.解题时要全面审题，寻找全部工作，单独完成工作量和合作完成工作量的一个等量关系列方程。

五、作业：教科书习题6.3.2第1、2、3题。

第六章小结与复习(一)2课时

学习目标：

1．准确地理解一元一次方程的解题步骤；2．熟练地掌握一元一次方程的解法；

3. 能熟练地解一元一次方程。

4. 在查漏补缺的过程中培养学生自我发现、自我归纳、善于分析、勇于探索的能力，

循序渐进，激发学生求知欲，增强学生自信心，

复习重点：复习巩固解一元一次方程解法步骤和解题思想。

复习难点：能够熟练准确地解一元一次方程

过程与方法：

1、以点拨——精讲——精练的模式，完善知识的结构。

2、引导学生进行分析、归纳总结。

复习过程：

一、知识点回顾：

1、方程的定义：

2、等式的定义和等式的基本性质

3、一元一次方程的定义

4、解一元一次方程的步骤

二、练习跟踪A组

1、下列四个式子中，是方程是（）