崇明区2017年高三数学一模试卷

崇明县2016学年第一次高考模拟考试试卷

数 学

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）

【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】 1．复数(2)i i +的虚部为 ．

2．设函数2log ,0()4,0x x x f x x >??=???

≤，则((1))f f -= ．

3．已知{}12,M x x x R =-∈≤，10,2x P x x R x -??

=∈??+??≥，则M P ∩等于 ． 4．抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 ．

5．已知无穷数列{}n a 满足1*1

()2

n n a a n N +=∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则

lim n n S →∞

= ．

6．已知,x y R +∈，且21x y +=，则x y ?的最大值为 ．

7．已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α=?，则圆锥的表面积为 ．

8．若21

(2)(*)n x n N x

+∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n = ．

9．已知A ，B 分别是函数2sin )(0()f x x ωω>=在轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2

AOB π

∠=

，则该函数的最小正周期是 ．

10．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同

一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．

11．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数()y f x =的图像恰好经

过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数．已知函数：①2y x =；②2sin y x =；

③1x y π=-；④cos 3y x π?

?=+ ??

?．其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你

认为正确论断的序号都填上）

12．已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点．若()f AP AB λλ=-

()R λ∈的最

小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为

4

3

，则线段AB 的长度为 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】

13．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A ．tan y x =

B ．3x

y =

C ．13

y x =

D ．lg y x =

14．设,a b R ∈，则“2

1a b ab +>??>?”是“1a >且1b >”的

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充分必要条件

D ．既非充分又非必要条件

15．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，

P 为C 上一点，满足OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为

A ．

2

21255y x += B ．

2

213010y x +=

C ．

2

13616

y x 2+=

D ．

22

14525

y x += 16．实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2

a b

+、ab 按一定顺序构成的数列 A ．可能是等差数列，也可能是等比数列 B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列

C ．不可能是筹差数列，但可能是等比数列

D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数

列

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分. 在正三棱柱

111ABC A B C -中，11,2AB BB ==，求： （1）异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积．

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分. 在一个特定时段内，以点D 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点D 正北55海里处

有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45?且与点A 相

距

402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ?+（其中26sin 26

θ=

， 090θ?<

（1）求该船的行驶速度（单位：海里／小时）；

（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分.

已知点1F 、2F 为双曲线2

2

2:1y C x b

-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，

在轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=?． （1）求双曲线C 的方程；

（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，

求12PP PP ? 的值．

20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小

题满分7分.

设12()2x x a

f x b

+-+=+（,a b 为实常数）．

（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；

（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的、c ，

都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小

题满分8分.

已知数列{}n a ,{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．

（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为1

3

-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出数列{}n a 的通项公

式；

（3）在(2)的条件下，设n

n n

a c

b =

， 求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

崇明县2016学年第一次高考模拟考试试卷参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1. 2；

2. -2；

3. 1-1,1];

4. 34;

5. 4;

6. 1

8

;

7. 75π 8. 12; 9.

833; 10. 24; 11. ; 12.42

3

. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

13. C; 14.B; 15.C; 16.B.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17.解：（1）11//B C BC ，

1BCA ∴∠是异面直线11B C 与1A C 所成角............................2分 在1BCA 中，11

1,5,5BC A B AC ===， 22211115cos 210

BC CA BA BCA BC CA +-∴∠==

?,........................5分 15arccos

10

BCA ∴∠= ∴异面直线11B C 与1A C 所成角大小为5

arccos

10

................7分 （2） 1113

2

ABC A B C ABC V S AA -=?=

.......................................10分 1113

36

A ABC ABC V S AA -=

?=

.........................................13分 所以1111113

3A B BCC ABC A B C A ABC V V V ---=-=...................................14分

18.解：(1)因为090θ?<

θ=

， 所以2

526

cos 1sin

26

θθ=-=

....................................2分 由余弦定理，得222cos 105BC AB AC AB AC θ=+-?=，..........5分

所以船的行驶速度为

105

15523

=（海里/小时）..................6分 （2）如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B C ，的坐标分别是 1122 B x y C x y （，），（，）

， 由题意，得11cos 4540

sin 4540x AB y AB =??=??=??=?............................8分

22cos(45)30

sin(45)20

x AC y AC θθ=??-=??

=??-=?..................................10分 所以直线BC 的方程为2400x y --=.........................12分

因为点055E -（，）到直线BC 的距离002

2

||

357ax by c d a b

++=

=<+

所以船会进入警戒水域...............................14分

19.

解：（1）设2,F M 的坐标分别为22

0(1,0),(1,)b b y ++

因为点M 在双曲线上，所以2

2

0211y b b

+-=，所以22||MF b =...........2分

12Rt MF F 中，因为1230MF F ∠=?，所以21||2MF b =，...........5分

由双曲线定义，得：2

11||||2MF MF b -==...........5分

所以双曲线的方程为：2

2

12

y x -=...........6分 （2）由（1）知，双曲线的两条渐近线分别为12:20,:20l x y l x y -=+=.......8分 设11(,)P x y ，

则P 到两条渐近线的距离分别为111|2|

||3

x y PP -=

，112|2|

||3

x y PP +=

.......10分

设两条渐近线的夹角为，则两个向量夹角也为，其中1

cos 3

θ=

..........12分 又点P 在双曲线2

2

12

y x -=上，所以221122x y -=

所以1212

2||||cos 9

PP PP PP PP θ?=?= ..................................14分 20.解：（1）证明：51

1

212)1(2-=++-=

f ，4

121

21

)1(=+-

=

-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数............................3分 （2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，

即b

a

b a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数都成立

即0)2(2)42(2)2(2=-+?-+?-b a ab b a x x ，对定义域内任意实数都成立...........................................5分

所以???=-=-042,02ab b a 所以???-=-=21b a 或???==21b a ．

经检验都符合题意........................................8分

（3）当???==21b a 时，121

212212)(1++-=++-=+x x x x f ，

因为02>x ，所以112>+x ，11

21

0<+

， 所以2

1

)(21<<-

x f .......................................10分 而4

3

43)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数成立；

所以可取D =R 对任何、c 属于D ，都有33)(2+-

当?

??-=-=21b a 时，)0211

212212)(1

≠-+-=---=+x x f x

x x （， 所以当0>x 时，2

1

)(-

1)(>x f .............14分

1）因此取),0(+∞=D ，对任何、c 属于D ，都有33)(2+-+-c c ，解不等式321121≤-+-

x 得：7

5

log 2≤x ．所以取]7

5

log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的、c ，都有33)(2+-

21.（1）解：因为数列{}n a 是首项为

23，公比为1

3

-的等比数列 所以121()33n n a -=?-，1

1()32

n

n S --=.......................3分 所以21

22

n n n S b a =

=+.......................................4分 （2）若n b n =，则2(2)n n S a n =+，所以112(1)(2)n n S n a ++=++ 所以112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n n a na +-+=........5分 所以212(1)n n na n a +++=+

所以211(1)(1)n n n n na n a n a na +++--=+- 所以212n n n a a a +++=.......................................7分 又由1122S a =＋，得：12a =..............................8分 所以数列{}n a 是首项为2公差为1的等差数列 所以1n a n =+.......................................10分

（3）证明：由（2）知1

n n c n

+=

， 对于给定的*n ∈N ，若存在k t n ≠，，且*

t k ∈N ，，使得n k t c c c ?＝，

只需

111

n k t n k t +++=?.......................................12分 只需(1)

n k t k n

+=-......................................14分

取1k n =+，则(2)t n n =+......................................16分 所以对于数列{}n c 中的任意一项1

n n c n

+=

， 都存在121n n c n ++=+与2(2)221

2n n n n c n n

+++=+，使得1(2)n n n n c c c ++?＝，

即数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积................18分