2015-2016学年《高等数学AI》期末考试试卷

2015～2016学年度第一学期 《高等数学 AI 》期末考试试卷

课程代码： 1590116 试卷编号： 1-A 命题日期： 2015年 11月 1日 答题时限： 120 分钟 考试形式：闭卷、笔试

一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分，共20分）

（ A ）为x 的指定过程的无穷小

A 、1

arctan y x x =?， 0x →； B 、2346x x y x +=-， x →∞；

C 、5020

70

(4)(1)(3)x x y x +-=+， 4x →； D 、sin x

y x

=

， 0x →. 2、曲线20,sin cos π

≤≤???==t t b y t a x 的长度=S （ D ）

A 、?2

0 cos π

tdt a ； B 、?2

0 sin π

tdt b ；

C 、?+2

2

2

2

2

sin cos π

dt t b t a ； D 、?+2

2222sin cos π

dt t a t b .

3、设)(x f 是区间I 内的连续函数，0)(≠x f ，)(1x F ，)(2x F 是)(x f 在区间I 内的两个不同的原函数，则在区间I 内必有（ D ）

A 、)(1x F 12)(C x F =+；

B 、)(1x F 22)(

C x F =?；C 、)(1x F )(23x F C =；

D 、)(1x F 42)(C x F =-. 4、设3

2

()f x x ax bx =++在1x =-处有极小值1，则（ C ）

A 、1a b ==；

B 、1,1a b =-=；

C 、1,1a b ==-；

D 、1,1a b =-=-.

5、设?

??==)()(t y t x ψ?，?，ψ可导，则=dx dy

（ D ）

A 、)(t ?'；

B 、)(t ψ'；

C 、()()t t ?ψ''；

D 、()

()

t t ψ?''.

6、函数dt e

t x f x t

?

+-=0

13)(在区间 （ D ）单调减少.

A 、 ) , 3 [∞+；

B 、 ) , 3 [∞+-；

C 、 ) , (-∞+∞；

D 、 ]3 , (-∞. 7、若)(lim 0

x f x x →存在，则（ A ）

A 、)(x f 必在0x 的某一邻域内有界；

B 、)(x f 在0x 的某一邻域内无界；

C 、)(x f 在0x 的任一邻域内有界；

D 、)(x f 在0x 的任一邻域内无界.

8、设函数)(x f y =在点0x x =处的某一邻域内具有二阶连续的导数，且0)(0='x f ，

0)(0<''x f ，则函数)(x f y =在点0x x =处（ A ）

A 、有极大值；

B 、有极小值；

C 、有拐点；

D 、无极值也无拐点.

9、下列反常积分收敛的是 （ D ） A 、?

∞+ 1

in xdx s ； B 、?

∞

+ 1

1

dx x ； C 、?∞+ 1 1dx x

； D 、?∞+- 1 dx e x . 10、已知三平面1π，2π，3π的方程为0125:1=++-z y x π，08523:2=++-z y x π，

09324:3=-++z y x π，则必有( B ).

A 、1π与2π平行 ；

B 、1π与3π垂直；

C 、2π与3π垂直；

D 、2π与3π平行.

二、填空题（每空3分，共30分）

1、设)(x f 处处连续且 1)3(=f ，则=→))3arcsin (2tan lim

0x

x f x x x 2 。

2、若)(x f 为可导的奇函数，且2)(0-='x f ，则)(0x f -'= -2 .

3、若C x dx x f +=?5sin )(，则)(x f =x 5cos 5.

4、设)5)(4)(3)(2)(1()(-----=x x x x x x f ，则=')1(f 24 。

5、设)(x f 在],[b a 上连续、可微，且0)()(==b f a f ，5

)( -=?b

a dx x f ，

则='?

b

a

dx x f x )( 5.

6、=+++?+?+

∞→))

1(1

43132121(lim n n n 1. 7、曲线x e y =，x 轴与直线a x =，b x =)0(>>a b 所围成的图形的面积为

?

-=b

a

a b x e e dx e .

8、已知向量1||=a ，2||=b 且a 与b

的夹角2

πθ=，则=+||b a 5 .

9、设x x x y sin 523+-+=，则=)(n y )2

sin(π

?+n x .

10、=

?→4

2

sin lim

x dt t x x 2

1

。 三、计算题（每小题7分， 共28分）

1、求x

x x

x tan tan lim

20-→。 解：x x x x x tan tan sin lim 20-→30)1(cos tan lim x x x x -=→21)21(lim 32

0-

=-?=→x x x x 2、求由曲线x

y 1

=

和直线x y =，2=x ，0=y 所围平面图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积. 解：先求交点，由??

?

??==x y x y 1 得交点)1,1(并作图.

?=1

02

dx x V π?+2

12)1(dx x π)|1|31(2

1

103x

x -=πππ65)2131(=+=. 3、23sin cos x xdx ?. 解：

xdx x 3

2cos sin ?x d x x sin )sin 1(sin 22-=?C x x +-=53sin 5

1sin 31。 4、设函数)(x y y =由方程3ln )ln(2=+++y e x xy 确定，求)0(y '. 解：方程两边对x 求导，得 0112

='?+++

'+y y

e x y x y （1）， 将0=x 代入原方程，得e y =)0(。将0=x ，e y =)0(代入（1）得)1

()0(2e

e y +-='.

四、解下列各题（每小题8分， 共16分）

1、过点) 3,2,1(M 做直线，使它与两已知平面03:1=--+z y x π和012:2=-++z y x π都平行.

解：取k j i k

j i n n s

--=-=?=321

1211121，得直线方程1

33221--=

--=-z y x . 2、若???

??≤<+<≤-=1010

1 )(2

x x x x e x f x ，求?-2 0

)1(dt t f

解： ?-2

0 )1(dt t f ?

-=1

1

- )(1dx x f t x =?0

1

- dx e x

+?

+1

0 2

1dx x x

01

-=x

e +10

2)1ln(2

1x +=2ln 21e -11-+ .

五、证明题（本题6分）

设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导且0)1(=f ，证明 存在一点 ξ)1,0(∈，使

0)()1()(='-+-ξξξf e f 。

证明：设)()1()(x f e x F x -=，则)(x F 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导有

)()1()()(x f e x f e x F x x '-+='，又0)0()1()0(0=-=f e F ，0)1()1()1(=-=f e F 。由罗尔定理，

至少存在一点)1 , 0(∈ξ，使0)()1()()(='-+='ξξξξξf e f e F ， 即0)()1()(='-+-ξξξf e f .