个性化教案范例参考

学生姓名黄福成年级初三授课时间 2012-02-26 教师唐老师课时 2

授课内容:

（1）二次函数

一、知识要点：

1.二次函数的图象

在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+

的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶

点公式来求得顶点坐标.

2.理解二次函数的性质

抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大

而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 ;简记左减右增,

= ;反之当a

最小值

= .

时y

最大值

3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

(1)一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y?的值)?可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;

(2)在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k，顶点是（h，k）;

(3)在所给条件中已知抛物线与x?轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标

和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x

1)(x-x

2

)来求解.

4.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即

(1)当抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;

(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根; （3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,?方程ax2+bx+c=0无实根.

5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定

（1）a的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口

当a<0时,?抛物线开口 ;

（2）c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c 0时,抛物线交y轴于正半轴;

当c 0时,抛物线交y轴于负半轴;

（3）b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y?轴左侧时,b的符号与a的符号相同;

当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;?简记左同右异.

6.抛物线y=ax2+bx+c或y=a(x-h)2+k的图像平移。简记上加下减，左加右减。

二、典例剖析：

例1（1）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M（b，c

a

）在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，

?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；

③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例2(1)若二次函数y =（m + 1）x 2 + m 2 – 2m – 3的图象经过原点，则m 的值

必为 （ ）

A ．– 1和3 B.– 1 C.3 D.无法确定 (2)已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．

例3如图，已知抛物线b ax ax y --=22（0>a ）与x 轴的一个交点为(10)B -，，与y

轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

422-++m x ．当m 时，函数的图象是直线；

m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．

2.对于y = ax 2（a ≠0）的图象，下列叙述正确的是（ ）

A.a 越大开口越大，a 越小开口越小

B.a 越大开口越小，a 越小开口

越大

C.| a |越大开口越小，| a |越小开口越大

D.| a |越大开口越大，| a

|越小开口越小

3.抛物线22121x x y -+=可由抛物线22

1x y -=向 平移 个单位，再向

平 D

移 个单位而得到．

4.若抛物线y=(m-1)x 2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______.

5.已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值–1，则a 与b 之间的大小关系是（ ）

A ．a ＜b

B ．a=b

C ．a ＞b

D ．不能确定

6.已知方程05322=--x x 的两根是25，-1，则二次函数5322--=x x y 与x 轴的两

个交点间的距离为 ．

7.抛物线过点A （2，0）、B （6，0）、C （1，3），平行于x 轴的直线CD 交抛物线

于点C 、D ，以AB 为直径的圆交直线CD 于点E 、F ，则CE+FD 的值是 （ ）

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

8. 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =-运动，

当⊙P 与坐标轴相切时，圆心P 的坐标为

第7题图 第8题图 典型习题

１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是

（ ）

A.（2，－2）

B.（1，－2）

C.（1，－3）

D.（－1，－3）

２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜

第２,３题图 第4题图

３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0

B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0

C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0

D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0

４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交

AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则

的面积关于的函数的图象大致为（ ）

５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 ．

6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对

于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程0

11)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x

；⑤21x x k

－，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）．

7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式

为()c x b x y ++-=102.

（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线

的解析式；

（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试

确定直线b x y +-=2的解析式.

解：

（2）二次函数应用

一、知识要点：

二次函数应用?????

刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少

二、典例剖析：

例1.如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA—AD—DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E、F出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)梯形上底的长AD=_____cm，梯形ABCD的面积_____cm2；

(2)当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)；

(3)当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2.

例2已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。

（2）如图，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中

m>0，n>0），连接DP交BC于点E。当△BDE是等腰三角形时，直接写出

．．．．此时点E 的坐标。

三、随堂练习：

1. 对抛物线：y=-x2+2x-3而言，下列结论正确的是（）

A. 与x轴有两个交点

B. 开口向上

C. 与y轴的交点坐标是（0，3）

D. 顶点坐标是（1，-2）

2. 若二次函数y=x2-6x+c的图象过A（-1，y1），B（2，y2），C（3+2，y3），则

y1，y2，y3的大小关系是

（ ）

A . y 1＞y 2＞y 3

B . y 1＞y 3＞y 2

C . y 2＞y 1＞y 3

D . y 3＞y 1＞y 2

3.已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所

示： … 0 1 2 3 …

… 5 2 1 2 …

点A （1x 1y 2x 2y 101x <<223x <<时，1y

与2y 的大小关系正确的是 （ ）

A ．1y ≥2y

B ．12y y >

C ．12y y <

D ．1y ≤2y

4.在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm （x ＜6）的小正方形，剩下的

四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是 ．

5.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放

在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的关系式

为 ．

第5题图 第6题图

6.如图，已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20厘米，AC

与MN 在同一直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以每秒2厘米的速度向

左运动，最终点A 与点M 重合，则重叠部分面积y （厘米2）与时间t （秒）之

间的函数关系式为

7．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间

的关系是 y=3

5321212++-x x ，铅球运行路线如图． （1）求铅球推出的水平距离；

（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m ．

8．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，

出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计

划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成

本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提

高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍（本题中0＜x ≤

11）．

（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_________元．

（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．

（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？

注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．

9. ?如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根，

且AC-BC=2，D为AB的中点．

（1）求a的值．

（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C 运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点

C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q

同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t

秒．在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关

系式；并指出自变量t的取值范围；

10、如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

课后作业：

1．根据下列表格的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）一个解x 的取值范围 （x 3.23 3.24 3.25 3.26

y =ax 2+bx +c

－0.06 －0.02 0.03 0.09

A ．3

B ．3.23

C ．3.24

D ．3.25

2.函数图象y =ax 2+（a －3）x +1与x 轴只有一个交点，则a 的值为（ ）

A ．0，1

B ．0，9

C ．1，9

D ．0，1，

9

3.在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向

右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的函数关系式是 ( ) A ．y ＝2(x +2)2－2 B ．y ＝2(x －2)2+2

C ．y ＝2(x －2)2－2

D ．y ＝2(x +2)2 +2

4.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．

其中，正确结论的个数是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

5. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜

园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （米2）与x （米）的关系式为 第5题图 第6题图

6．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB =1.6m ，涵洞顶点O

到水面的距离为2.4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是

7.某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300

件，调查表明：单价每上涨2元，该商品每月的销量就减少10件．

（1）请写出每月销售该商品的利润y （元）与单价上涨x （元）件的函数关系式；

（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？ C

E

D G A x

y

O

B F y x O 1