数学人教版八年级上册分式方程的应用
分式方程的应用
教学目标
1 通过具体情景,理解方程的意义,经历从实际问题中建立数学模型求解数学问题的过程.
2 会列分式方程解有关实际问题.
重点、难点:
重点:根据题意列分式方程解应用题
难点:寻找等量关系,列分式方程.
教学过程
一创设情景,导入新课
1 复习:解分式方程的思路是什么?(去分母化为整式方程)有哪些步骤?(1 去分母,
2 去括号,
3 移项,
4 合并同类项,
5 未知数系数化为1,
6 检验)
2 动脑筋:
小明家和小玲家住同一小区,离学校3000m,某一天早晨,小玲和小明分别于7:20,7:25 离家骑车上学,在校门口遇上,已知小
明骑车的速度是小玲的1.2倍,试问:小玲和小明骑车的速度各是多少?
节这课我们学习------ 2.5.2 分式方程的应用
二合作交,流探究新知
1 解决上面动脑筋问题
(1)读题
(2)若设小明的速度为v m/s,请你填写下表:
(3)题中等量关系是什么?你是怎么知道的?
小明用的时间-小玲用的时间=5分=5 60s
(4)请你列出方程组,并完成余下的过程
解设:小明的速度为vm/s,则小玲的速度为1.2vm/s .
依题意得:
去分母得:3000 -3000= ,即:360v=600,解得:v= ,
检验:当v= 时,最简公分母1.2v 0,因此,v= 是原方程的一个根.从而:1.2v=
答:小玲、小明的骑车速度分别是:m/s,2m/s.
教师强调:(1)验根的重要性.(2)这个问题我们抓住了两人的时间差距作为等量关系.
变式练习;
(1) 把问题中“小玲和小明分别于7:20,7:25 离家骑车上学,”改为:“小玲先走5分钟,”其他不变,怎么列方程?(列出的方程和上面一样)
(2) 请你把上面问题中条件适当改变,使列出的方程是:.
估计学生会把条件“小玲和小明分别于7:20,7:25 离家骑车上学,”改为:“小玲先走10分钟,”,或者:“小玲和小明同时出发,小明先到10分钟”
2 讲解例题
例1 某单位盖一座楼房,由建筑一队施工,预计180天盖成,为了能早日竣工,由建筑一队、二队同时施工,100天盖成了,试问:
建筑二队的效率如何?(即:由建筑二队单独施工,需要多少天才能完成?)
(1)读题
(2)若设建筑二队单独施工需要x天才能完成,你打算怎样列方程?
(3)你能解析你所列的方程中的每一个式子的含义以及你用到了什么样的等量关系吗?
(4)请你完成余下的解题过程.
解:设设建筑二队单独施工需要x天才能完成,依题意得:
两边同乘以900x,得:5x+900=9x,解得:x=225.检验:当x=225时,900x 0.因此x=225是原方程的一个根.
答:由建筑二队施工需要225天才能改成楼房.
3 某服装厂准备加工300套演出服,在加工60套后,采用了新的技术,使每天的工作效率是原来的2倍,结果共用9天完成任务,求该厂原来每天加工多少套演出服?
例2 在直流电路中,电功率P(W)与电压(v)、电阻R()的关系式为:,一个4Ow的电灯炮接在电压为220v的直流电路中,电流通过灯泡时的电阻是多少?
解:依题意得:,两边乘以R,得:40R= ,解得:R=1210.显然:R 0,因此R=1210是原方程的一个解.
答:电流通过灯泡时的电阻是1210 .
三课堂练习,巩固提高
P 59 1
四反思小结,拓展提高
这节课你有什么收获?
教师强调:(1)仔细审题,(2)解方程要注意检验.(3)设元和作答要注意带单位.
五作业
八年级上册数学-分式的概念
1.1 分式 1.1.1分式的概念 (第1课时) 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点: 重点:分式的概念和性质难点:理解分式的性质。 教学过程 一创设情境,导入新课 探究: 1把三个一样的苹果分给4位小朋友,每位小朋友分到多少苹果?你怎么分给他们?(交流讨论) (1)每位小朋友分3 4 (2)分法: ①每个苹果切成四个相等的小块,共12块,每人分3块,这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便,每个苹果切成8块,共24块,每人分6块,这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多?(36 = 48 ,即: 3326 == 4428 ? ? )由此表明了什 么? 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数,分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数,分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为:把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友,每位小朋友分到多少苹果? 用除法表示:3n ÷,用分数表示为:3 n , 3 3n n ÷、相等吗?( 3 3= n n ÷)这里的n
可以是实数吗?(n不能为0) (2) 33 4n 与有什么区别?(后者分母含有字母)我们把前者叫分数,后者叫分 式,什么叫分式呢?分式有没有和分数一样的性质? 这节课我们来学习-----分式的基本性质。(板书课题) 二合作交流,探究新知 1 分式的概念填空: (1 )如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子,那么每袋瓜子的价格是______元。 (2)一个梯形木板的面积是6 2 m,如果梯形上底是am,下底是bm,那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩,b亩的稻田m kg,n kg,这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式: 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点?(分子分母都是整 式,分母含有字母) 一般地,如果f、g分别表示两个整式,并且g中含有字母,那么代数式f g 叫分 式。 说明:分式的分子分母一般是多项式,单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考:33a 44a 与分式相等吗? 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗? 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义,那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗? 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式,分式值不变。分式的分子与分母约去共因式,分式的值不变。 用式子表示为:设h≠0,则f f h g g h ?= ?
(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx
15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式.
小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?
反思小结: 判断一个式子是否为分式,可根据:①具有分数的形式;②分子、分母都是整式;③分母中含有字母,分式与整式的区别在于:分式的分母中含有字母,而整式的分母中不含字母. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二: (1) 当 x ≠0时,分式 2 有意义; 3x (2) 当 x ≠1时,分式 x 有意义;x - 1 5 1 (3) 当 b ≠3时,分式 5- 3b 有意义; x + y (4)x , y 满足 __x ≠y __时,分式 x - y 有意义. 展示点评: 教师示范解答的一般步骤,强调分母不为零. 小组讨论: 归纳分式有意义的条件. 反思小结: 对于任何分式,分母均不能为零,即当分母不为零时,分式有意义;反之,分母为零时,分式无意义. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.知识小结—— (1) 学习了分式, 知道了分式与分数的区别. (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件. 2.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 2 x + y 1 x 1.下列各式① x ,② 5 ,③ 2- a ,④ π- 1中,是分式的有 ( C ) A .①② B .③④ C .①③ D .①②③④ 2.当 x 为任意实数时,下列分式中,一定有意义的是( C ) x - 1 x + 1 x - 1 x - 1 A. x 2 B. x 2- 1 C. x 2+1 D. x + 2 3.某食堂有煤 m t ,原计划每天烧煤 a t ,现每天节约用煤 b(b 八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】 例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出,1小时后快车在慢车前12千米,快车比慢车早40分钟到达乙站,快车和慢车的速度各是多少? 分析: 等量关系:慢车用时=快车用时+ (小时) 例2 甲、乙两地相距828km ,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍.直达快车比普通快车晚出发2h ,比普通快车早4h 到达乙地,求两车的平均速度. 分析:这是一道实际生活中的行程应用题,基本量是路程、速度和时间,基本关系是路程= 速度×时间,应根据题意,找出追击问题总的等量关系,即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等. 解:设普通快车车的平均速度为x km /h ,则直达快车的平均速度为1.5x km /h ,依题意,得 x x 6828-=x 5.1828 ,解得46x =, 经检验,46x =是方程的根,且符合题意. ∴46x =,1.569x =, 即普通快车车的平均速度为46km /h ,直达快车的平均速度为69km /h . 评析:列分式方程与列整式方程一样,注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数,列出方程.不同之处是:所列方程是分式方程,最后进行检验,既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义. 例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去,经过30分钟后,乙骑自行车由B 地出发,用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来,两人在距离B 地45千米C 处相遇,求甲乙的速度。 分析: 等量关系:甲用时间=乙用时间+ (小时) 例4 一队学生去校外参观.他们出发30分钟时,学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的2倍,这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间? 解: 设步行速度为x 千米/时,骑车速度为2x 千米/时,依题意,得: 603060 分式 一 下列各有理式中,哪些是整式,哪些是分式。 1x , 2x π, 23a b , 20.5xy y +, b c a +, 32y -+, 5x z y -, 18- 二 x 等于什么数时,分式的值为零。 (1) 3289x x -+ (2) 26412x x x -+- (3) 33x x -+ 三 当x 满足什么条件时,分式 211x x +-满足 (1)分式的值为零 (2)分式没有意义 (3)分式的值是1 四 不改变分式的值,把下列各式分子和分母中各项的系数都化为整数,并且使各项系数 最小。 (1)11231134 a b a b +- (2) 0.3 1.20.051 x x +- (3)22230.41010.64x y x y + - 五 不改变分式的值,使下列各式的分子与分母的最高次项的系数为正数。 (1)2 2311a a a a --+- (2)211x x -- (3)3 211 a a a ---+ 六 约分 (1)322222x x y x y xy -- (2)()()()()32 247474x y a b x y a b -+-+ (3)33222 y y y y y +-+- 分式的计算 一 先化简再求值 (1)2 232712 x x x x +--+ 其中13x =- (2)22 26362x xy y x x y xy ----+ 其中9x =-, 13y =- (3)22222222a b c bc c a b ab --+--+ 其中3a =, 7b =,2c =- 二 计算 (1)232231049x y a b ab xy ? (2)22346b a a b -? (3)322243x z xz y y ÷- (4)3 4224189xy x y x y ÷- (5)22212221 a a a a a a -+-+?+- (6)222233a b a a b a b a b ++÷-- (7)()22 22 4442x xy y x y x y -+-÷- (8)23222222x y x x x y x xy y x y x xy y -+÷?++--+ 2.5.1可化为一元一次方程的分式方程 一 教学目标: (一) 知识教育点 1. 理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法. 2. 了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法. (二) 能力训练点 1. 培养学生的分析能力. 2. 训练学生的运算技巧,提高解题能力. (三) 德育渗透点 转化的数学思想. (四) 美育渗透点. 通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美. 二 学法引导: 1. 教学方法: 演示法和同学练习相结合,以练习为主. 2. 学生学法:选择一个较简单的题目入手,总结归纳出解分式方程的一般步骤.. 三 重点 难点 疑点及解决办法: (一) 重点 分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透. (二) 难点 了解产生增根的原因,掌握验根的方法. (三) 疑点 分式方程产生增根的原因. (四) 解决办法 注重渗透转化的思想,同时要适当复习一元一次方程的解法. 四 课时安排: 一课时 五 教具准备: 投影仪 六 教学过程: (一) 课堂引入 1.回忆一元一次方程的解法,并且解方程16 3242=--+x x 2.提出P53的问题 李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v 米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t 分钟. 问: (1) 写出t 的表达式; (2) 如果李老师想在7点50分到达学校,v 应等于多少? 分析:① 李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米? ② 剩下的这一段路需要多少分钟? ③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t 等于多少? 由此可以得出: 第八讲 分式方程 考点综述: 中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法,会检验分式方程的根,分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。 典型例题: 例1:解方程: (1)(2007连云港) 11322x x x -=--- (2)(2007德州)解方程:120112x x x x -+=+- (3)(2007宁波)解方程21124x x x -=-- 解:(1)方程两边同乘(2)x -,得1(1)3(2)x x =----. 解这个方程,得2x =. 检验:当2x =时,20x -=,所以2x =是增根,原方程无解 (2)两边同乘以(1)(12)x x +-, 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=; 整理,得510x -=; 解得 15 x = . 经检验,15x =是原方程的根. (3)方程两边同乘(x-2)(x+2),得 x(x+2)-(x 2-4)=1, 化简,得2x=-3 x=-3/2, 经检验,x=-3/2是原方程的根. 例2:(2007沈阳)甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做2天后,再由两队合作10天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队 单独完成此项工程所需天数的45 ,求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天? 解:设甲施工队单独完成此项工程需x 天, 则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天, 根据题意,得 10x +1245x =1 解这个方程,得x =25 经检验,x =25是所列方程的根 当x =25时,45 x =20 答:甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天. 实战演练: 1.(2008安徽)分式方程112 x x =+的解是( ) A . x=1 B . x =-1 C . x=2 D . x =-2 2.(2008荆州)方程21011x x x -+=--的解是( ) A .2 B .0 C .1 D .3 3.(2008西宁)“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏.为抢修其中一段120米的铁路,施工队每天比原计划多修5米,结果提前4天开通了列车.问原计划每天修多少米?某原计划每天修x 米,所列方程正确的是( ) A .12012045x x -=+ B . 12012045x x -=+ C .12012045x x -=- D .12012045x x -=- 4.(2008襄樊)当m = 时,关于x 的分式方程213 x m x +=--无解. 5.(2008大连)轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同.已知水流速度为3千米/时,设轮船在静水中的速度为x 千米/时,可列方程为_________________________________. 6.(2008泰州)方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程: (1)(2008赤峰)2112323x x x -=-+ (2)(2008南京)22011 x x x -=+- 8.(2008咸宁) A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料,A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克,A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等,两种机器人每小时分别搬运多少化工原料? 15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练(直接打印版)
八年级上册数学-分式练习题
八年级上册数学-分式方程教案
人教版八年级上册分式方程练习及解析
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