高三数学集体备课记录《函数的单调性与最值》

高三数学（理）集体备课记录

实施教学过程

一、 考点知识自主梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．

2．函数的最值

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在增函数与减函数定义中，可把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )

(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )

(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )

(4)函数y ＝1x

的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (5)所有的单调函数都有最值．( )

(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)

二、考点突破与题型探究

题型一 确定函数的单调性(区间)

命题点1 给出具体解析式的函数的单调性

例1 (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．y ＝ln(x ＋2)

B ．y ＝－x ＋1

C ．y ＝(12)x

D ．y ＝x ＋1x

(2)函数f (x )＝log 12(x 2

－4)的单调递增区间是( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)

(3)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________．

命题点2 解析式含参函数的单调性

例2 试讨论函数f (x )＝

ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 引申探究

若本题中的函数变为f (x )＝ax

x 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？

思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．

题型二 函数的最值

例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x

，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]． (1)当a ＝12

时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．

思维升华 求函数最值的常用方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

题型三 函数单调性的应用

命题点1 比较大小

例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x

，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 命题点2 解不等式

例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ? ??

????????1x

例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )

A ．a >－14

B ．a ≥－14

C ．－14

≤a <0 D ．－14≤a ≤0 (2)已知f (x )＝????? 2－a x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1 －f x 2 x 1－x 2

>0成立，那么a 的取值范围是________．

思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

三、课时小结

答题模板

1．确定抽象函数单调性解函数不等式

典例 (12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.

(1)求证：f (x )在R 上是增函数；

(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2

＋a －5)<2.

思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)

解函数不等式问题的一般步骤：

第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；

第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)

第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；

第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；

第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．

温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)

方法与技巧

1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤

(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．

2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．

3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法．

失误与防范

1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．

2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．

四、课后作业

《练出高分》 P273—274