人教版-数学-七年级上册-一元一次方程的应用题型归纳

实际问题与一元一次方程

列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，

所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程

解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。

一．列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系．

（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．

（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用

已找出的等量关系列出方程．

（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出

答案．

二. 分类知能点与题目

知能点1：市场经济、打折销售问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝商品利润商品成本价

×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价

的80%出售．

例1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一

双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？

通过列表分析已知条件，找到等量关系式

等量关系：商品利润率=商品利润/商品进价

解：设标价是X 元，,100

406060%80=-

解之：x=105 优惠价为),(84105100

80%80元=?=x 例2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，

这种服装每件的进价是多少？

探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X 元

等量关系：（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15

解：设进价为X 元，80%X （1+40%）—X=15，X=125

答：进价是125元。

1．一种商品进价为50元，为赚取20%的利润，该商品的标价为________元．

60 （点拨：设标价为x 元，则x-50=50×20%）

2．某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%，则该商品的进价为______元．

180 （点拨：设商品的进价为x 元，则220×90%-x=10%x ）

3．某种商品若按标价的8折出售可获利20%，若按原标价出售，则可获利（ ）．

A ．25%

B ．40%

C ．50%

D ．1

C （点拨：设标价为x 元，进价为a 元，则80%x-a=20%a ，得x=32

a ∴按原标价出售可获利32a a

a

-×100%=50%） 4．两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（ ）．

A ．赢利16.8元

B ．亏本3元

C ．赢利3元

D ．不赢不亏

C （点拨：设进价分别为a 元，b 元，则 a-84=20%a ，得a=105

84-b=40%b ，得b=60 ∴84×2-（a+b ）=3，故赢利3元）

5.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，

这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x 元，那么所列方程为（ ）

A.45%×（1+80%）x-x=50

B. 80%×（1+45%）x - x = 50

C. x-80%×（1+45%）x = 50

D.80%×（1-45%）x - x = 50

6.某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折让利40元销售，仍可获利10%，则x为（）

A、700元

B、约733元

C、约736元

D、约856元

7．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．

解：设至多打x折，根据题意有1200800

800

x-

×100%=5% 解得x=0.7=70%

答：至多打7折出售．

8．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．

解：设每台彩电的原售价为x元，根据题意，有 10=2700，x=2250

答：每台彩电的原售价为2250元．

9、某商品进价是1000元，标价为1500元，商品要求以利润率不低于5%的售价打折

出售，售货员最低可以打几折出售此商品？

知能点2：方案选择问题

10．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，?经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：

如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，?但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，?在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？

解：方案一：获利140×4500=630000（元）

方案二：获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）

方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨．

依题意得

140

616

x x

-

+=15 解得x=60

获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）

因为第三种获利最多，所以应选择方案三．

11．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50?元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1?分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．

（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？

（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？

解：（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．

（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．

即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同．

（3）由0.2x+50=120，解得x=350

由0.4x+50=120，得x=300

因为350>300

故第一种通话方式比较合算．

12．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？?应交电费是多少元？

解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72 解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则 0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x 解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

13．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3?种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，?

销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，

设购A种电视机x台，则B种电视机y台．

（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程

1500x+2100（50-x）=90000 即5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25

50-x=25

②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，

可得方程1500x+2500（50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800 x=35

50-x=15

③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．

可得方程2100y+2500（50-y）=90000

21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意

由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．

（2）若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+250×15=8750（元）

若选择（1）中的方案②，可获利 150×35+250×15=9000（元）

9000>8750

故为了获利最多，选择第二种方案．

14.小刚为书房买灯。现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦的节能灯，售价为49元/盏，另一种是40瓦的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到2800小时。已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元。

(1).设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。（费用=灯的售价+电费）

(2).小刚想在这两种灯中选购一盏。

①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？

②试用特殊值判断：

照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？

(3).小刚想在这种灯中选购两盏。假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时。请你

设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。

答案：0.005x+49 0.02x+18 2000

知能点3储蓄、储蓄利息问题

(1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入

银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税

(2）利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%）

(3）%,100?=本金

每个期数内的利息利润 例3. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求

银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

等量关系：本息和=本金×（1+利率）

解：设半年期的实际利率为X ，依题意得方程250（1+X ）=252.7， 解得X=0.0108

所以年利率为0.0108×2=0.0216

答：银行的年利率是21.6%

例4. 为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教

育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：

(1）直接存入一个6年期；

(2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；

(3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教

育储蓄方式开始存入的本金比较少？

这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金

是多少，再进行比较。

解：(1）设存入一个6年的本金是X 元,依题意得方程X （1+6×2.88%）=20000，解得X=17053

(2）设存入两个三年期开始的本金为Y 元，

Y （1+2.7%×3）(1+2.7%×3）=20000，X=17115

(3）设存入一年期本金为Z 元 ，

Z （1+2.25%）6=20000，Z=17894

所以存入一个6年期的本金最少。

15．利息税的计算方法是：利息税=利息×20%．某储户按一年定期存款一笔，?年利率2.25%，

一年后取出时，扣除了利息税90元，据此分析，?这笔存款的到期利息是____元，本金是_______元，银行向储户支付的现金是________元．450 20000 20360

16．小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）．

解：设这种债券的年利率是x，根据题意有

4500+4500×2×x×（1-20%）=4700，解得x=0.03

答：这种债券的年利率为0.03．

17．为了准备小明三年后上高中的学费，他的父母准备现在拿出3000元参加教育储蓄，已知教育储蓄一年期利率为1.98%，二年期利率为2.25%，三年期利率为2.52%，?请你帮小明的父母计算一下如何储蓄三年后得到的利息最多．

解：利用公式分三种情况（一年期、二年期、三年期）进行计算，再进行比较即可获得答案．一年期：设利息为x元，则x=3000×1.98%×1=59.4（元）

二年期：设利息为x元，则x=3000×2.25%×2=135（元）

三年期：设利息为x元，则x=3000×2.52%×3=226.8（元）

∵59.4<135226.8

23

∴三年期储蓄利息最多．

18．（北京海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，?把每件的销售价降低x%出售，?但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（）．

A．1 B．1.8 C．2 D．10

C

19.某人按定期2年向银行储蓄1500元，假设每年利率为3%（不计复利）到期支取时，扣除利息所得税（税率为20%）此人实得利息为（）

A、1272元

B、36元

C、72元

D、1572元

20.用若干元人民币购买了一种年利率为10% 的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变），到期后得本息和1320元。问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？答案：22000元

21.购买了25000元某公司1年期的债券，一年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元，这种债券的年利率是多少？答案：百分之五

知能点4：工程问题

工作量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作量÷工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

例5. 一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？

甲独作10天完成，说明的他的工作效率是,101乙的工作效率是,8

1 等量关系是：甲乙合作的效率×合作的时间=1 解：设合作X 天完成, 依题意得方程9401)81101(

==+x x 解得 答：两人合作9

40天完成 例6. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲

有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。

解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，

5

365331123)121151(===+?+x x 解之得 答：乙还需536天才能完成全部工程。

例7. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单

独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，

然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。

解：设打开丙管后x 小时可注满水池，

由题意得，1342133019)2()8161(===-

++x x x 解这个方程得 答：打开丙管后13

42小时可注满水池。 22.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做

30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

解：设甲、乙一起做还需x 小时才能完成工作．

根据题意，得16×12+（16+14）x=1 解这个方程，得x=115 115

=2小时12分 答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．

23某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，

一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．?已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加

工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，?求这一天有几个工人加工甲种零件．

解：设这一天有x 名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有5x 个，乙种零件有4（16-x ）

个． 根据题意，得16×5x+24×4（16-x ）=1440 解得x=6

答：这一天有6名工人加工甲种零件．

24.一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲

因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？

设还需x 天完成，根据题意得

3

101)3(151121310111511213151101==+++?=??? ??++???? ??+x x x x 解得或 知能点5：若干应用问题等量关系的规律

（1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特

别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指

导我们正确地列出代数式或方程式。 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量

25.某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的57

,问每个仓库各有多少 粮食？ 设第二个仓库存粮x x 吨，则第一个仓库存粮吨，根据题意得3

9030333020)203(75=?==+=-x x x x 解得

（2）等积变形问题

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式

V=底面积×高＝S ·h ＝πr 2

h ②长方体的体积

V ＝长×宽×高＝abc

26.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80?毫米的长方体铁盒中的水，

倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈

3.14）．

解：设圆柱形水桶的高为x 毫米，依题意，得 π·（

2002

）2x=300×300×80 x ≈229.3

答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米．

27.长方体甲的长、宽、高分别为260mm ，150mm ，325mm ，长方体乙的底面积为130×130mm 2，

又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？

设乙的高为x mm,根据题意得 3001301305.2325150260=???=??x x

解得

知能点6：行程问题

基本量之间的关系： 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间

（1）相遇问题 （2）追及问题

快行距＋慢行距＝原距 快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

例6. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开

出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。

解：设快车开出x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390 ,23161=x 答：快车开出23161小时两车相遇 分析：相背而行，画图表示为：

等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。

解：设x 小时后两车相距600公里，

甲 乙

600

甲 乙

由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 ∴ x=

23

12 答：23

12小时后两车相距600公里。 （3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。 解：设x 小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600 50x=120 ∴ x=2.4 答：2.4小时后两车相距600公里。 分析：追及问题，画图表示为： 等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 解：设x 小时后快车追上慢车。

由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 ∴ x=9.6

答：9.6小时后快车追上慢车。

分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：设快车开出x 小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 ∴ x=11.4 答：快车开出11.4小时后追上慢车。

例7. 甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A 、B 两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？

分析分析hslx3y3h 由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x ，则百位上的数为X+7，个位上的数是3X ，等量关系为三个数位上的数字和为17。

解：设这个三位数十位上的数为X ，则百位上的数为X+7，个位上的数是3X

X+X+7+3X=17 解得X=2

X+7=9，3X=6 答：这个三位数是926

例2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数

等量关系：原两位数+36=对调后新两位数

解：设十位上的数字X ，则个位上的数是2X ，

10×2X+X=（10X+2X ）+36解得X=4，2X=8，答：原来的两位数是48。

33．一个两位数，十位数与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，

甲 乙

那么得到的数比原来的数大63，求原来的两位数？

设个位数字为x x ，则十位数字为根据题意得11-,

.2991029)11(1063)11(10=+?=-+=++-则原两位数为x x x x x 注意：虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。