高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习含解析

新数学《计数原理与概率统计》专题解析

一、选择题

1．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.

命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假

C ．p 假q 真

D ．p 假q 假

【答案】C 【解析】 【分析】

首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()2

2

D E E ξξ

ξ=-，利用公式

1a b c ++=，计算D D ξη-的值.

【详解】

12323E a b c a b c ξ=?+?+?=++

12332E c b a a b c η=?+?+?=++ ，

()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，

E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，

()249E a b c ξ=++，()()2

223E a b c ξ=++，

所以()()2

4923D a b c a b c ξ=++-++

()294E a b c η=++，()()2

232E a b c η=++，

()()()()2

229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，

()()()()()22

83223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++

()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，

所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题.

综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】

本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是

()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.

2．若不等式组2302400x y x y y +-≤??

-+≥??≥?

表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的

区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ） A ．

4

π

B ．

8

π C ．

5

π D ．

10

π 【答案】D 【解析】 【分析】

作出不等式组2302400x y x y y +-≤??

-+≥??≥?

对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公

式即可得到结论． 【详解】

作出不等式组2302400x y x y y +-≤??

-+≥??≥?

表示的区域Ω，

不等式2

2

2210x y x y +--+≤化为()()22

111x y -+-≤

它表示的区域为T ，如图所示；

则区域Ω表示ABC V ，由240

230x y x y -+=??

--=?

，解得点()1

2B -，；

又()20A -，，30B （，）

，∴()1

32252

ABC S =?+?=V ， 又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，

在ABC V 内的面积为2

1

12

2

π

π?=

；

∴所求的概率为2510

P π

π==

，故选D ．

【点睛】

本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.

3．下列四个结论中正确的个数是

（1）对于命题0:p x R ?∈使得2

010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->；

（2）已知2

(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=

（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为

?23y

x =-； （4）“1x ≥”是“1

2x x

+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ?∈使得

2010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->，是错误的；

（2）中，已知(

)2

2,X N σ

~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所

以 (2)0.5P X >=是正确的；

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质

和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为?23y

x =-是正确； （4）中，当1x ≥

时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，

所以“1x ≥”是“1

2x x

+

≥”成立的充分不必要条件．

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

4．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( ) A ．35 B ．925 C ．

1625

D ．

25

【答案】B 【解析】

PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为

25π-16π9

25π25

=,故选B.

5．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．

78

B ．

34

C ．

12

D ．

14

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】

解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，

要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，

则相当于56

5.5

6.5

x y ≤≤??≤≤?，即求y x ≥的概率，

约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228

-

??=， 所以对应的概率为：7

7818

=，

即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78

. 故选：A.

【点睛】

本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.

6．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180

【答案】B 【解析】

试题分析：10人中任选3人的组队方案有3

10120C =，

没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用

7．已知()1n

x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

()

20121n

n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则

()0121n

n a a a a -+-+-L 的值为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．2

D ．2-

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】

Q ()1n

x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

∴23

n n C C =，∴5n =，

令0x =，则05

1a =，

令1x =，则()015

5212422431a a a a λ+=++=+=++L ，

∴2λ=，

令1x =-，则()0525

1112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.

8．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3

C ．0.58

D ．0.958

【答案】D 【解析】

分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.

详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．

点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.

9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）

A ．

12

B ．

13

C D ．

3

【答案】C 【解析】 【分析】

根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】

因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以

1d =

≤，解得44

k -≤≤

所以相交的概率224

P ==

,故选C.

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.

10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．

112

B ．

114

C ．

115

D ．

118

【答案】C 【解析】

分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.

详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两

个不同的数，共有2

1045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不

同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为

31

=4515

，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

11．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（ ） A ．252

B ．288

C ．360

D ．216

【答案】A 【解析】 【分析】

3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教

师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121

342

C C C ??种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果. 【详解】

解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，

故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有1

3C ， 然后再确定完成的工作，其方法有24C ，

然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有1

2C ，

故当3名教师确定时，完成工作的方法有121342

C C C ??种； 因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去， 故有三种方法选择教师，

第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有1

3C 种， 第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有2

3C 种，

第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有33C 种；

故最终选派的方法为()123121333342C C C C C C 252++???=，故选A.

【点睛】

本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.

12．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么

()(2

20210139)a a a a a a +++-+++L

L 的值为（ ）

A ．0

B ．1-

C ．1

D ．101)

【答案】C 【解析】 【分析】

令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】

解：因为

)

10

21001210x

a a x a x a x =++++L ，

令1x =

得

)

10

0123101

a a a a a =++++L ，

令1x =-

得

)

10

0123101

a a a a a =-+-++L ，

所以()(2

20210139)a a a a a a +++-+++L L

()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L

))

10

10

1

1

=

?

))

10

11?

???

?

=

1011== 故选：C 【点睛】

本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．

13．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r

，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．

2

3

B ．

12

C ．

13

D ．

14

【答案】B 【解析】 【分析】

推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =1

2

S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】

以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +u u u r u u u r =PD u u u r ， ∵20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r ， ∴2PD PA =-u u u r u u u r

，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，

∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的1

2

．

∴S △PBC =

1

2

S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=

PBC ABC S S V V =1

2

． 故选B ． 【点睛】

本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

14．若二项式2n

x x ??+ ??

?的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ） A ．1 B ．5 C ．10 D ．20 【答案】C 【解析】 【分析】

对2n

x x ??+ ??

?令1x =，结合展开式中各项的系数和为243列方程，由此求得n 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得含x 项的系数. 【详解】

对2n x x ??+ ??

?令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式5

2x x ??+ ???展开式的通项

公式为()

51

531222

55

22r

r r

r r

r C x x

C x

---????=?? ???

，令

53

122

r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为11

5210C ?=.

故选：C. 【点睛】

本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.

15．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）

A ．残差平方和变小

B ．相关系数r 变小

C ．相关指数2R 变小

D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱

【答案】A 【解析】 【分析】

由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2

R

及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】

∵从散点图可分析得出：

只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】

该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.

16．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对

应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5?37y

x =-，以下结论中不正确的为（ ）

A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，

C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米

D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】

根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】

A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；

B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；

C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；

D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为D. 【点睛】

本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.

17．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( ) A ．

13

B ．

12

C ．

14

D ．

25

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意有())

)

|(=(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果. 【详解】

解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318?=种基本事件；

事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含2

36A =个基本事件；

()()61

=)13

|=

(8n AB n A P B A =. 故选：A. 【点睛】

本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.

18．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知

识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）

A．甲48枚，乙48枚B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚D．甲80枚，乙16枚【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案．【详解】

根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为1

2

，

假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率

11113 2224

P=+?=，

乙获取96枚金币的概率

2111 224

P=?=，

则甲应该获得

3

9672

4

?=枚金币；乙应该获得

1

9624

4

?=枚金币；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.

19．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）

A．12种B．24种C．36种D．48种

【答案】C

【解析】

【分析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有

2 22

A=种，剩余的3门全排列，即可求解.

【详解】

由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4

节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有2

22

A=种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有3

36

A=种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636

??=种不同的排法.故选：C.

【点睛】

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

20．2020(1)(1)i i +--的值为（ ） A ．0 B ．1024

C ．1024-

D ．10241-

【答案】A 【解析】 【分析】

利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】 由题得原式

=

112233191920112233191920

20202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L （（ =11

33

55

1919

202020202()C i C i C i C i ++++L

=11

33

55

53

31

1

3

2020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =11

33

55

5

5

33

1

2020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A 【点睛】

本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.