递归法求01背包问题
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递归法求01背包问题
一、问题描述
0/1背包问题:
现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W i，价值为正整数V i，背包能承受的最大载重量为正整数W，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）
二、算法分析
递归法：
在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n个物品看起。每次的递归调用都会判断两种情况：
（1）背包可以放下第n个物品，则x[n]=1，并继续递归调用物品重量为W-w[n],物品数目为n-1的递归函数，并返回此递归函数值与v[n]的和作为背包问题的
最优解；
（2）背包放不下第n个物品，则x[n]=0，并继续递归调用背包容量为W，物品数目为n-1的递归函数，并返回此递归函数值最为背包问题的最优解。
递归调用的终结条件是背包的容量为0或物品的数量为0.此时就得到了0-1背包问题的最优解。
用递归法解0-1背包问题可以归结为下函数：
⎩⎨⎧+---=][])[,1(),1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack n
n 选择了物品没有选择物品 第一个式子表示选择物品n 后得到价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--比不选择物品n 情况下得到的价值),1(m n KnapSack -小，所以最终还是不选择物品n;第二个式子刚好相反，选择物品n 后的价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--不小于不选择物品n 情况下得到了价值),1(m n KnapSack -，所以最终选择物品n 。
在递归调用的过程中可以顺便求出所选择的物品。下面是标记物品被选情况的数组x[n]求解的具体函数表示：
⎩⎨⎧=1
0][n x ][])[,1(),(),1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack +--=-= 在函数中，递归调用的主体函数为KnapSack ，m 表示背包的容量，n 表示物品的数量，x[n]表示是否选择了第n 个物品（1—选，0—不选）。每个物品的重量和价值信息分别存放在数组w[n]和v[n]中。具体的代码见《递归法》文件夹。
三．运行结果