最优蜘蛛网结构

数学建模网络挑战赛

承诺书

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我们的参赛队号为：1739

参赛队员：

队员1：

队员2：

队员3：

参赛队教练员：

参赛队伍组别：

数学建模网络挑战赛

编号专用页

参赛队伍的参赛队号：# 1739

竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2012年第五届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

题 目 蜘蛛网最优模型

关 键 词 蜘蛛网 螺旋线 层次分析法 能量守恒

摘 要：

世界上有很多种类的蜘蛛，而大部分种类的蜘蛛都是通过结网来捕食食物的。蜘蛛网的结构主要受外因和内因的影响，本文研究并建立合理的数学模型，确定出了蜘蛛网的最优结构，得出结果与实际情况基本相符。

首先，蜘蛛织网是由一根丝完成整个工作，为了构造合理的网状，设蜘蛛只有材料L ，已知L 的情况下易知圆的面积最大，即捕食面的面积最大值，得到最大圆面积为

?=rdr 2S 1

1

nd d max π，其中1d 为捕丝间距。

其次，由以上可以确定S 面积只与1d 有关，根据相关生物学家的资料查得影响蜘蛛网捕丝间距的因素，主要有风、湿度、空间、温度、食物状况等。再运用层次分析的方法计算出各个因素对1d 的权重，从而计算出捕丝的间距。然而，以上并没有计算出放射丝的间距。因此本文再利用能量守恒的关系

2p 2x k 21

E mv 21?==，即假设食物的最大垂直速度与质量已知，求解与该蜘蛛丝

所受的最大弹性形变x ?。随后在做合理的假设与计算，就可以得到最大的放射丝间距a L 。

最后，针对蜘蛛网本身的的螺旋问题，使用极坐标建立基本模型11r d +=θρ，其中θ变化则其放射丝的半径变化,由此模拟出捕丝的的螺旋线图形。蜘蛛网的最外的边框（框丝、停泊丝）根据各个外点对整个平面图根据空间的具体关系可以得出，但是要保证整个蜘蛛网为平面状，那么边框至少为五边形。 参赛队号 1739

所选题目 A 题

The best structure of cobweb

There are many types of spiders in the world, and most species of spiders prey food by webs. This article study that the structure of spider web is mainly affected by the external and internal factors ，and a rational mathematical model is established. So we derive the optimal structure of the spider web, which is consistent with the real situation.

First, the spider web is constructed by a wire. To established a better model for the spider web, we suppose that under the condition that the length of spider silk is L , we compute the biggest circular area. So we can find out the biggest measure of area is

?=rdr 2S 1

1

nd d max π, where 1d means the spacing of spider web.

Second, in a word, we know that the S just related to 1d . According to some biologists’ reporting, we can see the reasons of spacing of spider web such as, wind 、 humidity 、space 、temperature 、size of food. Then using the method of Hierarchical analysis, we can find out

112345d 0.0786x 0.2075x 0.2312x 0.4782x 0.8175x =++++.

Hence, the answer for our mathematical model is gotten.

Third, above all, we haven’t f ound out the spacing of Radial wire, so this article

uses The Energy Conservation which is 2

p 2x k 21

E mv 21?== , and we suppose

the fastest speed and quality are known, the purpose of us is to find out the biggest deformation x ?.Moreover when we do some reasonable hypotheses and calculations, we can get the biggest spacing of Radial wire a L .

Fourth, in the light of spider web’s spiral question, with some known results, we study the basic model is 11r d +=θρ. So we can use Matlab to get the figure of Spiral curve. However, in order to make the plan of web be supported, we need to know that what a space state is. When we think of the gravity, we can draw a conclusion that the polygon at least is a pentagon.

1、问题重述

蜘蛛目共有105个，可约37000种，世界各地均有分布。蜘蛛主要有结网、游猎和穴居3种生活类型。蛛网的进化经历了拌丝、偏网和圆网阶段，并在圆网的基础上，继续进化形成了其他类型的网。其中圆网在蛛网进化的地位较为特殊，且其结构较其它种类比较简单、规则，因此，本文在圆网的基础上分析、改进、求解。现在建立合理的数学模型，对蜘蛛网的最大面积、捕丝和放射丝间距合理性以及整个蜘蛛网的稳定性的角度分析，并在有外来事物的冲击下，怎样的蜘蛛网才是最合适的。

图1

2、符号说明

S：捕丝的面积。

n：捕丝的圈数。

d：捕丝间距（网眼）。

‘

L：捕丝最外圈的周长。

L：放射丝的最大间距。

a

'

L：捕丝间每一个小面积的切向长度

a

a：放射丝的条数（半径的条数）。

θ：蜘蛛从起始点螺旋运动到极心绕的n圈的总共角度求和。

?：相邻放射线的夹角。

k：捕丝的弹性系数。

?：捕丝的伸长量。

x

ρ：螺旋线半径。

L ：材料总长度。

m ：外来食物的质量。

v ：外来食物垂直冲到蜘蛛网上。

3、 问题分析

图2蜘蛛网的结构图

1、当一只蜘蛛的材料一定时，假设该材料总长为L ，我们需要建立一个捕丝结构有利于节约材料，且达到最大捕食效果，那么我们易知长度一定时，其围成一个圆的面积都比其他图形面积大，由此：

由简单到难，先假设其捕丝间的距离为1d ，当捕丝圈数为n 圈时，那么其最大的半径可以确定为1nd 。那么此种情况选的max S 可以求出，为一个与1d 有关的式子。

2、根据相关生物学家的调查可知，

其一：蜘蛛丝具有多级结构的蛋白质纤维，外观呈金黄色，透明，横截面为圆形，具有皮芯层结构，芯层内含有数十根纳米级的微纤维。蜘蛛丝具有高强度、高韧性、高弹性和良好的耐热性能，被称为“生物钢”。而且蜘蛛为变温动物，温度过低时蜘蛛新陈代谢较慢，只有温度达到一定了之后，蜘蛛新城代谢快且蜘蛛丝的黏性最好。

其二：当捕丝的间距越小时，结构更牢固，捕获的食物更大。但是不同的织网的蜘蛛种类不一样，因此其间距合适才能不浪费材料的同时，捕获自身需要的足够食物。

其三：捕丝的搭建直接与当时的空间有关系。只有空间允许条件下才能搭出合理的捕丝结构。

其四：空气里有一定湿度，特别是凌晨时湿度最大，会影响到捕丝的黏性情况。

其五：在没有外来食物的情况，蜘蛛网还要受到空气的流动的制约。 因此我们可以得出捕丝的间距1d 主要由食物的状况、温度、空间、湿度、空气流动，那么就需要找出这五项因素与1d 的关系。本文利用层次分析的方法求解出

各项因素的权重，从而可以求解出1d 。

3、根据科学生物现象，知道蜘蛛是用一根丝即不会断的情况下完成整个织网过程。因为要考虑其捕丝面积大，蜘蛛网为一根丝完成，可以得出其构建的是一个螺旋线的形状，且螺旋线的间距为1d 。再者根据蜘蛛丝的本身的高韧性可知，捕丝的伸长率为原来的4到5倍，因此可以利用能量守恒定律2p 2x k 21

E mv 21?==求解出放射丝的间距a L 和放射丝的条数a 。此处已完成整个网的基本框架。

4、根据空间的关系以及为了能把蜘蛛网能稳定的支撑起来，确定最后的框丝和停泊线满足： 瑞伊尔说：“当昆虫碰撞入网，蛛网必须承受住碰撞力，而对称网的优势可能在于它可以使这种力均匀地分布在全网以减少某一处的受力，这样可以尽可能地避免网被撕破。”所以无论是停泊丝还是边框丝都为对称形态。蜘蛛网停泊丝与边框丝的形态主要受三个方面的影响，一是为了保证蜘蛛网在受昆虫撞击力或风力的影响时结构变化较小，二是为了把蜘蛛网撑平，有效利用捕食面积，三是受周围空间形状与大小的影响。

具体情况，本文考虑蜘蛛网为一个平面状，其目的则是支撑它。那么本身其受到重力的作用，因此通过受力分析，知道其边框至少为四的边。但是四边形不具有很好的稳定性。因此我们可以得出此种蜘蛛网的的边框为五边。

4、 模型假设

假设1：蜘蛛正常健康，吐的丝一定。

假设2：此期间蜘蛛处于一个相对安全状态，无天敌情况。 假设3：天气状况良好。 假设4：本文只考虑在空间织平面状的一类蜘蛛，不考虑再空穴里会织网的蜘蛛。 假设5：捕丝间距一定。

5、 模型建立

5.1 最大圆环捕丝模型

一张蜘蛛网的有效期为一天，每年因蜘蛛的生物钟的原因，蜘蛛会在每天一定的时间吐出新的蜘蛛网。因此我们可合理假设已知一只蜘蛛在一天的蜘蛛丝的总共有L 。那么为了获得最大面积，我们可以建立圆面积最大模型。 设捕丝间距为1d ，总共有n 圈的。 那么总材料长L L 满足的方程式为：

()2

n

nd d 2L 11+=π

，

则最大面积：

?=rdr 2S 1

1

nd d max π 此模型可以求解出最大的捕环形捕丝面积与捕丝的间距的关系。

5．2 层次分析得出捕丝间距1d

通过问题的分析我们知道影响捕丝间距1d 主要有食物状况、温度、空间、湿度、风。建立层次分析模型如下：

确定准则()1,2,3,4,5i B i =对目标A 的权重向量：

两两比较()1,2,3,4,5i B i =对目标矩阵A 的重要程度，构造准则i B 对目标

A 的成对比较判断矩阵：

11/51/31/51/710.20.3330.20.14351

2/32/51/6510.6670.40.16733/211/3

1/33 1.510.3330.33355/23

11/25 2.5310.57632176321A ????

? ? ? ? ? ?==

? ? ? ?

? ??

???

利用MATLAB 软件求得判断矩阵A 的最大特征值max A

λ和相应的特征向量A W ，求得

1d 与i x （5,4,3,2,1i =）的关系式子。具体结果见后文求解。

5.3 蜘蛛网的螺旋模型

首先，蜘蛛由一根蜘蛛丝织成一个网状，其先固定好4个点，再利用空间条件和稳定条件，构建a 条放射丝。最后由最外圈做等间距的向极心的螺旋运动。由此可建立模型为：

11r d +=θρ，其中1r 为捕丝面与中枢区的距离。

上式可知：1d 以求出，但是θ和1r 未知。

其次，第一步可以知道n 与1d 的的关系：2

1-d L

41n 1π+

=

。由此可以知：

（1）从1n nd r =的最外圈上任意一点出发，向极心螺旋运动。

（2）螺旋线的角度的知识可以知道θ的范围为：()()πθπ21-n 22-n ≤≤。 再者，一般的湿性捕丝具有极高的弹性，根据生物学家的相关证明知道捕丝的最大伸长率为原长的5~4倍，即：

5L x

4a

≤?≤

， 此处x ?为伸长量，a L 为放射丝的间距。

根据能量守恒，设外来食物重m 以v 速度垂直冲击带蜘蛛网上，极限假设食物的全部动能全部转换为捕丝的势能得：

2p 2x k 2

1

E mv 21?== 可以求解出La 的大小范围。

当最外圈捕丝的周长L 与a L 做商时可以求解出放射丝（半径）的条数：

a L L /a '=。易求出放射线平分圆的角度a

2π=

?。 一旦求出a L 之后就可求出1r 的大小。主要求解思想是根据中枢区与捕食面距离的大小主要材料节省的方面分析。

前文已求出放射线之间的夹角α与捕丝间距1d ，如果靠近中心点的位置处捕丝间距仍为1d ，那么靠近中心位置处捕丝排列得将非常密，会比较浪费材料，所以本文适当减少中间位置所用的材料，即产生了中枢区与捕食面之间无捕丝的现象，但是中枢区与捕食面距离满足一定比值关系：

捕丝间距1d ，即网眼最短边为1d ，靠近中心点区域放射线切向间距较小、

变化也较小，所以我们令放射线切向间距为1d ，则径向长为1

1d r =

α

，也就是蜘蛛在距中心1r 处停止织网。这样中枢区与捕食面之间放射线的切向距离近似于捕食面中的网眼，中枢区与捕食面之间的距离近似于捕食面中的'a L ，符合之前捕丝间距1d 的影响因素最后，由以上可以得出?

+=1

1d d θρ。利用此结果再对前面环形的max S 以及环形最外圈的周长’L 进行修正：

()()()?+=θθπ

π

d r d 2

1

S 21121-n 22-n max ’ ()()()θππ

d d r d L n n 212112122''++=?--

6、 模型求解域误差分析

6.1 层次分析的求解结果和层次单排序及一致性检验

确定准则()1,2,3,4,5i B i =对目标A 的权重向量：

两两比较()1,2,3,4,5i B i =对目标A 的重要程度，构造准则i B 对目标A 的对比较判断矩阵：

11/51/31/51/710.20.3330.20.143512/32/51/6510.6670.40.16733/211/31/33 1.5

10.3330.33355/2311/25 2.5310.57632176321A ???? ? ? ? ?

? ?== ? ? ? ? ? ?????

利用MATLAB 软件求得判断矩阵A 的最大特征值max A

λ和相应的特征向量A

W 为：

()max

5.2171,0.0786,0.2075,0.2321,0.4782,0.8175T

A

A W λ== 一致性检验：

max 5.217250.2172=0.0543

1514

1.120.0543

0.04850.11.12

A

n CI n RI CR λ--===--==

=<

故通过检验。故准则()1,2,3,4,5i B i =对目标A 的权重向量为： ()0.0786,0.2075,0.2321,0.4782,0.8175T

A W =

1123450.07860.20750.23210.47820.8175d x x x x x =++++

6.2 螺旋线图形求解结果和图形比较 （1）捕丝圈数

2

1-d L

41n 1π+=

，

其中1123450.07860.20750.23210.47820.8175d x x x x x =++++ （2）由前文模型建立中所列的公式：

??

?

??

?

??

???==?=≤?≤a 11122

a L

*2L *d r nd 2L x k 21mv 2

15L x 4ππ’’ 可以求解出： 放射线的间距a L ：

k

4mv L k

5mv 2a 2≤

≤

放射线数a 为：

2

12

1mv

k

nd 10a mv

k nd 8ππ≤

≤

中枢区与捕丝面积1r ：

?

=

1

1d r ， 其中可计算出a 2π

=?即k

nd 4mv k nd 5mv 1212≤?≤

因此可以求解出11r d +=θρ的具体图形。

根据以上结果，带入实际捕丝间距cm 5.0d 1=时，20r 1=，运用matlab 求解出圆面积和螺旋面积

当cm 5.0d 1= ，50r 1=

当cm 8.0d 1= ，20r 1=

当cm 8.0d 1=，50r 1=

6.2 圆最大面积与螺旋最大面积的数据为：

根据上一步骤，可见当cm 5.0d 1=20r 1=时，与实际效果最想符合，因此带入此数据，通过网络积分计数器求解出：

n ?=rdr 2S 1

1

nd d max π ()()()?+=θθπ

π

d r d 21

S 21121-n 22-n max ’ 2 0.376991

1.76819 3 1.00531

2.16997 4

1.88496

2.55776

5 3.01593 2.95284

6 4.39823 3.34733

7 6.03186 3.74211

8 7.81681 4.1368

9 9 10.0831 4.83168 10 12.4407 4.97646

其中n 为螺旋圈数，max S 为最大圆环面积，max S ’为螺旋线的最大面积。 由此数据表可以看出，以圆为基础求得的捕丝面积变化远远大于螺旋线的面积变化。分析原因：

如果蜘蛛网为同心圆形，会发生半径突变，但是因为蜘蛛是一根丝织完整

个网，不可能会是同心圆的织法。如果为同心圆形，那么在确定半径nd 的情况下求得的圆面积会变化更大。但是如果是蜘蛛是以螺旋线的方式运动到中心，那么不会存在突变的问题，而且每增加一圈的螺距等间距，其螺旋线的半径变化受螺旋线的的总角度来决定的。

综上所述，我们可以得出螺旋线更加能符合现实的蜘蛛网的捕丝的形状和结构。

7、 模型评价与改进

7.1 模型评价

本文从节约材料的基础上，建立最大的捕丝面积的圆模型。在此基础上，针对蜘蛛本身的织网特性，建立切合实际的螺旋线的模型。

求解捕丝间距1d 时，根据生物学家的研究得出捕丝的间距主要由外界因素食物状况、温度等的影响。因此本文通过层次分析，找出各个因素影响捕丝间距的权重。此步骤，起到了关键性的作用，求解出了蜘蛛网网眼的大小，满足此种织网结构的为了获得更多更大的捕食量的目的。

以上，只是得出了在圆基础上改进的螺旋线的蜘蛛网的结构，并不能得出复杂的蜘蛛网的结构，例如六边形的组合的蜘蛛网、蜘蛛网边框的结构等。这也正是模型改进所需要作的工作。 7.2 模型改进

改进（1）

针对蜘蛛网自身和蜘蛛的重力，利用受力平衡的方式，求解蜘蛛网的边框数。 假设此编织蜘蛛网的空间为墙角，此时蜘蛛先至出一个Y 型的主轴。再在此基础上加放射线。

对蜘蛛网受力分析：

受力之后变成了四边形，但是实际情况中，四边形并不能稳定，因此可以得出其边框在空间的影响下，一般只是应满足五边形。达到稳定的效果。

改进（2）

蜘蛛网的捕丝结构的网眼不只是有四边形，还有六边形和三角形的捕丝面。但是没有五边形的捕丝网眼。因为只有矩形、三角形、六边形才能填满捕丝面积减小空隙的存在。如下图所示：

三角形

六边形

五边形

因此还应该考虑捕丝的网眼为三角形和六边形的捕食状况。此种分析，还应结合蜘蛛本身需要什么样的食物来确定。

参考文献

[1] 司守奎 孙玺菁，《数学建模算法与应用》国防工业出版社，2011.

[2] 桌春晖 蒋平等，蛛网结构性能及适应性，四川大学生命科学学院生物资源

生态环境教育部重点实验室，1000-7083(2006) 04-0898-05.

[3] 潘自娟，异力学性能的结构机理及其模化，州大学纺织工程博士论文 [4] https://www.360docs.net/doc/b71050626.html,/

[5]宋大祥，蜘蛛的进化，中国科学院动物研究所，1997.

间隙

附录：

1、>> A=[1 1/5 1/3 1/5 1/7;5 1 2/3 2/5 1/6;3 3/2 1 1/3 1/3;5 5/2 3 1 1/2;7 6 3 2 1]

A =

1.0000 0.2000 0.3333 0.2000 0.1429

5.0000 1.0000 0.6667 0.4000 0.1667

3.0000 1.5000 1.0000 0.3333 0.3333

5.0000 2.5000 3.0000 1.0000 0.5000

7.0000 6.0000 3.0000 2.0000 1.0000

>> [V,D]=eig(A)

V =

0.0786 -0.0736 - 0.0893i -0.0736 + 0.0893i 0.0049 - 0.0029i 0.0049 + 0.0029i

0.2075 -0.1965 + 0.2964i -0.1965 - 0.2964i 0.0696 + 0.0602i 0.0696 - 0.0602i

0.2321 0.1413 + 0.0164i 0.1413 - 0.0164i -0.0929 - 0.2483i -0.0929 + 0.2483i

0.4782 0.1519 - 0.1835i 0.1519 + 0.1835i -0.4668 + 0.3802i -0.4668 - 0.3802i

0.8175 0.8850 0.8850 0.7475

0.7475

D =

5.2172 0 0 0 0

0 -0.0916 + 0.9440i 0 0 0

0 0 -0.0916 - 0.9440i 0 0

0 0 0 -0.0170 + 0.4763i 0

0 0 0 0 -0.0170 - 0.4763i

>> h= 5.2172

h =

5.2172

>> ci=(h-5)/4

ci =

0.0543

>> cr=ci/1.12

cr =

0.0485

2、t=0:0.1:30*pi; d=0.5;r=20;

r=d*t+r;

polar(t,r)

t=0:0.1:30*pi;

d=0.5;r=50;

r=d*t+r;

polar(t,r)

t=0:0.1:30*pi;

d=0.8;r=20;

r=d*t+r;

polar(t,r)

t=0:0.1:30*pi;

d=0.8;r=50;

r=d*t+r;

polar(t,r)