2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学

第?卷 （选择题 共 ?分） 一．选择题：共 ?小题，每小题 分，共 ?分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

?已知集合???x 2

230x x --≥?， ??x － ?x ＜ ＝，则A B ?

A

???????

B

?????）

C ??????

D ????）

?3

2

(1)(1)i i +-

A 1i +

B 1i -

C 1i -+

D 1i --

?设函数()f x ，()g x 的定义域都为 ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是

A ()f x ()g x 是偶函数

B ?()f x ()g x 是奇

函数

C ()f x ()g x 是奇函数

D ?()f x ()g x 是奇

函数

?已知F 是双曲线C ：2

2

3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为

A 3

B ?

C 3m

D 3m

??位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A

18 B 3

8 C 58 D 7

8

?如图，圆 的半径为 ，?是圆上的定点， 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，

过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y ()f x 在???π 上的图像大致为

?执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为 ????，则输出的M

A

203 B 165 C 72

D 15

8

?设(0,

)2π

α∈，(0,)2

π

β∈，且1sin tan cos βαβ+=

，则 A 32

π

αβ-=

B 22

π

αβ-=

C 32

π

αβ+=

D 22

π

αβ+=

?不等式组1

24x y x y +≥??-≤?

的解集记为D 有下面四个命题：

1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥ 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-

其中真命题是

A 2p ，3p

B 1p ，4p

C 1p ，

2p D 1p ，3p

??已知抛物线C ：2

8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF

A

72 B 5

2

C ?

D ?

??已知函数()f x 32

31ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞ ，则a 的取值范围为 A （ ，

） B （ ， ?） C （ ， ） D （ ， ?）

??如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A B C ?

D ?

第?卷（非选择题 共 ?分）

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（ ?）题 第（ ?）题为必考题，每个考生都必须作答。第（ ?）题 第（ ?）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题 分。

??8

()()x y x y -+的展开式中2

2

x y 的系数为 ??用数字填写答案? ??甲、乙、丙三位同学被问到是否去过?， ， 三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市； 乙说：我没去过 城市；

丙说：我们三人去过同一个城市 由此可判断乙去过的城市为 ?

??已知?， ， 是圆 上的三点，若1

()2

AO AB AC =

+，则AB 与AC 的夹角为 ? ??已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a ?，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 ? 三 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

???本小题满分 ?分?已知数列 n a ?的前n 项和为n S ，1a ?，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数

（?）证明：2n n a a λ+-=；

（?）是否存在λ，使得 n a ?为等差数列？并说明理由

?? ?本小题满分 ?分?从某企业的某种产品中抽取 ??件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（?）求这 ??件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（?）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2

(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2

δ近似为样本方差2s

（?）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

（??）某用户从该企业购买了 ??件这种产品，学科网记X 表示这 ??件产品中质量指标值为于区间（ ??????????）的产品件数，利用（?）的结果，求EX

附：150??????若Z ～2

(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+ ??????，

(22)P Z μδμδ-<<+ ???????

?? ?本小题满分 ?分?如图三棱锥

111ABC A B C -中，

侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥ （?）证明：1AC AB =；

（?）若1AC AB ⊥，o

160CBB ∠=，?????，求二面角111A A B C --的余弦值

?? ?本小题满分 ?分? 已知点A

（ ， ?），椭圆E ：22

221(0)x y a b a b +=>>的离

心率为

3

，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为23

，O 为坐标原点

（?）求E 的方程；

（?）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程

?? ?本小题满分 ?分?设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（ ，(1)f ）处

的切线为(1)2y e x =-+ （?）求,a b ； （?）证明：()1f x >

请考生从第（ ?）、（ ?）、（ ?）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 ?铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 ??（本小题满分 ?分）选修 ??：几何证明选讲

如图，四边形????是 ?的内接四边形，??的延长线与 ?的延长线交于点?，且 ???? ???证明： ?? ?；学科网

（?）设??不是 ?的直径，??的中点为 ，且 ????，证明： ???为等边三角形 ?? （本小题满分 ?分）选修 ??：坐标系与参数方程

已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?

（t 为参数） （?）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（?）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o

30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值

?? （本小题满分 ?分）选修 ??：不等式选讲 若0,0a b >>，且

11

ab a b

+= （?） 求3

3

a b +的最小值；

（?）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由

???年普通高等学校招生全国统一考试全国课标? 答案

??????? ???? ??????? ??．

－

? ??．? ??． ?? ??

?．【解析】：???由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减

()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= ⑤⑤⑤⑤?分

（?）由题设1a ?，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由???知31a λ=+ 假设 n a ?为等差数列，则123,,a a a 成等差数列， 1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时， n a ?为等差数列：由24n n a a +-=知

数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为 ，公差为 的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则1

2

n m +=

， 21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为 ，公差为 的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2

n

m =

， 21n a n =-(2)n m = 21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-= 因此，存在存在4λ=，使得 n a ?为等差数列

⑤⑤⑤??分

?．【解析】：??? 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为

1700.021800.091900.222000.33

2100.242200.082300.02200

x =?+?+?+?+?+?+?= ()()()()()()222

22

2

2

300.02200.09100.2200.33

100.24200.08300.02

s =-?+-?+-?+?+?+?+?

150=

⑤⑤⑤⑤?分

（?）（?）由???知Z ～(200,150)N ，从而

(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+= ⑤⑤⑤⑤⑤⑤?分

（?）由（?）知，一件产品中质量指标值为于区间（ ??????????）的概率为 ????? 依题意知(100,0.6826)X

B ，所以1000.682668.26EX =?= ⑤⑤⑤??分

?．【解析】：???连结1BC ，交1B C 于 ，连结??．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥?，且 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥ 又?1B O CO =，故

1AC AB = ⑤⑤⑤?分

（?）因为1AC AB ⊥且 为1B C 的中点，所以???????又因为??????，所以BOA BOC ??? 故 ?????，从而 ?， ?，1OB 两两互相垂直．? 以 为坐标原点， ?的方向为?轴正方向， ?为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 ?xyz ．?因为0160CBB ∠=，所以1CBB ?为等边三角形．又??????，则

30,0,3A ?? ? ??，()1,0,0B ，130,,03B ?? ? ???，30,,03C ??

- ? ?

??

1330,,33AB ??=- ? ??，1131,0,,3A B AB ??==- ? ??1131,,03B C BC ??

==-- ? ??

? 设(),,n x y z =是平面的法向量，则

11100n

AB n

A B ?=??=??，即33

033

30

3y z x z ?-=??-=??

所以可取()

1,3,3n =

设m 是平面的法向量，则11110

m A B n B C ?=??=??，同理可取()

1,3,3m =-

则1cos ,7n m n m n m

=

=

，所以二面角111A A B C --的余弦值为17

?．【解析】??? 设(),0F c ??，由条件知

2233c =

，得3c = 又3

2

c a =， 所以????，2

2

2

1b a c =-= ?故E 的方程2

214

x y += ⑤⑤⑤??分

（?）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线●：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y

将2y kx =-代入2

214

x y +=，得()221416120k x kx +-+=，

当2

16(43)0k ?=->，即2

3

4

k >时，1,2x =

从而22143

k PQ x -=-= ?

又点 到直线 ?的距离

d =

，所以? ??的面积12OPQ

S d PQ ?== ，

t =，则0t >，2

44

144OPQ t S t t t

?=

=≤++，

当且仅当2t =，k =0?>，所以当? ??的面积最大时，l 的方程为：

2y x =

- 或2y x =- ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤??分 ?．【解析】??? 函数()f x 的定义域为()0,+∞，11

2()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x

--'=+

-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==??，故1,2a b == ⑤⑤⑤⑤⑤?分

（?）由???知，?12()ln x x

e f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2

ln x x x xe e

->-

设函数??()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ?

?∈ ???

??时，()0g x '

1,x e ??∈+∞ ?????时，()0g x '>??，故()g x ??在??10,e ?? ???单调递减，在??1,e ??

+∞ ???

单调递增，

从而??()g x 在()0,+∞???的最小值为

?11()g e e

=- ⑤⑤⑤⑤⑤?分

设函数??2()x h x xe e

-=-

，则()()1x

h x e x -'=-，所以当()0,1x ∈??时，()0h x '>??，当()1,x ∈+∞??时，()0h x '

而??()h x ()g x 在()0,+∞???的最小值为?1(1)h e

=- 综上：当0x >时，()()g x h x >，

即()1f x > ⑤⑤??分

?．【解析】 ??? 由题设知得?、 、 、 四点共圆，所以∠ ?∠ ??，由已知得，

∠ ???∠? ?

所以∠ ?∠?? ⑤⑤⑤⑤⑤?分

（?）设 ??中点为，连接 ??则由 ??????知 ????? 所以 在 ?上，又??不是 的直径， 为??中点，故 ????， 即 ????，所以???????故∠??∠ ??， 又

∠ ???∠?，故∠??∠????由???（ ）知∠ ?∠?， 所以 ???为等边三角

形． ⑤⑤⑤⑤⑤??分

?．【解析】 ??? 曲线 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=??=?

（θ为参数），

直

线

●

的

普

通

方

程

为

：

260x y +-= ⑤⑤⑤?分

（?）（ ）在曲线 上任意取一点 ?????θ ????θ?到●的距离为

3sin 6d θθ=

+-，

则()

0||6sin 30d PA θα=

=+- ?，其中α为锐角．且4

tan 3

α=

当()sin 1θα+=-时，||PA

当()sin 1θα+=时，||PA 分

?．【解析】??? 11

a b =

+≥

，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立，

故3342a b +≥=，且当a b ==

33a b +的最小值为 ⑤?分

（?）由???知：23a b +≥≥，

由于 ，从而不存在,a b ，使得236a b += ⑤⑤⑤⑤⑤??分