选修1-1第一章单元综合测试

单元综合测试一(第一章综合测试)

时间：120分钟分值：150分

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．下列语句中能作为命题的是()

A．3比5大B．太阳和月亮

C．高一年级的学生D．x2＋y2＝0

【答案】 A

【解析】由于可以明确地肯定3比5大这一语句为假，根据命题的概念，故应选A.

2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

【答案】 D

【解析】原命题是全称命题，则其否定是存在性命题，故选D.

3．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是()

A．没有使用逻辑联结词

B．使用了逻辑联结词“且”

C．使用了逻辑联结词“或”

D．使用了逻辑联结词“非”

【答案】 C

【解析】“π≥3.14”的意思为：

“π>3.14或π＝3.14”．故选C.

4．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下面四个命题：

①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m；

③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.

其中正确的两个命题的序号是()

A．①与②B．③与④

C．②与④D．①与③

【答案】 D

【解析】①成立．若l⊥α，α∥β，则l⊥β.又因为m?β，故l⊥m.

②不成立，l与m也可能异面或相交．

③成立，若l∥m，l⊥α，则m⊥α.又m?β，则α⊥β.

④不成立．举反例即可知α与β可能相交．

5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3, 则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

【答案】 A

【解析】根据一个命题的否命题的构成，即将条件和结论均否定，因此所求命题的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．6．(2013·天津文)设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】 A

【解析】本题结合充分条件，必要条件考查不等式的性质．

因为a2≥0，而(a－b)a2<0，所以a－b<0，即a

7．若“?x∈R,2x≤a”为假命题，则实数a的取值范围是() A．a≤0 B．a<0

C．a≥0 D．a>0

【答案】 A

【解析】命题“?x∈R,2x≤a”为假命题，其否定为“?x∈R,2x>a”为真命题．只要2x>0≥a即可，故a≤0.

8．如果命题“?(p∨q)”为假命题，则()

A．p、q均为真命题

B．p、q均为假命题

C．p、q中至少有一个真命题

D．p、q中至多有一个真命题

【答案】 C

【解析】“?(p∨q)”为假，则“p∨q”为真，故p、q中至少有一个为真．

9．(2014·天津文)已知命题p：?x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为()

A．?x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1

B．?x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1

C．?x>0，总有(x＋1)e x≤1

D．?x≤0，总有(x＋1)e x≤1

【答案】 B

【解析】本题考查全称命题的否定，符号“?”改成“?”，但不改x>0，只改后面．

注意只改量词，不改变量词后面不等式，改变的是p具有的性质，(x＋1)·e x≤1.

10．(2014·江西文)下列叙述中正确的是()

A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”

B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”

C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”

D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β

【答案】 D

【解析】本题主要考查逻辑联结词，A选项中ax2＋bx＋c≥0不仅仅与b2－4ac有关，还要取决于x2的系数a，因此这个是既不充分也不必要条件，B项中当b2＝0时，a>c?/ab2>cb2，C项的否定

应是x 2<0，D 项正确，垂直于同一直线的两平面平行，本题较容易出错的选项是A 、B ，易忽略对a ＝0和b 2＝0的特殊情况考虑．

11．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x ≥1”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】 A

【解析】 a ＝18?2x ＋a x

＝2x ＋18x ≥22x ×18x ＝1. 另一方面，对任意正数x,2x ＋a x ≥1，

只要2x ＋a x ≥22x ×a 8x ＝22a ≥1?a ≥18，所以选A.

12．(2013·全国新课标Ⅰ文)已知命题p ：?x ∈R,2x <3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )

A ．p ∧q

B ．綈p ∧q

C ．p ∧綈q

D ．綈p ∧綈q

【答案】 B

【解析】 本题考查由“且”构成的复合命题的真假．由函数y ＝2x 与y ＝3x 的图象可判断，当x <0时，2x >3x ，p 为假，?p 为真；由函数y ＝3x 与y ＝1－x 2的图象可判断q 为真命题，所以?p ∧q 为真命题，

选B.由“∧”联结构成的复合命题，必须两个命题均为真，复合命题才为真．

二、填空题(每小题4分，共16分)

13．“相似三角形的面积相等”的否命题是“________”，它的否定是“________”．

【答案】 若两个三角形不相似，则它们的面积不相等 有些相似三角形的面积不相等

【解析】 首先分清原命题的条件和结论，否命题是对条件和结论同时进行否定，而命题的否定是只对命题的结论进行否定．

14．写出命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是________．

[答案] 若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不全大于0

[解析] 原命题与逆否命题等价．

15．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若?p 是?q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．

【答案】 0≤a ≤12

【解析】 命题p ：|4x －3|≤1?12≤x ≤1；

命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0?a ≤x ≤a ＋1.

∵?p 是?q 的必要不充分条件，

∴p 是q 的充分不必要条件，

则有????? a ≤12a ＋1≥1，∴0≤a ≤12.

16．下列三个命题中，真命题的序号有________(写出所有真命题的序号)．

①将函数y ＝|x ＋1|的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式为y ＝|x |.

②圆x 2＋y 2

＋4x －2y ＋1＝0与直线y ＝12x 相交，所得弦长为2. ③若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝5.

【答案】 ③

【解析】 ①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y ＝|x ＋2|.

②错误，圆心坐标为(－2,1)，半径为2，圆心到直线y ＝12x 的距离为455，圆截直线所得弦长为24－(455)2＝455. ③正确，sin(α＋β)＝12＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β

－cos αsin β＝13，两式相加，得2sin αcos β＝56，两式相减，得2cos αsin β＝16，将以上两式相除，即得tan αtan β＝5.

三、解答题(共74分) 17．(本题满分12分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

【解析】 逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；

真命题． 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；真命题．

逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则

x －2＋(y ＋1)2≠0；真命题． 18．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)

(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；

(2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；

(3)p ：a >2，q ：a >5；

(4)p ：a

【解析】 (1)在△ABC 中，∠A >∠B ?BC >AC .所以p 是q 的充要条件．

(2)a ＝3?(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0?/ a ＝3.所以p 是q 的充分而不必要条件．

(3)a >2?/ a >5，但a >5?a >2，所以p 是q 的必要而不充分条件．

(4)a

件．

19．(本题满分12分)已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．

(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；

(2)若p 是綈q 的充分条件，求实数m 的取值范围.

【解析】 由x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3，∴A ＝[－1,3]．

由x 2－2mx ＋m 2－4≤0得m －2≤x ≤m ＋2，∴B ＝[m －2，m ＋2]．

(1)若A ∩B ＝[0,3]，则m －2＝0，∴m ＝2，此时，B ＝[0,4]，符合题意．

(2)綈q ：x >m ＋2或x

由题意得A ?(－∞，m －2)∪(m ＋2，＋∞)，

∴m －2>3或m ＋2<－1，解得m >5或m <－3.

即m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．

20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．

【解析】 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是：在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函

数的图象(如图)特征可知：?????

f (－1)≤0，f (1)≤0

即??? 4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0?????? p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，

∴p ≥32或p ≤－3.

故p 的取值范围是－3

21．(本题满分13分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．

【解析】 当0

当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．

曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－

4>0.即a <12或a >52.

(1)p 正确，q 不正确．

则a ∈(0,1)∩??????a ???

12≤a ≤52且a ≠1，即a ∈??????12，1. (2)p 不正确，q 正确．

则a ∈(1，＋∞)∩????

??a ???

052， 即a ∈? ????52，＋∞.

综上所述，a 的取值范围为??????12，1∪? ??

??52，＋∞. 22．(本题满分13分)已知m ∈Z ，关于x 的方程：①mx 2－4x ＋4＝0，②x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0.求方程①和②的根都是整数的充要条件．

【解析】 当m ＝0时，方程②为x 2－5＝0，无整数根．当m ≠0时，方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－16m ≥0，解得m ≤1；方程②有实数根的充要条件是Δ＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ≥－54，所以－54≤m ≤1且m ≠0.而m ∈Z ，故m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，方程①mx 2－4x ＋4＝0无整数根；当m ＝1时，方程①②均有整数根．反之，成立．

综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m ＝1.