2016年高考上海理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4

分，否则一律得零分． （1）【2016年上海，理1，4分】设x R ∈，则不等式31x -<的解集为 ． 【答案】()2,4

【解析】由题意得：131x -<-<，解得24x <<．

【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运

用．

（2）【2016年上海，理2，4分】设32i

i

Z +=，期中i 为虚数单位，则Im z = ．

【答案】3-

【解析】32i

23i,Imz 3i

z +==-=-．

【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用． （3）【2016年上海，理3，4分】已知平行直线12:210,:210l x y l x y +-=++=，则12,l l 的距离 ．

【解析】利用两平行线间距离公式得

d =

=

=

【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． （4）【2016年上海，理4，4分】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，

1.77则这组数据的中位数是 （米）． 【答案】1.76

【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这六个数的中位数

是1.75与1.77的平均数，显然为1.76．

【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用． （5）【2016年上海，理5，4分】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数()1f x -= ．

【答案】()()2log 11x x ->

【解析】将点()3,9带入函数()1x f x a =+的解析式得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得()2log 1x y =-，所

以()()12log 1f x x -=-．

【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （6）【2016年上海，理6，4分】如图，在正四棱柱

1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1

BD 与底面所成角的大小为3

2

arctan ，则该正四棱柱的高等于 ．

【答案】

【解析】由题意得1

1122

tan 33

DD DBD DD BD ∠=

==?= 【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成

的角．

（7）【2016年上海，理7，4分】方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]0,2π上的解为 ．

【答案】566

ππ或

【解析】化简3sin 1cos 2x x =+得：23sin 22sin x x =-，所以22sin 3sin 20x x +-=，解得1

sin 2

x =

或sin 2x =-（舍 去），所以在区间[]0,2π上的解为566

ππ

或．

【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．

（8）【2016年上海，理8，4分】

在2n

x ???

的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．

【答案】112

【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为2n ，由题意得2256n =，所以8n =，二项式的通项

为84833

1882()(2)r r r r r r r T C C x x --+=-=-，求常数项则令84033

r -=，所以2r =，所以3112T =．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性

质，属于中档题．

（9）【2016年上海，理9，4分】已知ABC ?的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．

【解析】利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为2223571

2352

+-=-??

，由正

弦定理得2R =

，所以R =．

【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．

（10）【2016年上海，理10，4分】设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组1

1ax y x by +=??+=?无解，则a b +的取值范围是 ．

【答案】()2,+∞

【解析】解法1：将方程组中的（1）式化简得1y ax =-，代入（2）式整理得(1)1ab x b -=-，方程组无解应该

满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠

，所以由基本不等式得2a b +>=．

解法2：∵关于x ，y 的方程1

1ax y x by +=??+=?

组无解，∴直线1ax y +=与1x by +=平行，∵0a >，0b >，

∴

1111a b =≠，即1a ≠，1b ≠，且1ab =，则1b a

=，则1a b a a +=+，则设()()1

01f a a a a a =+>≠且，

则函数的导数()222111a f a a a -'=-=，当01a <<时，()221

0a f a a

-'=<，此时函数为减函数，此时

()()12f a f >=，当1a >时，()2

21

0a f a a

-'=>，此时函数为增函数，()()12f a f >=，综上()2f a >，

即a b +的取值范围是()2,+∞． 【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求

解是解决本题的关键．

（11）【2016年上海，理11，4分】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意n N *∈，

{}2,3n S ∈，则k 的最大值为 ．

【答案】4

【解析】解法1：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-???，所以最多由4个不同的数

组成．

解法2：对任意*n N ∈，{}23n S ∈，

，可得当1n =时，112a S ==或3；若2n =，由{}223S ∈，，可得数 列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，1-；若3n =，由{}323S ∈，

，可得数列的前三项为2，0， 0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，1-；或3，0，0；或3，0，1-；或3，1，0；或3，1，1-；

若4n =，由{}423S ∈，，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，

1，1-；或2，1，0，0；或2，1，0，1-；或2，1，1-，0；或2，1，1-，1；或3，0，0，0；或3， 0，0，1-；或3，0，1-，0；或3，0，1-，1；或3，1-，0，0；或3，1-，0，1；或3，1-，1， 0；或3，1-，1，1-；…即有4n >后一项都为0或1或1-，则k 的最大个数为4，不同的四个数均为 2，0，1，1-，或3，0，1，1-．故答案为：4．

【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．

（12）【2016年上海，理12，4分】在平面直角坐标系中，已知()1,0A ，()0,1B -，P 是曲线y 动点，则BP BA ?

的取值范围是 ．

【答案】0,1??

【解析】由题意得知y 半径为1的上半圆．设()cos ,sin P αα，[]0,α∈π，()1,1BA =

，

()

cos ,sin 1BP =αα+ ，所以cos sin 110,14BP BA π?

???=α+α+=α++∈+ ???? ． 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质

的合理运用．

（13）【2016年上海，理13，4分】设[),,0,2a b R c ∈∈π，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π?

?-=+ ??

?，则

满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为 ． 【答案】4

【解析】解法1：2,3a b =±=±，当,a b 确定时，c 唯一，故有4种组合．

解法2：∵对于任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π?

?-=+ ??

?，∴必有2a =，若2a =，则方程等价为

()sin 3sin 3x bx c π?

?-=+ ??

?，则函数的周期相同，若3b =，此时53C π=，若3b =-，则43C π=，若2a =-，

则方程等价为()()sin 3sin sin 3x bx c bx c π?

?-=-+=-- ???

，若3b =-，则3C π=，若3b =，则23C π=，

综上满足条件的有序实数组(),,a b c 为52,3,3π?

? ??

?，42,3,3π??- ???，2,3,3π??-- ???，22,3,3π??- ???，共有4组．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱

导公式进行转化是解决本题的关键．

（14）【2016年上海，理14，4分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128

A A A 的中心，()11,0A ．任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=

，则点P 落在第一象限的概率是 ． 【答案】5

28

【解析】共有2828C =种基本事件，其中使点P 落在第一象限共有2325C +=种基本事件，故概

率为528

．

【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对

得5分，否则一律得零分． （15）【2016年上海，理15，5分】设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A

【解析】2211,111a a a a a >?>>?><-或，所以是充分非必要条件，故选A ． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本

题的关键，比较基础．

（16）【2016年上海，理16，5分】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ）

（A ）65cos ρθ=+ （B ）65sin ρθ=+ （C ）65cos ρθ=- （D ）65sin ρθ=- 【答案】D

【解析】依次取30,,,22

ππ

θπ=，结合图形可知只有65sin ρθ=-满足，故选D ．

【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （17）【2016年上海，理17，5分】已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞

=．下列条

件中，使得()2n S S n N *<∈恒成立的是（ ）

（A ）10,0.60.7a q ><< （B ）10,0.70.6a q <-<<- （C ）10,0.70.6a q <-<<- （D ）10,0.80.7a q <-<<- 【答案】B

【解析】解法1：由题意得：

1

1112,(0

|q |1)11n q a a q q -<<<--对一切正整数恒成立，当10a >时1

2n q >不恒成立，舍去；当10a <时211

22n q q

解法2：∵()111n n a q S q

-=-，1lim 1n n a

S S q →∞==-，11q -<<，2n S S <，∴()1210n a q ->，

若10a >，则12n q >，故A 与C 不可能成立；若10a <，则1

2

n q <，故B 成立，D 不成立．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． （18）【2016年上海，理18，5分】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、

()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判

断正确的是（ ）

（A ）①和②均为真命题 （B ）①和②均为假命题

（C ）①为真命题，②为假命题 （D ）①为假命题，②为真命题 【答案】D

【解析】解法1：因为[()g(x)][()(x)][g()(x)]

()2

f x f x h x h f x +++-+=

必为周期为π的函数，所以②正确；增函

数减增函数不一定为增函数，因此①不一定，故选D ．

解法2：①不成立．可举反例：()2,13,1x x f x x x ≤?=?-+>?．()23,0

3,012,1

x x g x x x x x +≤??

=-+<

，(),02,0x x h x x x -≤?=?>?．

②∵()()()()f x g x f x T g x T +=+++，()()()()f x h x f x T h x T +=+++

()()()()h x g x h x T g x T +=+++，前两式作差可得：()()()()g x h x g x T h x T -=+-+，结合第三式可

得：()()g x g x T =+，()()h x h x T =+，同理可得：()()f x f x T =+，因此②正确．

【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （19）【2016年上海，理19，12分】将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形

成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3

π

，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧．

（1）求三棱锥111C O A B -的体积；

（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．

解：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．由 11

A B 的长为3

π，可知1113AO B π∠=． 11111111111sin 2A O B S O A O B A O B ?=??∠=111111C 1V 3O A B O A B S h -?=?=

（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//BB AA ，所以1CB B ∠或其补角为直线1B C 与1AA 所成的角．

由

AC 长为23π，可知23AOC π∠=，又1113AOB AO B π∠=∠=，所以3

COB π∠=， 从而COB ?为等边三角形，得1CB =．因为1B B ⊥平面AOC ，所以1B B CB ⊥．

在1CB B ?中，因为12

B B

C π

∠=

，1CB =，11B B =，所以14

CB B π

∠=

，

从而直线1B C 与1AA 所成

的角的大小为

4

π

． 【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意

空间思维能力的培养．

（20）【2016年上海，理20，14分】有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收货的

蔬菜可送到F 点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边

较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距 离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为()1,0，如图． （1）求菜地内的分界线C 的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为8

3

。设M

是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面 积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值． 解：（1）设分界线上任一点为(),x y ，依题意1x +=

)01y x =≤≤．

（2）设()00,M x y ，则01y =，∴2

001

44

y x ==，∴设所表述的矩形面积为3S ，则3152142S ??=?+= ???，

设五边形EMOGH 面积为4S ，则435111311

11224244

OMP MGQ S S S S ?=-+=-??+??=，

13851326S S -=-=，4111811

43126

S S -=-=<，∴五边形EOMGH 的面积更接近1S 的面积．

【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．

（21）【2016年上海，理21，14分】双曲线()22

210y x b b

-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲

线交于A B 、两点．

（1）若l 的倾斜角为

2

π

，1F AB ?是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设b l 的斜率存在，且()

110F A F B AB +?=

，求l 的斜率．

解：（1）设(),A x y A A ．由题意，()2,0F c ，c =()2

2241y b c b A =-=，因为1F AB ?是等边三角形，

所以23c y A =，即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为2y x =±． （2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．

由()2

213

2y x y k x ?-

=???=-?

，得()222234430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠， 且()23610k ?=+>．设AB 的中点为(),M x y M M ．由()

11F A+F B AB =0?

即1

0FM AB ?= ， 知1F M AB ⊥，故1F 1k k M ?=-．而2122

22x x k x M +==，()2623k y k x k M M =-=-，1F 2323k k k M =-， 所以23123k k k ?=--，得235

k =，故l 的斜率为． 【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计

算能力，转化思想的应用．

（22）【2016年上海，理22，16分】已知a R ∈，函数21

()log ()f x a x

=+．

（1）当5a =时，解不等式()0f x >；

（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；

（3）设0a >，若对任意1

[,1]2

t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值

范围．

解：（1）由21log 50x ??+> ???，得151x +>，解得()1,0,4x ?

?∈-∞-+∞ ??

? ． ……4分

（2）()1

425a a x a x

+=-+-，()()24510a x a x -+--=，当4a =时，1x =-，经检验，满足题意．

当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，11

4

x a =-，21x =-，12x x ≠．

1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当2

1

0a x +>，即1a >．

于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 ． ……10分 （3）当120x x <<时，

12

11

a a x x +>+，221211log log a a x x ????+>+ ? ?????

，所以()f x 在()0,+∞上单调递减． 函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．

()()22111log log 11f t f t a a t t ????-+=+-+≤ ? ?+????即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ??

∈????

成立．

因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12??

????

上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，

由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3??

+∞????

． ……16分 【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题

的关键．综合性较强，难度较大．

（23）【2016年上海，理23，18分】若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具

有性质P ．

（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；

（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，

n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；

（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈．求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为

“{}n b 是常数列”．

解：（1）因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==．于是678332a a a a ++=++，又因为67821a a a ++=，

解得316a =． ……4分

（2）{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，所以()12012019n b n n =+-=-，1

518133n n n c --??

=?= ???

．

520193n n n n a b c n -=+=-+．1582a a ==，248a =，6304

3

a =，26a a ≠，{}n a 不具有性质P ．……10分

（3）充分性：

当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，

必有11p q a a ++=．充分性得证．

必要性：

用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ，使得12k b b b b ==???==，而1k b b +≠．

下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==???=，但21k k a a ++≠．

设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<， 故存在c 使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==???==．但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ，矛盾．必要性得证．

综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． ……18分

【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．