一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系

一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系

基础知识回顾

一、正比例函数

1、正比例函数及性质

定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式：y=kx ① k ≠0 ② x 的指数为1

例题1.下列说法中不成立的是（ ）

A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；

B ．在y=-2

x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例

思考1：如何判断两个量是不是成正比例？

练习：已知y-5与3x-4成正比例，且当x=1时，y=2，求当y=11时，x 的值.

知识点：

(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） 必过点：（0，0）、（1，k ）

例题2：当a=________时，函数y=(a －3)x ＋a 2－9是正比例函数.

思考2：给出一个解析式是正比例函数，应当列出哪几个式子？

(2) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限

(3) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小

例题3.已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2?的大小关系是（ ）

A ．y 1>y 2

B ．y 1

C ．y 1=y 2

D ．以上都有可能

练习：已知正比例函数y=(2m-1)x 的图象上两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当x 1y 2,那么m 的取值范围是( )

A.m<12

B.m>12

C.m<2

D.m>0 思考3：表示正比例函数增减性的数学表述语言有哪些？？

(4) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴

思考4：这句话有什么作用？？

例题4. 已知y-5与3x-4成正比例，且当x=1时，y=2，求当y=11时，x 的值.

例题5.已知正比例函数x y 4=的图象上有一点P （x ，y ）和一点A （6，0），O 为坐标原点，且△PAO 的面积等于12，你能求出P 点坐标吗？

思考5：如何解答一次函数与面积的结合问题？

二、一次函数及性质

一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b ① k ≠0 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数

一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-k

b ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

一次函数y=kx ＋b 的图象的画法——两点法：

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），??? ??-

0,k b .即横坐标或纵坐标为0的点.

（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)，必过点：（0，b ）和（-k

b ，0） 例题6：已知函数 y ＝2x-1与y ＝3x+2的图象交于点P ，则点P 在（ ）

A 第一象限

B 第二象限

C 第三象限

D 第四象限

练习：已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x 轴上相交于同一点,则

a b 的值是( ) A.4 B.-2 C. 12 D.- 12

思考6：碰到与坐标轴的交点问题，马上想到什么？

求函数解析式的例题

一、定义法

1、已知函数()823--=m

x m y 是一次函数，求其解析式。

2、已知函数y=()()

112-++m x m 当m 取什么值时，y 是x 的一次函数？当m 取什么值是，y 是x 的正比例函数。

二、待定系数法

3、已知一次函数y=kx-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

4、已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

思考：用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

二、数形结合法

5、已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

思考：已知图象求解析式的方法是什么？

三、与面积问题结合

6.已知四条直线y＝kx-3，y＝-1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，则k的值为( )

A．1或－2 B．2或－1 C．3 D．4

总结：要注意数形结合！！！

练习1：直线y＝3x＋b 与坐标轴围成的三角形面积为6，求与y轴的交点坐标 ( )

A.（0，2）

B.（0，－2）（0，2）

C.（0，6）

D.（0，6）、（0，－6）

思考：与面积结合的题型，我们怎么去表示面积？

练习2：在直角坐标系中，直线4

+

y与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的

=kx

解析式。

练习3：已知直线y＝kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

四、平移问题

7、将直线y=3x 向下平移2个单位,得到直线__________;将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线___________

练习：把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

思考：直线平移规律是什么？

五、直线位置关系

思考：直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系

（1）两直线平行：

（2）两直线相交：

（3）两直线重合：

8、若直线b kx y +=平行于直线35+=x y ，且过点（2，-1），则k= ，b=

练习：已知直线y=kx+b 与直线y=－2x 平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

（2）走向与增减性：

例题7：已知直线y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在坐标系内它的大致图象是( )

b>0 b<0 b=0

k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大

k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小

练习：下图中表示一次函数y ＝mx+n 与正比例函数y ＝mnx(m ，n 是常数，且mn ≠0)图像的是( )

思考7：解答此类题目的思路与方法是什么？

例题8：函数4)2(+++=m x m y 中y 随x 的增大而减小，且图象交y 轴于正半轴，则m 的取值范围是

练习：若m 是整数，且一次函数2)4(+++=m x m y 的图象不过第二象限，则m= 。

（3）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.

注：作用与正比例函数相同

综合题——拓展提高：如图，直线L:22

1+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C(0,4),动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；

（3）当t 为何值时，△COM 与△AOB 全等，求此时M 点坐标。

6、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.

例题9：已知一次函数b kx y +=的图象如图所示，一元一次方程0=+b kx 的根是 ；

方程2=+b kx 的根是

思考8：解答此类问题的关键是找准什么？

7、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.（或者说：不等式仅表示了一次函数图像上的一部分）

强化训练：

1．直线y=x-1上的点在x 轴上方时对应的自变量的范围是（ ）

A ．x>1

B ．x ≥1

C ．x<1

D ．x ≤1

2．已知直线y=2x+k 与x 轴的交点为（-2，0），则关于x 的不等式2x+k<0?的解集是（ ）

A ．x>-2

B ．x ≥-2

C ．x<-2

D ．x ≤-2

思考：有哪几种方法？并比较哪种方法简单。

3．已知关于x 的不等式ax+1>0（a ≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x 轴的交点是（ ）

A ．（0，1）

B ．（-1，0）

C ．（0，-1）

D ．（1，0）

思考：该题与1、2题的区别是什么？？

4.已知函数y =8x －11，要使y ＞0，那么x 应取( )

A.x ＞811

B.x ＜811

C.x ＞0

D.x ＜0

综合以上4道题，思考：解答此类问题关键是找准什么？

拓展延伸：非坐标轴上的点，怎么办？

5.已知函数y =(2m －1)x 的图象上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是( )

A.m ＜21

B.m ＞21

C.m ＜2

D.m ＞0

思考：该题考查的知识点是什么？？

6.若一次函数y =(m －1)x －m +4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________.

思考：该题需要注意的问题是什么？

7．当自变量x 的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x 轴下方．

8．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2?的解集是________．

思考：有哪几种方法？并比较简易程度。

9．直线y=-3x-3与x 轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12?的解集是________．

10．已知关于x 的不等式kx-2>0（k ≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x?轴的交点是__________．

11．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3?的交点坐标是_________．

综合9-10题，思考：不等式解集中的端点值其实就是什么？

12.如果一次函数y =kx +2，当x =5时，y =4，那么当x ________时，y ＜0.

思考：有几种方法？比较简易程度。