＜合集试卷3套＞2018届常德市中考综合测试数学试题

中考数学模拟试卷

一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）

1．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）

A．2-2B．

3

2

C．3-1D．1

【答案】C

【解析】延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解.

【详解】解：延长BC′交AB′于D，连接BB＇，如图，

在Rt△AC′B′中，2AC′=2，

∵BC′垂直平分AB′，

∴C′D=1

2

AB=1，

∵BD为等边三角形△ABB′的高，

∴33，

∴BC′=BD-3-1．

故本题选择C.

【点睛】

熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键.

2．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打

算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间

【答案】A

【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．

【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝1（米），

②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），

③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），

④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝1+5m＞1，

⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞1．

∴该停靠点的位置应设在点A；

故选A．

【点睛】

此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．

3．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：

①甲步行的速度为60米/分；

②乙走完全程用了32分钟；

③乙用16分钟追上甲；

④乙到达终点时，甲离终点还有300米

其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．

【详解】由图可得，

甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，

乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，

乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，

乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，

故选A．

【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键.

4．如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

详解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，

故选：A．

点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

5．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【解析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD?AB，由此即可解决问题.

【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，

∴△ADC∽△ACB，

∴AC AD AB AC

，

∴AC2=AD?AB=2×8=16，∵AC>0，

∴AC=4，

故选B.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.

6．某工程队开挖一条480米的隧道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（）

A．

480480

4

20

x x

-=

-

B．

480480

20

4

x x

-=

+

C．480480

4

20

x x

-=

+

D．

480480

20

4

x x

-=

-

【答案】C

【解析】本题的关键描述语是：“提前1天完成任务”；等量关系为：原计划用时?实际用时＝1．

【详解】解：原计划用时为：480

x

，实际用时为：

480

20

x+

．

所列方程为：480480

4

20

x x

-=

+

，

故选C．

【点睛】

本题考查列分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

7．一、单选题

点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）

A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）

【答案】A

【解析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．

【详解】解：点P（2，-1）关于原点对称的点的坐标是（-2，1）．

故选A．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

8．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）

A．y=2n+1 B．y=2n+n C．y=2n+1+n D．y=2n+n+1

【答案】B

【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，

右边三角形的数字规律为：2，，…，，

下边三角形的数字规律为：1+2，，…，，

∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是y=2n+n.

故选B．

【点睛】

考点：规律型：数字的变化类．

9．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”

如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）

A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸

【答案】C

【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.

详解：设⊙O的半径为r．

在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，

则有r2=52+（r-1）2，

解得r=13，

∴⊙O的直径为26寸，

故选C．

点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题

10．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2＋3的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，

P点为该抛物线对称轴上一点，则OP＋1

2

AP的最小值为（）.

A．3 B．23C．3221

4

+

D．

323

2

+

【答案】A

【解析】连接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,解方程得到－x2＋23x=0得到点B,再利用配方法得

到点A，得到OA的长度，判断△AOB为等边三角形，然后利用∠OAP=30°得到PH= 1

2

AP,利用抛物线的性

质得到PO=PB,再根据两点之间线段最短求解.

【详解】连接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,如图当y=0时－x2＋3，得x1=0,x23所以B（3），由于y=－x2＋332+3,所以A3,3）,所以3，所以三角

形AOB为等边三角形，∠OAP=30°得到PH= 1

2

AP,因为AP垂直平分OB,所以PO=PB，所以OP＋

1

2

AP=PB+PH，

所以当H,P,B共线时，PB+PH最短，而BC=

3

2

AB=3，所以最小值为3.

故选A.

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质和最短途径的解决方法是解题的关键.

二、填空题（本题包括8个小题）

11．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________

【答案】x=±1

【解析】移项得x1=4，

∴x=±1．

故答案是：x=±1．

12．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_____cm1．

【答案】

253

【解析】∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，∵∠CAC′=15°，

∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5，

∴阴影部分的面积=1

2×5×tan30°×5=

253

．

13．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．【答案】1

【解析】分析：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于-b

a

，即可得出关于m的一元一次方程，解之

即可得出结论．

详解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1+m=3，

解得：m=1．

故答案为1．

点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b

a

是解题的关键．

14．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．

【答案】7

【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．

∴CD=BC －BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．

∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC ．

又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD ∽△DCE ． ∴AB DC BD CE =，即96CE 23CE

=?=． ∴AE AC CE 927=-=-=．

15．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为4时，阴影部分的面积为_____．

【答案】4π﹣1

【解析】分析：连结OC ，根据勾股定理可求OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积，依此列式计算即可求解．

详解：

连接OC ∵在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，

∴∠COD=45°，

∴22，

∴阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积

=22451(42)43602

π??-?=4π-1． 故答案是：4π-1.

点睛：考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．

16．已知A 、B 两地之间的距离为20千米，甲步行，乙骑车，两人沿着相同路线，由A 地到B 地匀速前行，甲、乙行进的路程s 与x （小时）的函数图象如图所示．（1）乙比甲晚出发___小时；（2）在整个运动过程中，甲、乙两人之间的距离随x 的增大而增大时，x 的取值范围是___．

【答案】2，0≤x≤2或4

3

≤x≤2．

【解析】（2）由图象直接可得答案；

（2）根据图象求出甲乙的函数解析式，再求出方程组的解集即可解答

【详解】（2）由函数图象可知，乙比甲晚出发2小时．

故答案为2．

（2）在整个运动过程中，甲、乙两人之间的距离随x的增大而增大时，有两种情况：一是甲出发，乙还未出发时：此时0≤x≤2；

二是乙追上甲后，直至乙到达终点时：

设甲的函数解析式为：y＝kx，由图象可知，（4，20）在函数图象上，代入得：20＝4k，∴k＝5，

∴甲的函数解析式为：y＝5x①

设乙的函数解析式为：y＝k′x+b，将坐标（2，0），（2，20）代入得：

202

k b

k b

=+

?

?

=+

?

，

解得

20

20

k

b

=

?

?

=-

?

，

∴乙的函数解析式为：y＝20x﹣20 ②

由①②得

5

2020

y x

y x

=

?

?

=-

?

，

∴

4

3

20

3

x

y

?

=

??

?

?=

??

，

故4

3

≤x≤2符合题意．

故答案为0≤x≤2或4

3

≤x≤2．

【点睛】

此题考查函数的图象和二元一次方程组的解，解题关键在于看懂图中数据17．64的立方根是_______．

【答案】4.

【解析】根据立方根的定义即可求解.

【详解】∵43=64，

∴64的立方根是4

故答案为4

【点睛】

此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.

18．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC= ．

【答案】1+

【解析】试题分析：连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长；

过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．

解：连接AB，则AB为⊙M的直径．

Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，

∴OB=OA=×=．

过B作BD⊥OC于D．

Rt△OBD中，∠COB=45°，

则OD=BD=OB=．

Rt△BCD中，∠OCB=60°，

则CD=BD=1．

∴OC=CD+OD=1+．

故答案为1+．

点评：此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．

三、解答题（本题包括8个小题）

19．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1(a≠0)把二次函数C1的表达式化成y＝a(x﹣h)2+b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标；已知二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)．