古典概型学习知识点与习题.docx

古典概型

1.理解古典概型及其概率计算公式.

2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

知识聚焦不简单罗列

古典概型

（ 1）基本事件的特点：① 任何两个基本事件是

件）都可以表示成的和 .

（ 2）古典概型的特点：

① 试验中所有可能出现的基本事件只有

② 每个基本事件出现的可能性，即（ 3）概率公式：P（A）＝.个，即

.

的 . ②任何事件（除不可能事

.

正本清源不单纯记忆

■ 链接教材

1.[教材改编 ] 从字母a， b ， c， d 中任意取出两个不同字母的试验中，基本事件共有

个.

2.[教材改编 ] 抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现正面朝上的点数大于 2 且小于 5 的概率为.

■ 易错问题

3.等可能事件：等可能性.

从两男两女四人中任意抽取两个人，出现的结果：① 两男；② 两女；③ 一男一女，其中概率相等的事件为.

4.古典概型：关键在于基本事件的计数.

从 1，3， 5， 7 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值大于 3 的概率是.

■ 通性通法

5.古典概型：基本事件的个数；古典概型概率公式.

[2015 昆·明模拟 ] 投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1，2， 3， 4， 5， 6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12 的概率为.

6.小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由 4 个数字 2，4 ，6， 8 按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中 4 个数字的顺序，随机地输入由2， 4，6， 8 组成的一个四位数，不能打开锁的概率是.

探究点一基本事件及事件的构成

1 做抛掷两颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出：

（1）试验的基本事件；

（2）事件“出现点数之和大于 8”包含的基本事件；

（3）事件“出现点数相等”包含的基本事件；

（4）事件“出现点数之和大于 10”包含的基本事件 .

[总结反思 ]求一个试验包含的所有基本事件时，需要将该试验的所有可能情况一一列

出，不重不漏，也可采用列表法或树状图法找出基本事件.

式题将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，观察向上一面的正反.

（1）试用列举法写出该试验所包含的基本事件；

（2）事件 A：“恰有两次正面向上”包含几个基本事件；

（3）事件 B：“三次都正面向上”包含几个基本事件.

探究点二古典概型的概率问题

2（ 1）如果3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组

勾股数，从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）31

A.10

B.5

11

C.10

D.20

（ 2）] 已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品，现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有

1 件次品的概率为（）

A.0.4

B.0.6

C.0.8

D.1

[总结反思 ]古典概型中基本事件的探求方法：（1）列举法，适合基本事件个数较少且易

.（ 2）树状一一列举的情况，列举时一定要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误

图法，适合列举较为复杂的基本事件.（3）列表法等 .

式题

某中学调查了某班全部45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团85

未参加演讲社团230

（ 1）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率.

（ 2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8 名同学中，有 5 名男同学A1，A2，A3，A4，A5， 3 名女同学B1， B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求A1被选中且 B1未被选中的概率.

探究点三古典概型概率的交汇问题

考向 1古典概型与平面向量相结合

3已知向量 a＝（ x，－ 1），b ＝（ 3，y），其中 x 随机选自集合 {－ 1，1，3}，y 随机选自集合 {1，3， 9}，则（ 1 ）a∥ b 的概率为；（2）a⊥b的概率为.

[总结反思 ]古典概型与平面向量交汇问题的处理方法：

（1）根据平面向量的知识，进行坐标运算，得出事件满足的约束条件；

（2）根据约束条件列举出所有符合的结果；

（3）利用古典概型的概率计算公式求解.

式题已知

→→→

k∈ Z，AB＝（ k，1）， AC＝（ 2， 4），若 | AB| ≤4，则△ ABC 是直角三角形的

概率是.

考向 2古典概型与直线、圆相结合

4从集合 A＝ {－ 1， 1， 2}中随机选取一个数记为 k，从集合 B＝ {－2， 1， 2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝ kx＋ b 不经过第二象限的概率为（）

1 2

A.3

B.9

5 4

C.9

D.9

[总结反思 ]古典概型与直线、圆交汇问题的处理方法：

（1）根据平面几何中直线与圆的知识，构建事件满足的约束条件；

（2）根据约束条件列举出所有符合的结果；

（3）利用古典概型的概率计算公式求解.

式题 [2015 ·洛阳统考]将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋ by＝ 0与圆（x－2）2＋y2＝2有公共点的概率为.

考向3古典概型与函数相结合

5]已知函数

1

f（ x）＝ 3x3－（ a－ 1） x2＋ b2x，其中a∈ {1，2， 3， 4}， b∈ {1，2， 3}，

则函数f（ x）在R 上是增函数的概率为.

[总结反思 ]古典概型与函数交汇问题的处理方法：

（1）根据函数的相关性质，确定系数应满足的条件；

（2）根据系数满足的条件进行分类考虑，列举出所有符合条件的基本事件；

（ 3）利用古典概型的概率计算公式求解.

1

式题设a∈{2， 4}， b∈{0， 1， 3}，函数 f（ x）＝2ax2＋ bx＋ 1，则 f（x）是偶函数的

概率为.

学科能力自主阅读型

误区警示17.基本事件判断不准致误

【典例】 [2015 ·茂名二模改编 ] 某市为增强市民的环境保护意识，征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100 名按年龄分组，第 1 组 [20 ，25），第 2组[25 ， 30），第 3 组[30， 35），第 4 组 [35， 40），第 5 组 [40， 45]，得到的频率分布直方图如图9-51-1所示.

图9-51-1

（ 1）若从第3， 4， 5 组中用分层抽样的方法抽取

应从第 3， 4，5 组中各抽取志愿者分别为.

6 名志愿者参加广场的宣传活动，则

（ 2）在（ 1）的条件下，该市决定从第3， 4 组抽取的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，则第 4 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率为.

答案（ 1） 3 人， 2 人， 1 人（ 2）

7 10

解析（ 1）由频率分布直方图可知，第 3 组的人数为0.06 ×5×100＝30，第 4 组的人数为 0.04 ×5×100＝20，第 5 的人数为 0.02 ×5×100＝10，所以用分层抽样的方法在60 名志愿者

中抽取 6名志愿者，每组抽取的人数分别为第

3020

3 组： 6×＝ 3，第

4 组：6×＝ 2，第

5 组：

6060

10

＝ 1.所以应从第 3， 4，5 组中分别抽取 3 人， 2 人， 1人 .

6×

60

（2）记第 3 组的 3 名志愿者为 A1， A2，A3，第 4 组的 2 名志愿者为 B1， B2，则在 5 名志愿者中抽取的 2 名志愿者有①（A1， A2），（A1， A3），（ A1， B1），（ A1，B2），（ A2， A3），

（ A2， B ），（ A ， B ），（ A ， B），（ A ， B ），（ B ，B ），共 10 种情况，其中第 4 组的 2 122313212

名志愿者至少有 1 名被抽中的有②（ A1112212231

，B ），（ A， B），（A，B ），（ A， B），（A ， B ），（ A3， B2），（ B1， B2），共 7 种情况，所以第 4 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率

7

为10.

本题用列举法求古典概型中随机事件所包含的基本事件的个数，因为涉及志愿者

分组与志愿者的编号，所以在列举基本事件时，①② 容易出现分组与编号混乱导致

基本事件遗漏、重复等错误 .解决此类问题，一定要按照某个既定的顺序逐个写

出基本事件，以防遗漏与重复.

【跟踪练习】（ 1）从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四

边形是矩形的概率等于（）

11

A.10

B.8

11

C.6

D.5

（ 2）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m， n 作为点P 的横、纵坐标，则点P（m，

n）落在直线x＋ y＝ 4 下方的概率为（）

11

A.6

B.4

1 1

C.12

D.9