蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第4章 消费者行为)

蒋殿春《高级微观经济学》

第4章 消费者行为

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1．如果消费者的偏好满足4.1节中所述公理，证明任两条无差异曲线不可能相交。 证明：运用反证法，假设两条无差异曲线相交于A 点，如图4-1所示。

图4-1

由无差异曲线的定义和三点（消费组合）在图中的位置，可得：~A C ，~A B ，但C B f 。由传递性公理，必然有A A f ，与事实相矛盾，所以任两条无差异曲线不可能相交。

2．有一个钱币收藏家，同时还是一个投机者，他会根据钱币的市场价格买进或者卖出一些钱币；假设他现在处于均衡状态，即是说目前的市价下他不想买进也不想卖出。证明：无论钱币市场上钱币的价格上涨还是下跌，这个人的效用水平总会增加。

证明：如图4-2所示，假设现在收藏家在(),M X **处达到均衡，其中M 指钱币数量，X 是所有其他消费品的支出。

图4-2

在图4-2中，预算线与一条无差异曲线I *相切。如果M p 上升，M X p p 增大，预算约束线较以前陡峭，但它必然还通过(),M X **，因为坐标满足预算线方程M X M X Mp Xp M p X p **+=+。

因此，新预算线必然与无差异曲线I *交于两点。在这两点之间，必然能找到另一点(),M X ''，在这点处，预算线相切于一条更高的无差异曲线I '。

同理可以证明M p 下跌时，预算约束线更平坦，但同样通过点(),M X **，个体可以达到一条较I *更高的无差异曲线（新均衡点将在(),M X **的右下方）。

3．一个消费者的效用函数为

()1212,,,0,0u x x Ax x A αβ

αβ=>>

该消费者的效用函数又可以写为下列哪种函数形式？ （a ）()1212,ln ln u x x x x αβ=+；

（b ）()()()

121

2,u x x x x ααββ

αβ++=；

（c ）()121

2,u x x x x A αβαβ=++。 解：在正单调变换()ln v u A =时，原效用函数可变为（a ）的形式；

在正单调变换()1v uw αβ+=时，原效用函数可变为（b ）的形式；

由于效用函数在正单调变换下不改变原来的偏好性质，所以（a ）和（b ）都是原来效用函数的等价形式；而（c ）则不是。

4．推导上一问题中消费者的

（1）马歇尔需求函数和间接效用函数； （2）希克斯需求函数和支出函数；

（3）比较马歇尔需求和希克斯需求曲线的斜率； （4）验证Roy 等式； （5）验证对偶性定理。

解：取效用函数的等价形式()1212,ln ln u x x x x αβ=+，并且假设1αβ+=。 （1）考虑效用最大化问题：

()12

12,max ln ln x x x x αβ+

..s t 1122p x p x m +=

构造拉格朗日函数为：

()()121122ln ln L x x p x p x m αβλ=+-+-

效用最大化的一阶必要条件为：

111

0L p x x α

λ?=-=? 222

0L p x x β

λ?=-=? ()11220L

m p x p x λ

?=-+=? 联立方程求解得：()1m λαβ=+=，11

m x p α=

，22

m x p β=

，此即为马歇尔需求函数；

相应的间接效用函数为()1

2,ln ln v p m m p p αβ

=-()1αβ+=。 （2）考虑支出最小化问题：

()12

1122,min x x p x p x +

..s t 12ln ln x x u αβ+=

构造拉格朗日函数：()()112212ln ln L p x p x x x u λαβ=+-+- 由支出最小化的一阶条件解得：

12u p p e β

α

λαβ????= ? ?????

，21111u p h x e p p β

αλαβ*??=== ???，12222u p h x e p p α

βλβα*??=== ??? 这就是希克斯需求函数。

支出函数为()1212,,u p p e p p u e β

α

λαβ??

??== ? ?????

。

（3）以商品1为例，在()11,x p 平面内，两条需求曲线相交处满足：

211u p m

e p p β

ααβ??= ???

在该点两条需求曲线的斜率分别为：

()12

1

1,x p m m

p p α?=-

?，

()121

11,1u

h p m p e p p p β

αββ???=- ????

利用交点条件，显然二者存在关系

()()111

1

,,h p u x p m p p β

??=??。

二者都为负数，且1β<，这意味着在()11,x p 坐标平面中希克斯需求曲线较马歇尔需求曲线陡峭。

（4）由（1）知()1

2,ln ln v p m m p p αβ

=-，所以： ()1

1

,v p m p p α

?=-

?，

(),1

v p m m

m

?=

? 因此，()()111

,,v p m p m

x v p m m

p α?-=

=??。

（5）利用关系1αβ+=，可验证：

()()(),21111

,,,v p m p m

h p v p m e x p m p p β

ααβ??===?? ????? 同理，可验证其他恒等式。

5．考虑效用函数

()()

()()123112233,,,,,0u x x x x b x b x b α

βγ

αβγ

=--->

首先解释为什么我们可以假设1αβγ++=，保持这个假设，解答以下问题： （1）推导希克斯需求和支出函数，验证它们满足4.3.1和4.3.2节陈述的性质； （2）验证Slutsky 方程；

（3）验证希克斯需求的自价格效应为负，交叉价格效应是对称的。 解：（1）在正单调变换()1v u αβγ++=下，原效用函数变为：

()

()

()

()

()

)

112233v x b x b x b ααβγβ

αβγγαβγ++++++=---

由于效用函数在正单调变换下不改变原来的偏好性质，上式是原效用函数的等价形式，所以1αβγ++=。

将,,αβγ分别记为123,,a a a ，并选用另一等价的效用函数形式：

()3

1

ln i i i i v a x b ==-∑，其中3

1

1i i a ==∑

希克斯需求是支出最小化问题的解，于是有：

min i i p x ∑

..

s t ()ln i

i

i

a x

b u -=∑

构造拉格朗日函数，一阶条件为：

0i i i i i

a L p x x

b λ?=-=?- 1,2,3i = ()k

a u k k k

e a p λ-=∏

所以，希克斯需求函数为：

(),k

a u

i

k i i i k i

k a

p h p u x e b p a *??==+ ???

∏ （2）效用最大化问题考虑：

()max ln i i i a x b -∑ ..s t i i p x m =∑

构造拉格朗日函数，由一阶条件解得： 马歇尔需求为()(),1i i j j i i j i i a x p m m p b a b p ≠?

?=

-++ ???

∑ 因此，(),ln i i j j i i j i i a v p m a m p b a b p ≠????

=--?

? ???????

∑∑。 验证Slutsky 方程，有：

(),i j i j

i

a b x p m p p ?=-

?，

(),i i i

x p m a

m

p ?=?，(),k

a i j i

u

k k i i j k a a h p u p e p p p a ???= ????

∏ 满足：

()()()(),,,,,i i j i i j i

i

i

h p v p m a b x p m x p m x p m p m p x ???????

=

=-

=

???

（3）自价格效应

()()

2,10k

i

a i u

i

k i a k i i

k i h p u a p a e p a p -≠???=--< ????

∏ 交叉价格效应为

(),k

a i j

i u

k k j

i j k a a h p u p e p p p a ???= ????

∏ 所以，有

()(),,0i i j

i

h p u h p u p p ??=

>??。

6．试画出下列效用函数的无差异曲线，并讨论其对应的间接效用函数和支出函数的特征。

（1）完全替代商品：12u x x =+； （2）完全互补商品：{}12min ,u x x =。

解：（1）由于两种商品是完全替代的，消费者只可能买其中较便宜的商品。如图4-3所示。

图4-3

因此，需求函数和间接效用函数是：

110m p x ?=?

?1212p p p p ≤>，220

x m p ?=??1212

p p p p ≤> {}

1212min ,m

v x x p p =+=

，特征是与价格较高商品的价格无关。

支出函数为{}12min ,e u p p =，是u 的线性函数。

（2）完全互补商品的效用函数的无差异曲线如图4-4所示。

图4-4

由于效用水平仅是1x 和2x 中较小的一个值，所以，无论是效用最大化或者是支出最小化问题，最优消费组合必然满足12x x =。在此约束下，效用函数可以简单地写为1u x =（或是2u x =）。

考虑效用最大化问题：

1max x 1122..s t p x p x m +=

解得：1212

m

x x p p **

==

+。 代入效用函数即得间接效用函数：()12

,m

v p m p p =

+。 这是收入m 的线性函数；而且，保持12p p +不变，个别的商品价格变化不改变()p,v m 。 显然，对于预先给定的效用水平0u ≥，希克斯需求是12x x u ==，从而支出函数为

()12e p p u =+。

7．我们在4.2.3节使用包络定理证明了Roy 等式，但它还有别的证明方法，试按下面的方法证明之：

（1）直接从间接效用函数的定义出发，使用效用最大化一阶必要条件；

（2）由4.3.3节对偶性等式（4），(),,v p e p u u =????，保持u 不动，在等式两边对i p 求导，使用复合函数求导法则。

证明：（1）在预算约束等式(),px p m m =，两端分别对i p 和m 求微分，得到：

()()1,,0n

j i j j

x p m x p m p =?+=?∑

从而得到()()1

,,k

j i j j

x p m x p m p =?=-?∑

，()1

,1k

j j x p m m

=?=?∑

。

现在分别来计算Roy 等式中的分子和分母。按定义：

(){}

()(),max ,,x x px m v p m u x u x p m ∈≤=≡????

利用效用最大化一阶条件以及上面得到的等式，得：

()()()()()11

,,,,,k

k

j j j

i j j i

j

i

i

u x p m x p m x p m v p m p x p m p x p p λλ==????????===-????∑

∑

()()()()11

,,,,k

k

j j j

j j j

u x p m x p m x p m v p m p m

x m

m

λλ==????????===????∑

∑

二者相除即得到Roy 等式。

（2）考虑一个由最小支出(),e p u 为预算的效用最大化问题。在(),e p u m =条件下，有对偶性等式(),,v p e p u u ≡????，两边同时对i p 求导，得：

()()()()()

(),,,,,,,,0,i

i

i

e p u m

v p e p u v p e p u v p e p u e p u p p e p u p =????????????

??

??==

+

????

其中，

()()()(),,,,,i i i i

e p u h p u x p e p u x p m p ?===?????。

代入之前的等式，再整理即得到Roy 等式。

8．如果消费者需要缴纳消费税，比较下列两种税制对消费行为的影响： （a ）消费者一次性缴纳一笔固定税款T ；

（b ）从价税：如果商品价格为p ，消费者按税后价格()1t p +购买。

解：两种税制可进行比较的前提是假设消费者最终缴纳的税额一致，都为T ，然后比较消费者在不同情况下达到的效用水平。分以下两种情况讨论：

（1）若从价税是在所有商品上征取，所有商品的价格都同比例提高，那么消费者的预算线与一次性缴纳T 元情况下的预算线一致（因为斜率相同，且收入都是m T -），所以两种税制对消费者来说是一样的。

（2）从价税只在部分商品上征收，其他商品的价格保持不动。假设原来的商品价格为

()12,p p p =，考虑政府实行从价税，价格变为()121,p t p p =+????，消费者的最优消费组合为

()12,x x x ***=。

如果此时消费者所缴纳的总税额11tp x T *=，则可以确定消费者在一次性缴纳T 元后，商品价格维持不变的情况下会有更高的福利。原因在于，一次性缴纳T 元，余下的收入m T -足够购买商品组合x *，消费者不是非买这一组合不可，他还有其他选择，这一额外的选择会带给他改善福利的机会。其实，一次性税制相当于迫使消费者进行了一次程度为T 元的收入效应调整，而从价税则是在此基础上迫使消费者再进行一个替代效应式的消费收缩。

9．证明希克斯需求函数满足等式：

10k

i

j j j

h p p =?=?∑，1,...,i k = 证明：根据希克斯需求的零次齐次性质：任取0t >，

()()p,,i i h t u h p u =，1,...,i k =

等式两端对变量t 求导，()1

p,0k

i j j j

h t u p p =?=?∑

取1t =即得证。

10．(),i x p m 是消费者对商品i 的马歇尔需求1,...,i k =，定义其收入弹性和价格弹性分别为：

i i i

x m EM m x ?=

?，j i ij j i p

x EP p x ?=?

（1）证明下面的“恩格尔和性质”：

1

1k

i i

i EM

β==∑

这里i β是消费者在商品i 上的支出份额：i i i p x m β=。 （2）证明“齐次限制等式”成立：

1

k

ij

i j EP

EM ==-∑ 1,...,i k =

证明：（1）马歇尔需求(),i x p m 必然满足预算约束：

()1

,k

i i i p x p m m ==∑

等式两端对m 求导，可得：

1

1k

i

i

i x p

m

=?=?∑ 因此，1

1

1k

k

i i i i i i i i p x x m

EM m m x β==?==?∑

∑，即得证。

（2）利用Slutsky 方程

i i i j j j x h x

x p p m

???=-??? 11111

11k

k

k j j

i i i ij j j j j i j i j k k

i i j j j

j j i j i i

i

i p p x h x EP x x p x p m h x p p x x p x m x m EM x m

=====?????==-?????????

??=-???=-

=-?∑∑∑∑∑

11．证明马歇尔需求满足等式： （1）Cournot 可加性：10k

i

i j i j

x p x p =?+=?∑

，1,...,j k =。 （2）Engel 可加性：1

1k

i

i i x p m

=?=?∑

。 证明：（1）利用Slutsky 方程，

i i i j j j x h x

x p p m

???=-??? 111

k

k k

i i i

i i j i

i i i j j x h x p p x p p p m ===???=-???∑∑∑ 运用希克斯需求的交叉价格效应相等性质：11k

k j

i i i j i

h h p p ==??=??∑∑ 11k

k j i

i i

j j i i j i h x p p x x p p ==??=-=-??∑∑

即10k

i

i j i j

x p x p =?+=?∑

。 （2）111111k

k

k k i i

i i

i i i i i i i i i j

j j j j j x p

h x h x p p p m x p p

x p p ====?????????=-=-= ? ? ? ??????????

∑∑∑∑。

12．如果消费者的效用函数是位似函数，证明：

（1）支出函数具有形式()(),e p u e p u =，()e p 是1u =时的最小支出； （2）间接效用函数为()(),v p m m p =； （3）马歇尔需求函数为()()i i x e p m e p =。

证明：（1）假设某消费者具有位似效用函数()()?u x f u x =????，其中()?u

x 是一次齐次函数，()0f >g 。

由于()()1?u x f u x -=????，且()()1

1

0f f --''??=>?

?????g g ，根据效用函数在正单调变换下的不变性质，知道()?u

x 也是同一消费者的效用函数。考虑问题： min x

wx

()?..1s t u

x = 记x *是它的解，则对任何常数0u >，由效用函数()?u

x 的一次齐次假定，()?u ux u *=，从而ux *是问题

x

min wx

()?..s t u

x u = 的解。

所以，()(),e p u uwx e p u *==。

（2）利用对偶性质(),,e p v p m m ≡????，将（1）中得到的支出函数中的u 替换为(),v p m ， 则()()(),,,m e p v p m e p v p m ==????。

两边同时除以()e p ，即得()(),v p m m e p =。

（3）由于()()()()2

,i i

i

v p m me p m p p e p e p '????

=

=-????????，()()()2,1

v p m m m m e p e p ????==????????

，运用Roy

等式即可得到()()i i x e p m e p =。

13．假设某消费者的马歇尔需求函数(),x p m 是收入m 的一次齐次函数，且交叉价格效应为零，即

(),0i j

x p m p ?=? i j ≠

证明：

(),i i i

a m

x p m p =

这里i a 是正的常数。

证明：由于(),x p m 是收入m 的一次齐次函数，那么，()()(),,1x p m x p m x p m ≡?=，其中()(),1x p x p ≡是收入为1时的马歇尔需求。

现在只需证明()i i i x p a p ≡或者()i i i p x p a =，任何价格变化下()i i p x p 维持不变。 为此，验证：

()()()0i i i i i i i

x p p x p x p p p p ??

=+=?????? 第二个等式成立是因为交叉价格效应为零即

()0i j

x p p ?=?，并利用Cournot 可加性

1

0k

i

i j i j

x p x p

=?+=?∑，由此可得：

()0i i j p x p p ?

=???

??。 从而，存在某一常数i a ，使得()i i i p x p a =；而且，由于价格和马歇尔需求都是正的，所以i a 也必为正值。

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