冀教版九年级数学上册知识点

23章 数据分析 平均数和加权平均数

1、一般地，我们把n 个数n x x x ,...,

,21的和与n 的比，叫做这n 个数的算

术平均数，简称平均数，记作-

x ，读作“x 拔”，即)....(1

1n x x n

x ++=

-

2、已知n 个数n x x x ,...,

,21，若n w w w ,...,,21为一组正数，则把

n

n

n w w w w x w x w x ......212211+++++叫做n 个数n x x x ,...,,21的加权平均数，

n w w w ,...,,21分别叫做这n 个数的权重，简称权。

中位数和众数

1、一般地，将n 个数据按大小顺序排列，如果n 为奇数，那么把处于中间

位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n 为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。

2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的

众数可能不止一个，也可能没有众数。 方差

设n 个数据n x x x ,...,,21的平均数为-

x ，各个数据与平均数偏差的平方分别是22

22

1)(,...,)(,)(-

-----x x x x x x n 。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用2s 表示，即

当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。 用样本估计总体

由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。 24章 一元二次方程 一元二次方程

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式为).0(02

≠=++a c bx ax 其中，

2

ax

是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是

常数项。一元二次方程的解也叫做这个方程的根。 解一元二次方程

1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的

平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

2、对于一元二次方程02=++c bx ax ：

当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根； 当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根； 当042<-ac b 时，方程没有实数根。

我们把ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式。

3、当042≥-ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 的两实数根可以用

a

ac

b b x 242-±-=

求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。 一元二次方程根与系数关系

如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为21,x x ，那么

a

c

x x a b x x =?-=+2121,。

一元二次方程的应用

25章 图形的相似

比例线段

1、如果选用同一度量单位，量得线段a 和b 的长度分别为m 和n ，我们就

把m 和n 的比叫做线段a 和b 的比，记作n m b a ::=，或n

m

b

a =

。 2、在四条线段d c b a ,,,中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d

c

b a =，我们

就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。

3、比例的基本性质

如果d

c

b

a =

，那么bc ad =。 如果bc ad =，那么d c

b a =（0,≠d b ）

特别地，如果c

b

b a =，即a

c b =2，就把b 叫做a,c 的比例中项。

如果k n m d c b a ====...，那么k n

d b m c a =++++++......

4、黄金分割

在线段AB 上有一点C ，如果点C 把AB 分成的两条线段AC 和BC 满足

AC

BC

AB AC =

，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 称为线段AB 的黄金分割点，AB AC 称为黄金比。黄金比618.02

1

5≈-=AB AC 每条线段上的黄金分割点都有两个。 平行线分线段成比例

（1) 基本事实

两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。

对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB 与DE 、BC 与EF 、AC 与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条

线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的

比。

（2）推论1

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

（3） 推论2

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。

在△ABC 中，DE∥BC，BC

DE AC AE AB AD =

= 相似三角形

l 3

l 2l 1F

E D C

B A A

B

C

D

E

E D C B A

E

D

C

B

A

（1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。

（2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。

相似三角形的判定

相似三角形的判定定理

(1)两角对应相等的两个三角形相似。

(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

(3)三条边对应成比例的两个三角形相似。

(4)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的性质

相似三角形的性质定理

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。

（2）相似三角形周长的比等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形的应用

相似多边形和图形的位似

（1）形状相同的图形称为相似图形。一般地，如果两个多边形的对应角相

等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。

（2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应

边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比。

（3）位似图形的画法

确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）； 选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线；

根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点； ④顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。

26章 解直角三角形

锐角三角函数

1、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°

∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即b

a

tan =∠∠=

的邻边的对边A A A

∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即c

a

sin =∠=

斜边的对边A A

∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c

b

cos =∠=斜边的邻边A A

2、一些特殊角的三角函数值

3、在

直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一

确定的；当锐角α变化时，相应的比

值也会发生相应的变化。 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统

称为α的三角函数。

为方便起见，今后将()()()222tan ,cos ,sin ααα分别记作ααα222tan ,cos ,sin 。 锐角三角函数的计算 解直角三角形

1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。由这

五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2、在Rt△ABC 中，∠C=90° 三边之间的关系是222c b a =+； 两锐角之间的关系是 90=∠+∠B A ； 边角之间的关系是

在边角之间的关系中，将∠A 换成∠B，同时将a,b 交换，即可得到∠B 与边之间的关系式。

根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个元素。 解直角三角形的应用

我们通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比l

h 叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角。显然，l

h =

αtan 27章 反比例函数

反比例函数

一般地，如果变量y 和变量x 之间的函数关系可以表示成

)0(≠=

k k x

k

y 为常数，且的形式，那么称y 为x 的反比例函数，k 称为比例系数，自变量x 的取值范围是不等于0的实数。 反比例函数的图像和性质

反比例函数)0(≠=k k x

k y 为常数，且的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线。

对于反比例函数x k y =，当k>0时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而减小；当k<0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大。 反比例函数的应用

28章 圆

圆的概念及性质

（1）平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径。

（2）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（3）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。过圆心的弦叫做这个圆的直径。

（4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆。

（5）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

（6）能够完全重合的两个圆叫做等圆。能够完全重合的两条弧叫做等弧。过三点的圆

（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆。

（2）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。

圆心角和圆周角

（1)顶点在圆心的的角叫做圆心角。圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧。

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。（3)在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等。

（4)顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。

（5)圆周角定理

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

（6）直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

（7）同弧所对的圆周角相等。

（8）四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

（9）圆内接四边形的对角互补。

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 弧长和扇形面积的计算

（1）计算公式

设

n 圆心角所对弧的长为l ，所对扇形的面积为S ，则180

r

n l π=，3602r n S π=或

lr S 2

1

=

（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。圆锥的顶

点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高。

（3）将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半

径长等于圆锥的母线长。

反过来，扇形也可以围成一个圆锥。