2014年江西省高中数学竞赛试题

2014年江西省高中数学联赛预赛试题

一、填空题

1．如果2014是一个正整数等差数列的第8项，那么该数列首相的最小值是

2

．已知sin cos αα+=，则44sin cos αα+=

3．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和

皆是质数，且首尾两项之和也是质数，你的填法是

4．已知点P 是椭圆上一点，F1是其左焦点，点Q 在PF1上且满足()

112OQ OP OF =+， 3OQ =，则点P 到该椭圆的左准线的距离为

5．正三棱锥D-ABC 的底面边长为1，侧棱长为2，过点A 作截面与侧棱BD 、CD 分别

相交于点E 、F ，当△AEF 的周长最小时，△AEF 的面积为

6．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意的正整数n 都有5321

n n S n T n -=+， 则

207

a b =

7．已知()20250012501......x a a x a x a x +=++++，

则1232523......25a a a a ++++的值为=

8．将1，2，3，4，5，6，7，8的每一个全排列看成一个八位数，则期中是11的倍数的

八位数的个数为

二、解答题

9．设a、b、c为正数，

证明：

22 22224

ab ab ac ac

a a

b b a a

c c

a b a b a c a c

????????+++++≥++

? ??? ?

++++

????????

10．设椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>与抛物线22(0)

x py p

=>有一个共同的焦点F，PQ是

它们的一条公切线，PQ分别为切点，证明：PF QF

⊥

11．如图C是半圆弧O的中点，点P为直径BA

延长线上一点，过点P作半圆的切线PD，D为切

点，∠DPB的平分线分别交AC、BC于E、F，

证明：∠PDA=∠CDF

12．若整数a、b既不互质，也不存在整除关系，则称a、b是一个“联盟”数对；设A是集合M={1，2，……，2014}的n元素子集，且A中任意两数皆是“联盟”数对，求n的最大值。