《简单线性规划(1)》教学设计

课题：简单线性规划（一）

北京师范大学第二附属中学王张平

教材：人教版（B版）普通高中课程标准实验教科书（必修5）第三章§3.5.2

教学目标：

1．知识目标：理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．

2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识；进一步培养学生在研究问题中主动借助现代信息技术手段辅助思维的习惯．

3．情感目标：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决实际问题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值．

教学重点、难点：

探究解决简单线性规划问题的方法．

教学方式：

学生自主探究和教师引导相结合．

教学手段：

CASIO图形计算器、多媒体、几何画板．

教学过程：

一. 设置情境，问题引入

通过实际问题，创设问题情境．

问题一：资金分配

前不久的四川大地震，牵动了全国人民的心，灾后重

建是当务之急．北京某企业积极响应北京市对口支援什邡

市重建的号召，打算对中小学教学楼的重建（包括各项附

属设施）提供支援，预算投入资金不超过1000万元．根

据当前实际情况，要求投入中学建设的资金不少于投入小

学建设资金的1.8倍，初步估算中学教学楼的平均造价为

每百平方米14万元，小学教学楼的平均造价为每百平方

米8万元．并且对两者的建设面积都不低于1000平方

米．请你帮该企业计算一下，如何分配这笔资金能使得

教学楼重建后的面积最大？最大面积为多少？

学生活动：

（1） 独立将实际问题转化为数学问题；

（2） 针对得到的“约束条件”（不等式组），做出相应的平面区域．

预案：学生会比较顺利的列出不等式组，不容易想到列出“目标函数”，教师作适当引导， 让学生列出二元函数表达式． 说明：

（1） 学生已经学习了“二元一次不等式组表示平面区域”的问题，作为上述知识的应

用，这里设计了从实际问题出发，创设问题情境，从而引起学生的探究兴趣；

（2） 放手让学生独立解决．碰到问题（如何处理一个“二元函数”的最值问题），引起

认知冲突，激发求知的欲望．

二. 深入研究， 探求解法

针对“问题一”中提出的数学问题，让学生自己探究解决的方法，教师巡视观察． 设建设中学教学楼面积为x 百平方米， 建设小学教学楼面积y 百平方米，

建筑总面积为z 百平方米． z ＝ x ＋y ．

满足： 学生活动：学生合作交流，进行自主探究．

预案一：学生利用图形计算器的取点功能作出自由点，并度量其坐标，然后在所绘区域

内移动该点，并直接计算x ＋y 的值进行比较，容易猜想出使z 取得最大值的点的位置．

预案二：让学生思考使z 取某个特殊值（如60）时点的位置．部分学生容易想到：满足

条件的点的集合为直线x ＋y =60与所画区域的交集．可再取两个特殊值让学生思考，引导他们发现直线之间的平行关系，并思考z 的几何意义：把目标函数化成y x z

=-+1481000

141.881010x y x y x y +≤??≥??

?

≥?

?≥

?

的形式，这表示一组平行直线，而z表示的是直线的纵截距，通过平移直线，当直线

的纵截距最大时，z取最大值．

预案三：（教材解法）利用点到直线的距离公式进行转化，点到直线x + y =0的距离为：

+=．

d=，把它化成x y

因为区域内的点的横纵坐标都是正数，所以z x y

=+=．从而到直线x + y =0的距离最大的点就是使z取最大值的点．

说明：

（1）引导学生合作交流，主动寻求问题的解答；

（2）培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识；

（3）教师巡视观察，适当点拨；

（4）教师配合学生的探究结果，利用“ClassPad 300计算机模拟软件”及“几何画板”

进行动态演示．

三. 结合问题，介绍概念

结合前面两个实例，介绍线性规划的有关概念：

（1）目标函数（线性目标函数）；

（2）约束条件（线性约束条件）；

（3）线性规划问题；

（4）可行解、可行域、最优解．

说明：

（1）强调“目标函数”是涉及两个自变量的函数；

（2）总结解法时明确，涉及两个自变量的线性规划问题可以借助图形解决，但涉及更多自变量时不适用，但在中学阶段不要求．

四. 巩固知识，实际演练

问题二：食品配制

营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议:

每人至少需要从食物中获取0．120 kg的碳水化合物，

0．024kg的蛋白质，不超过0．032kg的脂肪．现有

两种食物A和B，每种食物每千克中所含成分及价格

如下表：

为满足上面的饮食要求，并且食物A 至少需0.5kg ，则两种食物如何搭配可以使花费最低？最低为多少元？

学生活动：在笔记本上独立解决．

设食物A 需要x kg ，食物B 需要y kg ，花费为z 元．则： z ＝ 6x ＋8y ． 满足：

说明：

（1）换个领域的问题，锻炼学生的类比能力；

（2）通过又一个实际问题的解决，帮助学生体会线性规划问题广泛的适用性，从而初步 掌握解决简单线性规划问题的一般方法． 问题三：

设变量x 、y 满足下列条件：

2

2343525x y x y x y

+≥??-≤??

+≤?5455865580.50

x y x y x y x y +≥??+≥??

+≤??≥?≥??0.1200.0960.120

0.0200.0320.024

0.0200.0200.032

0.5

0x y x y x y x y +≥??+≥??

+≤??≥?

≥??

分别求下列目标函数的最小值：

（1）z ＝y－x ；

（2）z ＝2x－3y ；

（3）z ＝x＋y ．

学生活动：

分组合作完成表格的填写．

说明：

（1）借助练习，落实知识的掌握；

（2）通过题目中呈现出的最优解的不同情况，给学生一个完整的、严谨的数学概念．五. 回顾历史，感受文化

“线性规划之父”——“丹齐克”“数学的战争”——“波斯湾战争”

说明：

通过对“线性规划”的历史及应用的大致介绍，使学生感受数学的文化价值．

六. 小结全课，概括升华

带领学生从知识与方法两个方面进行回顾与总结，指出：在知识方面，初步学习了解

决“简单线性规划”的一般方法；并且更重要的是通过解决问题的过程，体会“模型建立”、“数形结合”以及转化、类比等研究数学问题的一般方法． 七. 布置作业，设疑铺垫

作业：P94 — 练习1、2、3． 思考题：

已知：x 、y 满足条件：

求：z = x ＋3y 的最大值． 说明：

通过思考题中对变量必须为自然数的限制要求，引导学生思考对“整数规划”问题的

继续自主探究，为后面的内容做好铺垫．

《简单线性规划一》教案设计说明

写在前面的话

在准备本节课的过程中，新加坡--麻省理工学院联盟院士、新加坡国立大学企业管理学院决策科学系副教授、《亚太运筹学报》副主编孙捷的一段话引起了我的思考，他说：“在历史上，从来没有哪一种数学方法可以像线性规划一样，在实际生产生活中有着极其广泛的应用，为人类直接和间接地创造出如此巨额的财富，甚至对历史的进程产生影响”．因此我决定对简单线性规划部分的教学做一些尝试：通过实际问题创设情境，让学生体会到数学的应用价值，并通过借助信息技术主动探究问题的解决方法，进一步让学生体会研究数学问题的基本方法思想．下面针对本节课的整体设计做一些说明． 一．关于教学思路和内容的确定

本节课是在讲了二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域的基础上，简单线

性规划知识的第一节课．重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解，难点是线性规划的实际应用．在教育部制订的《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：“线性规划是优化的具体模型之一，教师

034241

,x y x y x x y ?-≤?

+≤??≥??∈?

N

应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题．”经过仔细研究教材，结合我校学生的实际情况，我制订了本节课的教学目标和由实际问题引入，学生自主探究的主要思路．二．关于教学目标的确定

根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识、能力和情感三个方面制订了教学目标．从知识层面上看，本节课与前面的内容联系紧密，是简单线性规划的第一节课，目的是让学生从实际问题出发建立数学模型，从中理解相关概念，并通过学生自主探究、教师总结点拨，初步掌握图解法．从能力层面上看，根据我校学生的实际情况，我确立了放手让学生利用图形计算器探究问题的教学策略，以培养学生体验、感受、掌握独立研究问题的能力为目标．并努力使学生在探究过程中，体会数学的严谨性、系统性，帮助学生建立严谨的科学态度，发展学生的创新意识和实践能力．同时，注意渗透数学的基本思想和方法．从情感态度层面上看，是想训练学生的探索精神，体会独立研究问题的乐趣和成就感，激发学习数学的兴趣．在教学过程中渗透数学文化，充分体会数学的文化价值．

三．教学过程的设计

根据教学内容，结合学生的具体情况，我采用了学生自主探究和教师启发引导相结合的教学方式．在整个的教学过程中让学生尽可能地动手、动脑，调动学生积极性，充分地参与学习的全过程．

[创设情境]

《普通高中数学课程标准》（实验）中要求学生能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题．经过仔细地考虑和研究，结合生活实际，我使用了“资金分配”和“食品配制”两个实际问题来创设情境，激发学生探究的兴趣．让学生体会数学与生活的紧密联系．

[合作探究]

问题提出后，教师不急于讲解，而是由学生合作解决，教师适当引导．这一环节中，列出“目标函数”，以及“图解法”的得出，都是学生可能碰到的“难题”．但我采取的是放手由学生去做，鼓励他们自己利用已有知识主动探究．同时，在探究过程中注重充分借助图形计算器和计算机辅助思维．

[类比深入、落实双基]

借助“问题二”、“问题三”，帮助学生巩固探究的结果，落实掌握．并在问题层层深入的过程中，涉及约束条件和目标函数的不同情况，让学生体会线性规划问题中最优解的几种不同可能性，使知识更加完整、严谨，落实知识的掌握与方法的理解．此外，在探究过程中，进一步训练学生分析问题、解决问题和总结归纳等能力．

[历史回顾]

在课的最后，我设计了一个“对线性规划历史背景简单介绍”的环节，并通过让学生课后查阅资料，

渗透数学文化，体现人文精神．让学生逐步了解数学学科与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值；开阔视野，探寻数学发展的历史轨迹，提高学生的文化素养，激发学生在后续学习中继续探究的兴趣．

[小结提升、后续铺垫]

这一环节，主要由学生完成．引导学生从知识与方法两个方面进行小结．培养学生及时总结，概括提升的能力．而思考题是针对“整数规划”的一个设计．目的是让学生在引起了认知冲突后，在课后也能继续独立探究、思考，不但为后面的教学埋下伏笔，也让学生养成不断思考研究的习惯，有利于他们的持续发展．

四．教学特点和效果分析

线性规划主要是解决日常生活中遇到的求最优解问题.有的题目背景远离学生的生活空间，不同程度的影响了学生的求知欲望.我作课的时间是6月初，当时四川的震情牵动全国亿万人的心.我以灾后重建为背景，编写了问题一，学生感到问题不空洞，数学就在我们身边.并且感到解决好这个问题，也是我们向灾区献爱心的一种表现，学生的求知欲望倍增.问题二也取材于学生的生活空间，现在我们有80％的学生在学校吃营养配餐.在绿色奥运，营养健康的口号下，问题二更体现线性规划的广泛应用，学生在学习过程中，一种亲切感油然而生.

技术的发展促进了学习方式的变革.在技术不普及的时候，学生学习这个内容只能单纯的听教师的讲解.现在学生可以自己动手操作，借助CASIO图形计算器可以画出由二元一次不等式组确定的平面区域，然后在限定区域内寻求最优解.学生通过自己的操作，对于问题的理解程度加深了，自我获得知识的成就感也会增加.

我在课堂上注重学生的主体参与，努力创设教师引导下的学生自主探究、合作交流的学习方式.通过课堂练习及课后作业，看到学生基本上能掌握利用图解法求解问题.课前制定的教学目标基本实现.

由于经验不足，肯定会有不当之处，欢迎各位专家老师提出建议，以更好地改进我的教学方法，提高教学质量．

北师大二附中数学组

王张平