同济大学高数试卷大一下学期期末考试

同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷

一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）

1、下列微分方程为一阶线性方程的是：【D 】

:A '1yy =；:B 'e 1y y +=；:C 2'y y y +=；:D 2'y y x =+。

2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=v v v ，且()

0a b c ??=v v v ，则k =【B 】 :1A ；:2B ；:3C ；:4D 。

3、若向量()1,2,a k =-v 在向量()2,1,2b =-v 上的投影为2-，则k =【C 】 :1A ；:2B ；:3C ；:4D 。

4、设e cos x x z x y y =+-，则z y

?=?【A 】 :A 2e sin x x y y -+；:B 21e sin x x y y -+；:C 21e sin x y y -+；:D 2e sin x x y y

-。 5、交换二次积分的次序：

()2220d ,d y y y f x y x =??【A 】

()4

02:d ,d x A x f x y y ??；()4

20:d ,d x B x f x y y ?；

()2220:d ,d x x C x f x y y ??；()20:d ,d x

D x f x y y ?。 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格）

6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =()12e cos sin x c x c x +.

7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-v v ，若,x a x b ⊥⊥v v v v ，且7x =v 。则向量x =v ()3,2,6±。

8、空间直线240329x y z x y z -+=??--=?在xoy 面上的投影直线方程为：

7990x y z -=??=?。

9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则2z x y ?=??()2"2f x y --。

三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出具体解题过程）

10、求微分方程：2d 1d y x y x

-=的通解。[2d d 1y x y x =+??()tan ln y x c ?=+]

11、一平面过原点及点()6,3,2-，且与另一平面428x y z -+=垂直，求平面方程。

[()()()6,3,24,1,24,4,6n =-?-=--v 2230x y z ?+-=]

12、已知函数(),z z x y =由()()ln 1sin z z xy =++所确定，求d z 。

[()()

()1cos d d d z xy z y x x y z +=+]

13、求函数()()22,4f x y x y x y =---的极值点。

[420420x y

f x f y =-=??=--=?22x y =???=-?,20,0,2;0A B C =-<==-?<,(2,2)-为极大值点] 14、计算二重积分：sin d d D

y I x x y x =??，其中D 由直线,0y x y ==和1x =所围。 [100d sin d x y I x x y x =??1200cos d x

y x x x ??=-???

??()1201cos1d x x =-?()11cos13=-] 15、计算二重积分：d d D I x x y =

??，其中(){}()222,,00D x y x y a y a =+≤≥>。 [π

2

002d cos d a I θρθρρ=???π3202cos d 3a θθ=?323

a =] 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出具体解题过程）

16、求微分方程：()

()21d 2cos d 0x y xy x x -+-=满足初始条件：01x y ==的特解。 [222cos '11x x y y x x +=--()21'cos x y x ???-=??,2sin 1x c y x +=-,1c =-,2sin 11

x y x -=-] 17、求函数：2z x y =+在椭圆2

212

x y +=上的最值。 [222(1)2x L x y y λ=+++-,222012022x y x y λλ+=??+=??+=?,41(,)33,41(,)33--,max min 3;3z z ==-] 18、球面2222x y z a ++=含在柱面()2220x y b b a +=<<内部分的面积恰为全球面积的 一半，求b 。

[2222

d x y b S x y +≤=

??(4πa a =22πa

=b ?=] 2009—2010学年第二学期《高等数学C 》(下)重修

一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）

1、微分方程'y y =的通解为：【C 】

:A e x y =；:B e x y c =+；:C e x y c =；:D e cx y =。

2、若向量()()1,2,3,2,,6a b k ==v v ，且a b ⊥v v

，则k =【D 】 :0A ；:4B ；:6C -；:10D -。

3、计算向量：()()

23a b a b -?+=v v v v 【B 】 ():5A a b ?v v ；():7B a b ?v v ；():5C b a ?v v ；()

:7D b a ?v v 。 4、设e ln xy x z y =+，则z x

?=?【A 】 :A 1e xy y x +；:B 1e xy y x -；:C 11e xy x y +-；:D e xy y y x

+。 5、二重积分：

()222213d d x y x y x y +≤+=??【A 】

:πA ；:2πB ；:3πC ；:4πD 。

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格）

6、微分方程"0y y -=的通解为y =12e e x x c c -+.

7、到平面1z =和到原点的距离相等的点的轨迹方程为：2221x y z ++=。

8、曲面：()

2222220a z x a y --=在点()(),,0a a a a ≠处的切平面方程为： 0x y z a --+=。

9、设函数(),y x z f x y =，其中函数(),f u v 可微，则z y ?=?112ln ''y x x y f xy f -?+。

三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出解题过程）

10、求微分方程：d 1d y y x x

=+的通解。 解：'1y y x -=1'y x x ??= ???

ln y x c x =+()ln y x x c =+ 11、已知三点()()()2,3,1,2,1,1,6,3,1A B C --，求点A 到直线BC 的距离。

解：()()0,2,2,4,2,0BA BC ==u u u v u u u v BA BC d BC

?=u u u v u u u v u u u v

=5=

12、已知函数(),z z x y =由e 3z z xy -+=所确定，求,z z x y

????。 解：令e 3z

F z xy =-+-,,e 1z x y z F y F x F ===-,1e 1e z z z y z x x y ??==?-?- 13、求函数22222(,)()2()f x y x y x y =+--的极值点。

解：22224()404()40x y f x x y x f y x y y ?=+-=??=++=??驻点为：()()()0,0,1,0,10-，

22221244,8,4124xx xy yy f x y f xy f x y =+-==++,有极小值点:()1,0和()1,0-

14

、计算积分：

22200d )d x x y y +?。 解：π

2cos 22

00d d I θθρρρ=???π4204cos d θθ=?3π4

= 15

、计算二重积分：

22d x y x x y +≤??。

解：I x y =?

10x =?12204(1)d t t t =-?815

= 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出解题过程）

16、求微分方程："'1y y +=的通解。

解：200,1λλλ+=?=-*y Ax =1A =12e x y c c x -=++

17、求抛物面22

z x y =+到平面10x y z +++=的最近距离。

解：令222(1)()L x y z x y z λ=+++++-

18、求由曲面：22z x =-与222z x y =+所围的立体体积。 解：(){}22,1xy D x y x y =

+≤ *()'2,10'

y xy y x yy -==+()22arctan ln 0y x y x ??++=???? *2'x y xy y +=

*()()3'321,00e 12x

y y x y y x ??=++=?=--?? *2

2'y y y x x ??=- ???

*'cot 3y x y +=-

*"4'5cos y y y x ++=

*()()231d d 0x y y x x x ++++= *e ln y

x x z y =，求z x

??。 *,x y u f y z ??= ???，求22u y ??。 *设()z x yf z =+，其中f 可微，且()1'0yf z -≠，求d z 。

*求曲线2223023540

x y z x x y z ?++-=?-+-=?在点()1,1,1处的切线。

*()0

211d ,d y y f x y x --??