2014年广东省中考数学试卷答案与解析.(优选.)

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2014年广东省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2014?汕头）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（）

A．1B．0C．2D．﹣3

考点：有理数大小比较．

分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案．

解答：解：﹣3＜0＜1＜2，

故选：C．

点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．

2．（3分）（2014?汕头）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．

考点：中心对称图形；轴对称图形．

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答：解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故A选项错误；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故B选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D选项错误．

故选：C．

点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．（3分）（2014?汕头）计算3a﹣2a的结果正确的是（）

A．1B．a C．﹣a D．﹣5a

考点：合并同类项．

分析：根据合并同类项的法则，可得答案．

解答：解：原式=（3﹣2）a=a，

故选：B．

点评：本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．

4．（3分）（2014?汕头）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（）

A．x（x2﹣9）B．x（x﹣3）2C．x（x+3）2D．x（x+3）（x﹣3）

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

专题：因式分解．

分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答：解：x3﹣9x，

=x（x2﹣9），

=x（x+3）（x﹣3）．

故选：D．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

5．（3分）（2014?汕头）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．10 B．9C．8D．7

考点：多边形内角与外角．

分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°，列式求解即可．

解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意得，

（n﹣2）?180°=900°，

解得n=7．

故选：D．

点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．

6．（3分）（2014?汕头）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）

A．B．C．D．

考点：概率公式．

分析：直接根据概率公式求解即可．

解答：解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，

∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．

故选：B．

点评：本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．

7．（3分）（2014?汕头）如图，?ABCD中，下列说法一定正确的是（）

A．A C=BD B．A C⊥BD C．A B=CD D．A B=BC

考点：平行四边形的性质．

分析：根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．

解答：解：A、AC≠BD，故A选项错误；

B、AC不垂直于BD，故B选项错误；

C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故C选项正确；

D、AB≠BC，故D选项错误；

故选：C．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．

8．（3分）（2014?汕头）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）

A．B．C．D．

考点：根的判别式．

专题：判别式法．

分析：先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．

解答：解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，

解得m＜．

故选：B．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

9．（3分）（2014?汕头）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．

专题：分类讨论．

分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．

解答：解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；

②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．

故这个等腰三角形的周长是17．

故选：A．

点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．

10．（3分）（2014?汕头）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）

A．函数有最小值B．

对称轴是直线x=

C．

D．当﹣1＜x＜2时，y＞0

当x＜，y随x的增大而减小

考点：二次函数的性质．

专题：压轴题；数形结合．

分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；

根据图形直接判断B；

根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；

根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．

解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；

B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；

C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；

D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．

故选：D．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）（2014?汕头）计算：2x3÷x=2x2．

考点：整式的除法．

专题：计算题．

分析：直接利用整式的除法运算法则求出即可．

解答：解：2x3÷x=2x2．

故答案为：2x2．

点评：此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．

12．（4分）（2014?汕头）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为 6.18×108．

考点：科学记数法—表示较大的数．

专题：常规题型．

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：解：将618 000 000用科学记数法表示为：6.18×108．

故答案为：6.18×108．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

13．（4分）（2014?汕头）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=3．

考点：三角形中位线定理．

分析：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．

解答：解：∵D、E是AB、AC中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴ED=BC=3．

故答案为：3．

点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．

14．（4分）（2014?汕头）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3．

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：

作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，然后在Rt△AOC 中利用勾股定理计算OC即可．

解答：解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，

∵OC⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=5，

∴OC===3，

即圆心O到AB的距离为3．

故答案为：3．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．

15．（4分）（2014?汕头）不等式组的解集是1＜x＜4．

考点：解一元一次不等式组．

专题：计算题．

分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

解答：

解：，

由①得：x＜4；

由②得：x＞1，

则不等式组的解集为1＜x＜4．

故答案为：1＜x＜4．

点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（4分）（2014?汕头）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于﹣1．

考点：旋转的性质；等腰直角三角形．

专题：压轴题．

分析：

根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，

AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．

解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，

∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，

∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，

∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．

故答案为：﹣1．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17．（6分）（2014?汕头）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

专题：计算题．

分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答：解：原式=3+4+1﹣2

=6．

点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

18．（6分）（2014?汕头）先化简，再求值：（+）?（x2﹣1），其中x=．

考点：分式的化简求值．

分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．

解答：

解：原式=?（x2﹣1）

=2x+2+x﹣1

=3x+1，

当x=时，原式=．

点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

19．（6分）（2014?汕头）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

考点：作图—基本作图；平行线的判定．

专题：作图题．

分析：（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；

（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．

解答：解：（1）如图所示：

（2）DE∥AC

∵DE平分∠BDC，

∴∠BDE=∠BDC，

∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，

∴∠A=∠BDC，

∴∠A=∠BDE，

∴DE∥AC．

点评：此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20．（7分）（2014?汕头）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A 处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题：几何图形问题．

分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．

解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，

∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，

∴∠A=∠ACB，

∴BC=AB=10（米）．

在直角△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．

答：这棵树CD的高度为8.7米．

点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

21．（7分）（2014?汕头）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．

（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．

（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？

考点：分式方程的应用．

专题：销售问题．

分析：

（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；

（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．

解答：解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：

=9%，

解得：x=1200，

经检验：x=1200是原方程的解．

答：这款空调每台的进价为1200元；

（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．

点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．

22．（7分）（2014?汕头）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有1000名；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

专题：图表型．

分析：（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；

（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；

（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．

解答：解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；

故答案为：1000；

（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，

补图如下；

（3）18000×=3600（人）．

答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23．（9分）（2014?广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反

比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．

（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；

（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

专题：代数几何综合题．

分析：（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得函数解析式；

（3）根据三角形面积相等，可得答案．

解答：解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，

当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；

（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，

y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则

，

解得

一次函数的解析式为y=x+，

反比例函数y=图象过点（﹣1，2），

m=﹣1×2=﹣2；

（3）连接PC、PD，如图，

设P（x，x+）

由△PCA和△PDB面积相等得

××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），

x=﹣，y=x+=，

∴P点坐标是（﹣，）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．

24．（9分）（2014?汕头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB 于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求证：OD=OE；

（3）求证：PF是⊙O的切线．

考点：切线的判定；弧长的计算．

专题：几何综合题；压轴题．

分析：

（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；

（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．

解答：（1）解：∵AC=12，

∴CO=6，

∴==2π；

答：劣弧PC的长为：2π．

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中，

，

∴△POE≌△AOD（AAS），

∴OD=EO；

（3）证明：如图，连接AP，PC，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA，

由（2）得OD=EO，

∴∠ODE=∠OED，

又∵∠AOP=∠EOD，

∴∠OPA=∠ODE，

∴AP∥DF，

∵AC是直径，

∴∠APC=90°，

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF，

又∵DP∥BF，

∴∠ODE=∠EFC，

∵∠OED=∠CEF，

∴∠CEF=∠EFC，

∴CE=CF，

∴PC为EF的中垂线，

∴∠EPQ=∠QPF，

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP，

∴∠QPF=∠EAP，

∴∠QPF=∠OPA，

∵∠OPA+∠OPC=90°，

∴∠QPF+∠OPC=90°，

∴OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切线．

点评：本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．

25．（9分）（2014?汕头）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD

的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD 于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

考点：相似形综合题．

专题：几何综合题；压轴题；动点型．

分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；

（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；

（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．

解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，

∴EF为AD的垂直平分线，

∴AE=DE，AF=DF．

∵AB=AC，AD⊥BC于点D，

∴AD⊥BC，∠B=∠C．

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，即，解得：EF=10﹣t．

S△PEF=EF?DH=（10﹣t）?2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10（0＜t＜），∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm．

（3）解：存在．理由如下：

①若点E为直角顶点，如答图3①所示，

此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．

∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；

②若点F为直角顶点，如答图3②所示，

此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．

∵PF∥AD，∴，即，解得t=；

③若点P为直角顶点，如答图3③所示．

过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，

EM∥FN∥AD．

∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，

∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．

在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．

∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，

∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．

在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，

即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）

化简得：t2﹣35t=0，

解得：t=或t=0（舍去）

∴t=．

综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．

点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；

第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．

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