导数的几何意义以及应用

考点9 导数的几何意义以及应用

热点一

导数的几何意义

1.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知曲线

4

2

1y x

ax

在点-12a ，处切线的斜率为

8，=a （）

[来源:]

（A ）9

（B ）6（C ）-9（D ）-6

2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】若曲线ln y

kx

x 在点1,k 处的切线平行于x 轴,

则k

______.

3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若曲线(

)y x R 在点（1，2）处的切线经过坐标

原点，则

= .

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试

(江西卷)理】设函数()f x 在(0,

)内可导，且()

,x

x

f e x e 则

(1)f =__________.

5.（2012年高考（课标文））曲线

(3ln 1)y x x 在点(1,1)处的切线方程为________

【方法总结】

求曲线的切线方程有两种情况，一是求曲线

y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线方程，其方法如下：

(1)求出函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处切线的斜率．(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为

y ＝y 0＋f ′（

x 0)(x －x 0)．如果曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线平行于y 轴，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.

二是求曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线方程，其方法如下：(1)设切点A(x A ，f(x A ))，求切线的斜率k ＝f ′（x A )，写出切线方程．(2)把P(x 0，y 0)的坐标代入切线方程，建立关于

x A 的方程，解得x A 的值，进而写出切线方程．

热点二导数的几何意义的应用

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数)

(ln )

(R a x a x x f （1）当2a

时，求曲线)(x f y

在点))1(,1(f A 处的切线方程；

（2）求函数)(x f 的极值.

8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知函数()e ,x

f x x

R .

(Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2

(0)y mx m

公共点的个数.

(Ⅲ) 设a

()

()

2f a f b 与

()()f b f a b

a

的大小, 并说明理由.

9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷）理】已知R a

，函数.

3333)

(2

3

a ax x x

x f （Ⅰ）求曲线)(x f y 在点))1(,1(f 处的切线方程；

（Ⅱ）当]2,0[x

时，求|)(|x f 的最大值.

10.【2013年全国高考新课标（

I ）理科】已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，g(x)＝e x

(cx ＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y ＝g(x)

都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x+2.

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值

（Ⅱ）若x ≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k 的取值范围. 11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】设l 为曲线C ：ln x y x

在点(1，0)处的切线.

(I)求l 的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方.

12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知函数()1

x

a f x x e

（,a R e 为自然对数

的底数）（Ⅰ）若曲线()y

f x 在点1,()f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值；

（Ⅱ）求函数

()f x 的极值；

（Ⅲ）当1a

时，若直线:1l y

kx 与曲线()y

f x 没有公共点，求k 的最大值.

13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】

已知函数()

e ,x

f x x

R .

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112

y x x 有唯一公共点.

(Ⅲ) 设a

f

与

()()f b f a b

a

的大小, 并说明理由.

14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】知a

R ，函数

3

2

()23(1)6f x x

a x

ax

（Ⅰ）若

1a

，求曲线()y

f x 在点(2,(2))f 处的切线方程

.

（Ⅱ)若||1a ，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值

.

[来源:]

15.【2013年全国高考新课标（I ）文科】

已知函数

2

()()

4x

f x e ax b x

x ，曲线()y f x 在点(0,(0))f 处切线方程为44y x .

[来源:]

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论

()f x 的单调性，并求()f x 的极大值.