高等数学不定积分总结

第5章 不定积分

一、不定积分的概念和性质

若()()F x f x '=，则()d ()f x x F x C =+?， C 为积分常数不可丢！

性质1()d ()f x x f x '

??=???或 d ()d ()d f x x f x x =?或()d ()d f x x f x dx

??=??? 性质2()d ()F x x F x C '=+?或d ()()F x F x C =+?

性质3[()()]d f x g x x αβ±?()d ()d f x x g x x α

β=±?? 或[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x +=

+???

；()d ()d kf x x k f x x =??. 二、基本积分公式或直接积分法

基本积分公式 d k x =?k x C

+d x x μ=?111x C μμ+++(μ为常数且1μ≠-) 1d x x =?ln x C + e d x x =?e x C +d x

a x =?ln x

a C a + cos d x x =?sin x C +sin d x x =?cos x C -+

2d cos x x =?2sec d x x =?tan x C +2d sin x x =?2csc d x x =?cot x C -+

sec tan d x x x =?sec x C +csc cot d x x x =?csc x C -+

2d 1x x =+?arctan x C +（arccot x C -+）=arcsin x C +（arccos x C -+）

直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。

三、换元积分法：

1.第一类换元法（凑微分法）

()()()d (())()d (())d ()

()d [()]u x u x g x x f x x x f x x f u u F u C ??????=='====+????.

注 (1)常见凑微分：

2111(), (),2), (ln ||)

2dx d ax c xdx d x c d c dx d x c a x =+=+==+

21(tan )(cot (arcsin )(cos )1+dx d arc x d arc x d x d arc x x ==-==-

(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：

若被积函数为一个函数，比如：()22d 1d x x e x e x =???， 若被积函数多于两个，比如：4sin cos d 1sin x x x x +?，要分成两类；

(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成()x ?'；

(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；

2.第二类换元法

[]11()()()()d (())()d (())()d ()x t t x t x f x x f t t t f t t t G t C ???????--===??''===+????? 常用代换类型:

(1) 对被积函数直接去根号;

(2) 到代换1x t

=; (3) 三角代换去根号

tan x a t =

sec x a t =、

sin (cos )x a t or x a t ==

(d f x x ?

，t =

(f x x ?，sec x a t =

(f x x ?

，sin x a t

=(f x x ?，tan x a t = ()d x f a x ?，x t a

=(f x x ?

，t =

三、分部积分法：d d u v x u v '==??d d uv v u uv u v x '-=-??.

注 (1)u 的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u ，后面的为v ';

(2)d u v x '?要比d u v x '?

容易计算；

(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如： arcsin 1x dx ??

，?

（t =； (4)多次使用分部积分法： u

u u v v v '''→'

→?

求导积分