李贤平 《概率论与数理统计 第二章》答案

第2章 条件概率与统计独立性

1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？

2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

5、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。

6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？

7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？

9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。

10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。

11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n p

ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。

12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；

（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。

13、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格

品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。

16、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,, 皆与C 独立。

17、若A ，B ，C 相互独立，则C B A ,,亦相互独立。

18、证明：事件n A A A ,,,21 相互独立的充要条件是下列2n 个等式成立：

)ˆ()ˆ()ˆ()ˆˆˆ(2121n

n A P A P A P A A A P =， 其中i

A ˆ取i A 或i A 。 19、若A 与

B 独立，证明},,,{ΩA A φ中任何一个事件与},,,{ΩB B φ中任何一个事件是相

互独立的。

20、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，

试求（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。

21、设n A A A ,,,21 相互独立，而k k p A P =)(，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）

诸事件中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。

22、当元件k 或元件1k 或2k 都发生故障时电路断开，元件k 发生故障的概率等于0.3，而元

件k1，k2发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。

23、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。

24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概

率等于0.8，第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。

26、掷硬币出现正面的概率为p ，掷了n 次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至

少出现两次正面。

27、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场

比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？

28、甲，乙均有n 个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。

29、在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p ，求在n 次独立试验中事件A 出现奇数次的

概率。

30、在贝努里试验中，若A 出现的概率为p ，求在出现m 次A 之前出现k 次A 的概率。

31、甲袋中有1-N 只白球和一只黑球，乙袋中有N 只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出

一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n 次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论∞→n 时的情况。

33、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10

个或更多个终端同时操作的概率。

34、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的

概率。

37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两面三刀

个以上的人生于元旦的概率是多少？

38、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一

页上至少有三个错字的概率。

41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入

5只试管中，每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。

42、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2

分钟内有多于一车的概率。

43、若每蚕产n 个卵的概率服从普阿松分布，参数为λ，而每个卵变为成虫的概率为p ，且

各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k 只小蚕的概率。

47、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查

了100件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？

解答

1、解：自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则

42)(,52)(121==A A P A P ，2

1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。