李贤平《概率论与数理统计第二章》答案

第2章条件概率与统计独立性

1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？

2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

5、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。

6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？

7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？

9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。

10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。

11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p

ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求

证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。

12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；

（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。

13、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格

品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。

16、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,, 皆与C 独立。

17、若A ，B ，C 相互独立，则C B A ,,亦相互独立。

18、证明：事件n A A A ,,,21 相互独立的充要条件是下列2n 个等式成立：

)?()?()?()???(2121n

n A P A P A P A A A P =，其中i

A ?取i A 或i A 。 19、若A 与

B 独立，证明},,,{ΩA A φ中任何一个事件与},,,{ΩB B φ中任何一个事件是相

互独立的。

20、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，

试求（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。

21、设n A A A ,,,21 相互独立，而k k p A P =)(，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）

诸事件中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。

22、当元件k 或元件1k 或2k 都发生故障时电路断开，元件k 发生故障的概率等于0.3，而元

件k1，k2发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。

23、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。

24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概

率等于0.8，第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。

26、掷硬币出现正面的概率为p ，掷了n 次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至

少出现两次正面。

27、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场

比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？

28、甲，乙均有n 个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。

29、在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p ，求在n 次独立试验中事件A 出现奇数次的

概率。

30、在贝努里试验中，若A 出现的概率为p ，求在出现m 次A 之前出现k 次A 的概率。

31、甲袋中有1-N 只白球和一只黑球，乙袋中有N 只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出

一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n 次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论∞→n 时的情况。

33、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10

个或更多个终端同时操作的概率。

34、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的

概率。

37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两面三刀

个以上的人生于元旦的概率是多少？

38、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一

页上至少有三个错字的概率。

41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入

5只试管中，每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。

42、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2

分钟内有多于一车的概率。

43、若每蚕产n 个卵的概率服从普阿松分布，参数为λ，而每个卵变为成虫的概率为p ，且

各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k 只小蚕的概率。

47、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查

了100件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？

解答

1、解：自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则

42)(,52)(121==A A P A P ，2

1)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。

所以题中欲求的概率为

()()()()

12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =30

1121314252=????=

2、解：总场合数为23=8。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有

利场合数为7，AB 的有利场合为6，所以题中欲求的概率P （B|A ）为 ()7

68/78/6)()(===A P AB P A B P .

3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两

件都是废品}，显然B A ?，则 ()

2211/)(m m m M m C C C C A P +=- 22/)(M m C C B P =，题中欲求的概率为

)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==1

21/)(/221122---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ?，则

()

,/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 211/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为

)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==12/)(/2112211-+=+=---m M m C C C C C C C M

m M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=())

1()12(/2211---=+-M M m M m C C C C M m m M m . 5、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取

出一球后，丙取出一球为白球}。则 )

()(b a a A P +=

甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得 )

|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=

b a b b a b b a a b a b b a b +=-+?++-+-?+=111 甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得

)|()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=

1)1)((22)1)(()1(-+-?-+++-+-?-++-=b a b b a b a ab b a b b a b a b b 2

)1)(()1(21)1)((-+?-++-+-+-?-+++b a b b a b a a a b a b b a b a ab b

a b b a b a b a b a b a b +=-+-++-+-+=)2)(1)(()2)(1(. 6、解：设A 1={从甲袋中取出2只白球}，A 2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A 3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得

)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++=

2222222111222222+++++++++++++=βαβααβαC C C c C C C C c c c C C b a a b b a b a B A a a .

7、解：A 1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，A i ={从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第1-i 袋中取一球放入第i 袋中，最后从第i 袋中取一球是黑球}，N i ,,1 =。则

)

()(,)(11b a b A P b a a A P +=+=. 一般设)()(b a a A P k +=，则)

()(b a b A P k +=，得 )()()|()()|()(111b a a A P A A P A P A A P A P k k k k k k k +=

+=+++. 由数学归纳法得

)

()(b a a A P N +=.

9、解：设A i ={第i 回出正面}，记)(i i A P p =，则由题意利用全概率公式得

)()|()()|()(111i i i i i i i A P A A P A P A A P A P ++++=

)1()12()1)(1(111p p p p p pp -+-=--+=。

已知c p i =，依次令1,,2,1 --=n n i 可得递推关系式

),1()12(1p p p P n n -+-=- ,),1()12(21 p p p P n n -+-=--

).1()12()1()12(12p c p p p p P -+-=-+-=

解得

)12(])12()12()12(1)[1(12

2---+-++-+-+-=n n n p c p p p p P 当1≠p 时利用等比数列求和公式得

)12()12(1)12(1)1(---+-----=n n n p c p p p p .)12()12(21

2111---+--=n n p c p

（*）

（1）若1=p ，则C p C p n n n =≡∞→lim ,；

（2）若0=p ，则当12-=k n 时，c p n =；当k n 2=时，c p n -=1。

若21=

c ，则21lim ,21=≡∞→n n n p p 若12

1≠c ，则n n p c c ∞→-≠lim ,1不存在。（3）若10<

1)12()12(2121lim lim 11=??????-+--=--∞→∞→n n n n n p c p p

10、解：令i i i C B A ,,分别表示第i 次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事

件，则由全概率公式得

)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C A P C P B A P B P A A P A P A P p +++++++==

n n n n q r q p 4

10410=?++?=， )|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C B P C P B B P B P A B P A P B P q +++++++==

11211n n n n n n r q p r q p ++=?++?=， )|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C C P C P B C P B P A C P A P C P r +++++++==

n n n n q r q p 4

10410=?++?=. 这里有11++=n n r p ，又1111=+++++n n n r q p ，所以1121++-=n n p q ，同理有n n p q 21-=，再由n n q p 411=+得)21(4

11n n p p -=+。所以可得递推关系式为 ?????-=-==++++1

11121)21(41n n n n n p q p p r ，初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即1,0000===q r p ，由递推关系式得 n n n n p p p r 2141)21(4111-=-==++ =+-=--=--114

18141)2141(2141n n p p

??? ??--??????????? ??--=-+-++-=+++++211211412)1(2)1(212111012232n n n n n p

2112131)1(6

121)1(161+++??? ????-+=??????????? ???--=n n n n ， 11112131)1(3221++++??

? ????-+=-=n n n n p q . .32lim ,61lim lim ===∞→∞

→∞→n n n n n n q r p

11、解：设A n ={家庭中有n 个孩子}，n=0,1,2,…，B={家庭中有k 个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布)2

1(=p 得 .212121)|(n

n k n k k

n n C C A B P ??? ??=??? ????? ??=- 由全概率公式得

∑∑∞=∞=??? ??==k

n n k n n k n n n C ap A B P A P B P 21)|()()(∑∞=++??? ??=01112i k k p C a （其中k n i -=） ∑∞=+??? ????

? ??=011122i k k p C p a .)

2(22121`1+---=??? ??-??? ??=k k k k p ap p p a

12、解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。B AB B A =?,，由1)

2(0<-

1)(2()

2(1)2(22)2(2)(11p p ap p p p p p a p ap A P k k k

--=---?-=-=∑∞=+

222221)1()2()

2(1)2(22)2(2)(p p ap p p p p p a p ap B P k k k

--=---?-=-=∑∞=+, p

p A P B P A P AB P A B P -===

2)()()()()|(. （2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n 个小孩且都是男孩，n 是任意正整数}，则

∑∞=??? ??+--=12111)(a n

n ap p ap C P )2)(1(322112

12112p p p ap p p ap p ap p ap

p ap --+--=-+--=-+--= A 1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则

ap ap A P 2

121)(1=?=，且C A ?1，所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为

)()()()()|(111C P A P C P C A P C A P ==)

32(2)2)(1()

2)(1(322122p ap p p p ap p p p ap p ap +----=--+--=.

13、解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。已知98.0)|(=A B P ，

96.0)(05.0)|(==A P A B P ，，求)|(B A P 。由贝叶斯公式得

)

|()()|()()|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P +== 9979.09428.09408.005.004.098.096.098.096.0==?+??=

16、证：（1）)())((BC AC P C B A P =)()()(ABC P BC P AC P -+=

)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=

)()()]()()()[(B A P C P AB P B P A P C P =-+=，

∴B A 与C 独立。

（2）)()()()()()(C P AB P C P B P A P ABC P ==

∴AB 与C 独立。

（3）))(()())((B AC P C B A P C B A P -Ω==-)()(ABC P AC P -=

)()()()()(C P B P A P C P A P -=

)()()]()()[(B A P C P AB P A P C P -=-=，

∴B A -与C 独立。

17、证：)(1)()(B A P B A P B A P -==)])()([1PAB B P A P -+-=

))(1))((1()()()()(1B P A P B P A P B P A P --=+--=

)()(B P A P =，

同理可证 )()()(C P A P C A P =,

)()()(C P B P C B P =.

又有

)(1)()(C B A P C B A P C B A P -==

[])()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-=

++++---=)()()()()()()()()(1C P B P C P A P B P A P C P B P A P

)()()(C P B P A P -

))(1))((1))((1(C P B P A P ---=)()()(C P B P A P =，所以C B A ,,相互独立。

18、证：必要性。事件n A A A ,,,21 相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前

连续m 个集i

A ?取i A 的形式。当1=m 时， )()()()(11221n n n n A A P A A P A A P A A A P --=

)()()()(12n n A p A P A P A P -=)()()(21n A P A P A P =。

设当k m =时有

)()()()(1111n k k n k k A A P A P A P A A A A P ++=,

则当1+=k m 时

)()()(1121211n k k n k k n k k A A A A P A A A A P A A A A P ++++-=

)

()()()()()()()(1121n k k n k k A P A P A P A P A P A P A P A P ++-=

)()())(1)(()(211n k k k A P A P A P A P A P ++-=

)()()()()(211n k k k A P A P A P A P A P ++=

从而有下列2n 式成立：

)?()?()?()???(2121n n A P A P A P A A A P =,

其中i A ?取i A 或i A 。

充分性。设题中条件成立，则

)()()(11n n A P A P A A P =,

(1) )()()()(1111n n n n A P A P A P A A A P --= .

(2) ∵ φ=--n n n n A A A A A A 1111 ,

∴ )()(111111n n n n n A A A A A A P A A P ---= .

(1)+(2)得 )()()(1111--=n n A P A P A A P 。

(3) 同理有

)()()()()(121121n n n n n n A P A P A P A P A A A A P ----= ,

)()()()()(121121n n n n n n A P A P A P A P A A A A P ----=

两式相加得

)()()()(121121----=n n n n A P A P A P A A A P .

（4）

(3)+(4)得

)()()()(22121--=n n A P A P A P A A P 。

同类似方法可证得独立性定义中12+-n n 个式子，

∴ n A A ,,1 相互独立。

19、证：),()(00)()(φφφφφP P P P =?==

),()(1)(),()(0)(ΩΩ==ΩΩΩ==ΩP P P P P P φφ

),()()()(B P P B P B P Ω==Ω

),()()()(A P P A P A P Ω==Ω

)()()(B P A P B A P =

)()()()()()()(B P A P A P AB P A P AB A P B A P -=-=-=

)()())(1)((B P A P B P A P =-=，

同理可得 )()()(B P A P B A P =。证毕。

20、解：P{三次射击恰击中目标一次}7.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0--+--+--=

36.0=

P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次}91.0)7.01)(5.01)(4.01(1=----=

21、解：（1）P{所有的事件全不发生}}{1n A A P =∏=-==n k k n p

A P A P 11)1()()( 。

（2）P{至少发生其一})(1n A A P =

∏=--=-=n

k n n n p A A P A A P 1

11)1(1)(1)( 。

（3）P{恰好发生其一}+---+--=)1()1()1()1()1(32121n n p p p p p p p

n n p p p )1()1(11---++

∑∑∏=≥>≥=--++-=n i i j n n

i i n j i i p n p p p 1111)1(2

。

22、解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记0A ={元件k 发生故障}，1A ={元件1

k 发生故障}，2A ={元件2k 发生故障}。则

P{电路断开})()()()(210210210A A A P A A P A P A A A P -+==

328.02.02.03.02.02.03.0=??-?+=。

23、解：以k A 表事件“A 于第k 次试验中出现”，ε=)(k A P ，由试验的独立性得，前n 次

试验中A 都不出现的概率为

)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =n )1(ε-=。

于是前n 次试验中，A 至少发生一次的概率为

)(1)1(1)(121∞→→--=-n A A A P n n ε 。

这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A 至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而可看成是必然要发生的。

24、解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得

2509.07.08.0}{23=?=所有零件均为一级品P 。

26、解：利用二项分布得 n p n P P )1(1}{1}{--=-=次全部出现反面至少出现一次正面。

1)1()1(1}{-----=n n n p p C p P 至少出现两次正面1)1()1(1-----=n n p np p 。

27、解：（1）设A ，B ，C 分别表示每局比赛中甲，乙丙获胜的事件，这是一个

1)()()(===C P B P A P 的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为

2003313131!0!1!2!3313131!0!0!3!3??

? ????? ????? ??+??? ????? ????? ??=p 。

28、解：利用两个的二项分布，得欲副省长的概率为 ∑==n

i i ，i P p 0}{次正面乙掷出次正面甲掷出

11021212121--=??? ????? ?????? ????? ??=∑n i i n n i n i i n C C ∑=??? ??=??? ??=n i n

n n i n n C C 0222221)(21。

29、解：事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则

++=-22200n n n n q p C q p C a ，

++=--33311n n n n q p C q p C b 。

利用n

n p q b a q p b a )(,1)(-=-=+=+，可解得事件A 出现奇数次的概率为 []

n n p q p b )21(2121)(121--=--=。顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2

121-+=

。 30、解：事件“在出现m 次A 之前出现k 次A”，相当于事件“在前1-+m k 次试验中出现k

次A ，1-m 次A ，而第k m +次出现A ”，故所求的概率为

m k k m k m k k m k q p C q q p C 111-+--+=?

注：对事件“在出现m 次A 之前出现k 次A”，若允许在出现m 次A 之前也可以出现1+k 次A ，2+k 次A 等，这就说不通。所以，事件“在出现m 次A 之前出现k 次A”的等价事件，是“在出现m 次A 之前恰出现k 次A”。而对事件“在出现m 次A 之前出现k 次A 之前”（记为B ）就不一样，即使在出现m 次A 之前出现了1+k 次A ，2+k 次A 等，也可以说事件B 发生，所以事件B 是如下诸事件的并事件：“在出现m 次A 之前恰出现i 次A”， ,1,+=k k i 。

31、解：设=n A {经n 次试验后，黑球出现在甲袋中}，=n A {经n 次试验后，黑球出现在

乙袋中}，=n C {第n 次从黑球所在的袋中取出一个白球}。记),(n n A P p = ,2,1,0,1)(=-==n p A P c n n n 。当1≥n 时，由全概率公式可得递推关系式：

)()|(_)()|(1111----=n n n n n n n A P A A P A P A A P p

)()|()()|(1111----+=n n n n n n A P A C P A P A C P

N q N N p n n 1111?+-?=--)1(1111---+-=n n p N

p N N , 即 )1(121≥+-=-n N p N N p n n 。

初始条件10=p ，由递推关系式并利用等比级数求和公式得

n n n N N N N N N N N N p ??? ??-+??

? ??-++-?+=-2212111 n n N N N N N N N ??

? ??-+??? ??--??????????? ??--=221211

n N N ??? ??-+=22121。若1=N ，则12+=k n 时0=p ，当k n 2=时1=n p 。

若2=N ，则对任何n 有2

1=n p 。

若2>N ，则21l i m =∞→n n p （N 越大，收敛速度越慢）。

33、解：P={有10个或更多个终端同时操作}=P{有10个或不足10个终端不在操作}

∑=-==10

020209829.0)7.0()3.0(j j j j C 。

34、解：利用普阿松逼近定理计算5001.05000=?=λ，则打中两弹或两终以上的概率为

001.0)999.0(5000)999.0(149995000?--=p 9596

.05155=--≈--e e

37、解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用

365

1-p 的二项分布得欲求的概率为 1502503651136511-??? ??-??? ??-=∑i i C p

00037.0365364)492536450364(150

2=?+?+-=。 38、解：每个错字出现在每页上的概率为5001=

p ，500个错字可看成做500次努里试验，利用普阿松逼近定理计算，1500

1500=?=λ，得 P{某页上至少有三个错字}=-11-P{某页上至多有两个错字}

∑=-??? ??-??? ??-=20150015005001150011i i C

0803.0)21(1111=++-≈---e e e

41、解：每一毫升平均含一个细菌，每2毫升含2个，所以每只试管中含有细菌数服从2

=λ的普阿松分布。由此可得

P{5个试管中都有细菌}4833.0)1(52=-=-e ；

P{至少有三个试管中有细菌}∑=---=-=5

25221

9800.0)()1(i i i e e C .

计算时利用了21--=e p 的二项分布。

42、解：设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从λ的普阿松分布，则

P{1分钟内无车}20201.ln ,.e i -===-λλ611.=

由此得，2分钟内通过的汽车数服从2232.i =?=λλ的普阿松分布，从而2分钟内多于一车的概率为

83102231223223.e .e p ..=?--=--.

43、解：若蚕产i 个卵，则这i 个卵变为成虫数服从概率为i n ,p =的二项分布，所以

P{蚕养出n 只小蚕}k k k i k i i p p C e i --

∞=-=∑1)1(!λλ)k i m -=（令

λλ

λλ-∞=+-∑=-=e p k p m k e p k M m m k k )(!

1)1(!!0

李贤平《概率论与数理统计》标准答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

第5章极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2 k k P X =±= ；（2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-；（3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章随机事件及其概率一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则（） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有（） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件