人教版九年级上册数学 几何模型压轴题专题练习(解析版)

人教版九年级上册数学几何模型压轴题专题练习（解析版）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，

AP＝1

3

AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，

连接PC，且ABE为等边三角形．

（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．

（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为

93，求线段AC的长．

【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）

7 7

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：（1）∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，AB＝BE，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，

∴∠CBP＝60°，BC＝BP，

∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，

即∠ABP＝∠EBC，

∴△ABP≌△EBC（SAS），

∴AP＝EC；

故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；

（2）成立，理由如下，

∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，AB＝BE，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，

∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，

∴△ABP≌△EBC（SAS），

∴AP＝EC；

（3）过点C作CD⊥m于D，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，

∴3

2

93

∴PC＝3，

设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，

∵m∥n，

∴∠CAD＝∠AEB＝60°，

∴AD＝1

2

AC＝t，CD33，

∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，

∴t＝37

7

（负值舍去），

∴AC＝2t 67

．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得

解．

2．已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝5，20

3

AD =，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．

（1）求AE 和BE 的长；

（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，求出相应的m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的

ABF 为A BF ''，在旋转过程中，设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时DQ 的长．

【答案】（1）4；3 （2）3或163 （3）2512525310103243

-、、103 【解析】 【分析】

（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD 的长，由等面积法求解AE ，由勾股定理求解

BE 即可，

（2）利用对称与平移的性质得到：AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．当点F′落在AB 上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而可得答案，

（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利

用勾股定理求解'

,,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点

A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案． 【详解】

解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，203

AD =

， 由勾股定理得：2

22025

533BD ??=+= ???

．

11

,22

ABD

S

BD AE AB AD =

?=?．

25

3

20

5

3 4.

AB AD

AE

BD

?

?

∴===

在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，

由勾股定理得：BE＝3．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：

由对称的性质可知，∠1＝∠2．

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．

①当点F′落在AB上时，

∵AB∥A′B′，

∴∠3＝∠4，

∴∠3＝∠2，

∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；

②当点F′落在AD上时，

∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，

∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，

,

AB AD

⊥

∴A′B′⊥AD，

'''',

B F D B DF

∴∠=∠

∴△B′F′D为等腰三角形，

∴B′D＝B′F′＝3，

2516

3

33

BB BD B D

''

∴=-=-=，即

16

3

m=．

（3）DQ的长度分别为

2512525

31010

3243

、、或

10

3

．在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：

①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，∴∠2＝2∠Q，

∵∠1＝∠3+∠Q ，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠Q ， ∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝F′A′+A′Q ＝4+5＝9． 在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：222293310BQ F Q F B ''=

+=+=．

253103

DQ BQ BD ∴=-=-

； ②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝DQ ，∴∠2＝∠P ，

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P ，∴BA′∥PD ， ∵PD ∥BC ，∴此时点A′落在BC 边上． ∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，

∴BQ ＝A′Q ，∴F′Q ＝F′A′﹣A′Q ＝4﹣BQ ．

在Rt △BQF′中，由勾股定理得：'2

'

2

2

,BF F Q BQ += 即：2

2

2

3(4),BQ BQ +-= 解得：258

BQ =

， 25251253824

DQ BD BQ ∴=-=

-=； ③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，且PD ＝DQ ，

∴ ∠3＝∠4．

∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，149022

∴∠?

∠＝﹣． ∵∠1＝∠2，1

49012

∴∠=?-

∠． 1

49012

A Q

B ∴∠'∠?∠＝＝﹣，

1

18019012

A BQ A Q

B ∴∠'?∠'∠?∠＝﹣﹣＝﹣，

∴∠A′QB ＝∠A′BQ ，∴A′Q ＝A′B ＝5， ∴F′Q ＝A′Q ﹣A′F′＝5﹣4＝1．

在Rt △BF′Q 中，由勾股定理得：223110BQ =+=，

25

103

DQ BD BQ ∴=-=

-； ④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，且PQ ＝PD ，

∴ ∠2＝∠3．

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴BQ ＝BA′＝5，

2510533

DQ BD BQ ∴=-=

-=． 综上所述，DQ 的长度分别为2512525310103243

-

-、、或10

3．

【点睛】

本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算．

3．请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2，PB=3，PC=1、求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），从而得到∠BPC=∠AP′B=__________；，进而求出等边△ABC的边长为__________；

问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

【答案】（17；（25

【解析】

试题分析：（1）利用旋转的性质，得到全等三角形.

(2)利用（1）中的解题思路，把△BPC,旋转，到△BP’A,连接PP’,BP’，容易证明△APP’是直角三角形，∠BP’E=45°，已知边BP’=BP2，BE=BP’=1，勾股定理可求得正方形边长.

（17

（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′2；

连接PP′，在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′2，∠PBP′=90°，

∴PP′=2，∠BP′P=45°；

在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP5

∵2

22

+，即AP′2+PP′2=AP2；

125

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，

∴∠AP′B=135°，

∴∠B PC=∠AP′B=135°．

过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，

∴∠EP′B=45°，

∴EP′=BE=1，

∴AE=2；

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB5

∴∠BPC=135°5

点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，解题利用了旋转的性质，一般利用正方形，等腰，等边三角形的隐含条件，构造全等三角形，把没办法利用的已知条件转移到方便利用的图形位置,从而求解.

4．如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

（1）点C的坐标为（，）；

（2）若二次函数的图象经过点C．

①求二次函数的关系式；

②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；Z_X_X_K]

③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理

由．

【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．

(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，

∴.解得

∴二次函数的关系式为

②当-1≤x≤4时，≤y≤8；

③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，

i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直

角三角形，过点作⊥轴，

∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，

∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,

∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；

ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证

△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上

综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△

是以AB为直角边的等腰直角三角形．

【解析】

(1)根据旋转的性质得出C点坐标；

（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；

③分二种情况进行讨论.

5．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD 中点．

（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；

（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；

（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）61

2

；（3）△FGH的周长最大值为

3

2

（a+b），最小值为3

2

（a﹣b）．

【解析】

试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、

（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；

（3）首先证明△GFH的周长=3GF=3

2

BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；

试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：

如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．

∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=

∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=1

2

BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=

1

2

EC，FH∥EC

，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°

∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．

（2）如图2中，连接AF、EC．

易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF=22

21

-=3，在Rt△ABF中，

BF=22

AB AF

- =6，∴BD=CE=BF﹣DF=61-，∴FH=1

2

EC=

61

2

-．

（3）存在．理由如下．

由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=1

2

BD，∴△GFH的周长=3GF=

3

2

BD，在△ABD

中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为

3 2（a+b），最小值为3

2

（a﹣b）．

点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．

6．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．

（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．

（2）设OD＝t，

①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．

【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②t＝2或14.

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；

（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到

C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；

②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．

【详解】

（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

∴∠DCE＝60°，DC＝EC，

∴△CDE是等边三角形；

（2）①存在，当6＜t＜10时，

由旋转的性质得，BE＝AD，

∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，

由（1）知，△CDE是等边三角形，

∴DE＝CD，

∴C△DBE＝CD+4，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

此时，CD＝，

∴△BDE的最小周长＝CD+4＝；

②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

∴当点D与点B重合时，不符合题意；

当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，

∴∠BED＝90°，

由（1）可知，△CDE是等边三角形，

∴∠DEB＝60°，

∴∠CEB＝30°，

∵∠CEB＝∠CDA，

∴∠CDA＝30°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠ACD＝∠ADC＝30°，

∴DA＝CA＝4，

∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，

∴t＝2；

当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，

∴此时不存在；

当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，

又由（1）知∠CDE＝60°，

∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE＝90°，

从而∠BCD＝30°，

∴BD＝BC＝4，

∴OD＝14，

∴t＝14，

综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

7．如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为

（4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝16

x

（x＞0）的图象交边AB于点D．

（1）用m的代数式表示BD的长；

（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD

①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；

②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．

【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5

【解析】

【分析】

（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；

（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣1

2

（m﹣8）2+24，即可得

出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】

解：（1）∵四边形OABC是矩形，

∴AB⊥x轴上，

∵点B（4，m），

∴点D的横坐标为4，

∵点D在反比例函数y＝16

x

上，

∴D（4，4），

∴BD＝m﹣4；

（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），∴S矩形OABC＝4m，

由（1）知，D（4，4），

∴S△PBD＝1

2

（m﹣4）（m﹣4）＝

1

2

（m﹣4）2，

∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣1

2

（m﹣4）2＝﹣

1

2

（m﹣8）2+24，

∴抛物线的对称轴为m＝8，

∵a＜0，5≤m≤7，

∴m＝7时，S取到最大值；

②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，∴∠DGP＝∠PFE＝90°，

∴∠DPG+∠PDG＝90°，

由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，

∴∠DPG+∠EPF＝90°，

∴∠PDG＝∠EPF，

∴△PDG≌△EPF（AAS），

∴DG＝PF，

∵DG＝AF＝m﹣4，

∴P（m，m﹣4），

∵点P在反比例函数y＝16

x

，

∴m（m﹣4）＝16，

∴m＝2+25或m＝2﹣25（舍）．

【点睛】

此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．

8．（操作发现）

（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接

AF，EF．

①求∠EAF的度数；

②DE与EF相等吗？请说明理由；

（类比探究）

（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：

①∠EAF的度数；

②线段AE，ED，DB之间的数量关系．

【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2

【解析】

试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出

∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；

②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；

（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC =BC ，∠BAC =∠B =45°，证出∠ACF =∠BCD ，由SAS 证明△ACF ≌△BCD ，得出∠CAF =∠B =45°，AF =DB ，求出∠EAF =∠BAC +∠CAF =90°； ②证出∠DCE =∠FCE ，由SAS 证明△DCE ≌△FCE ，得出DE =EF ；在Rt △AEF 中，由勾股定理得出AE 2+AF 2=EF 2，即可得出结论．

试题解析：解：（1）①∵△ABC 是等边三角形，

∴AC =BC ，∠BAC =∠B =60°．∵∠DCF =60°，∴∠ACF =∠BCD ． 在△ACF 和△BCD 中，

∵AC =BC ，∠ACF =∠BCD ，CF =CD ，∴△ACF ≌△BCD （SAS ），∴∠CAF =∠B =60°，∴∠EAF =∠BAC +∠CAF =120°； ②DE =EF ．理由如下：

∵∠DCF =60°，∠DCE =30°，∴∠FCE =60°﹣30°=30°，∴∠DCE =∠FCE ．在△DCE 和△FCE 中，∵CD =CF ，∠DCE =∠FCE ，CE =CE ，∴△DCE ≌△FCE （SAS ），∴DE =EF ； （2）①∵△ABC 是等腰直角三角形，

∠ACB =90°，∴AC =BC ，∠BAC =∠B =45°．∵∠DCF =90°，∴∠ACF =∠BCD ．在△ACF 和△BCD 中，

∵AC =BC ，∠ACF =∠BCD ，CF =CD ，∴△ACF ≌△BCD （SAS ），∴∠CAF =∠B =45°，AF =DB ，∴∠EAF =∠BAC +∠CAF =90°； ②AE 2+DB 2=DE 2，理由如下：

∵∠DCF =90°，∠DCE =45°，∴∠FCE =90°﹣45°=45°，∴∠DCE =∠FCE ．在△DCE 和△FCE 中，∵CD =CF ，∠DCE =∠FCE ，CE =CE ，∴△DCE ≌△FCE （SAS ），∴DE =EF ．在Rt △AEF 中，AE 2+AF 2=EF 2，又∵AF =DB ，∴AE 2+DB 2=DE 2．

二、初三数学 圆易错题压轴题（难）

9．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的

P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、

PC ，设x BP =，PC y =.

（1）求证：PE //DC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；

（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取

值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）2

436(09)y x x x =-+<<；（3）3605

R <<

【解析】

【分析】

()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据

平行线的判定定理即可得到结论；

()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，

//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到

22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到

223PH x =

，13BH x =，求得1

63

CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218

655

PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】

()

1证明：梯形ABCD ，AB CD =，

B DCB ∠∠∴=，

PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=， //PE CD ∴；

()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．

梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，

∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，

2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，

在Rt ABF 中，

AF ===，

//PH AF ，

PH BP BH

AF AB BF

∴

==

62x BH ==，

PH ∴=

，1

3

BH x =， 1

63

CH x ∴=-，

在Rt PHC

中，PC =

y ∴=

9)y x =<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．

//PE DC ，

∴四边形PDME 是平行四边形．

PE DM x ∴==，即 6MC x =-，

PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，

PB BE

EC MC ∴=，即

232663

x

x x x =--， 解得：18

5x =，

即12

5

BE =，

1218

655

PD EC ∴==-=，

当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，236

5

R =； 即两圆相交时，3605

R <<． 【点睛】

本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

10．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB 于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.

（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.

（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.

（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.

【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，82

+

【解析】

试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，

BD=6，求出梯形OPDB的面积=()(26)2

8

22

OP DB OB

+?+?

==，二者相加即为点P的

关联图形的面积是12．

（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．

（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．

试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，

∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC是正方形，

∴正方形的面积是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积=()(26)2

8

22

OP DB OB

+?+?

==，

∴点P的关联图形的面积是12．

（2）判断△OCD是直角三角形．

证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．

（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 即为所确定的点的位置．

理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的面积=()(26)4

1622

AC DB AB +?+?==为定值，

要使点P 的关联图形的面积最大，就要使△PCD 的面积最小， ∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最小， 连接OC ，设交半圆O 于点P ，

∵AC ⊥OA ，AC=OA ，∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC ⊥CD ，OC=22，

∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P′到CD 的距离为P′H ，则P′H+P′O ＞OH ＞OC ， ∵OC=PC+OP ，∴P′H ＞PC ，∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大．

∵CD=42，CP=222-， ∴△PCD 的面积=

()(26)4

1622

AC DB AB +?+?==，

∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积﹣△PCD 的面积=16(842)842--=+．

考点：圆的综合题．

11．已知：