最新直线方程经典题型总结

直线与直线方程经典题型

题型一：倾斜角与斜率

【例1】下列说法正确的个数是（ ）

①任何一条直线都有唯一的倾斜角；

②倾斜角为030的直线有且仅有一条；

③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ；

④如果两直线平行，则它们的斜率相等

A. 0个

B.1个

C.2个

D.3个

【练习】如果0

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )

A ．k sin α>0

B ．k cos α>0

C ．k sin α≤0

D ．k cos α≤0

【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )．

A ．k 1＜k 2＜k 3

B ．k 3＜k 1＜k 2

C ．k 3＜k 2＜k 1

D ．k 1＜k 3＜k 2

【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接

()10—，A ，()1,4B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。

【练习】已知两点

()4,3-A ，()2,3B ，过点()1-2，P 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围。

【例4】若直线l 的方程为

2tan +=αx y ，则（ ）

A.α一定是直线l 的倾斜角

B.α一定不是直线l 的倾斜角

C.α—π一定是直线l 的倾斜角

D.α不一定是直线l 的倾斜角

【练习】设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a 、满足（ ）

A.1=+b a

B.1=b a —

C.0=+b a

D.0=b a —

题型二：斜率的应用

【例5】若点()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a 的值为_________________.

【练习】若三点()()()b C a B A ,0,0,2,2， ()0≠ab 共线，则b a 11+的值为_____________. 【例6】已知实数y x 、满足82=+

y x ，当32≤≤x 时，求x y 的最大值为_______，最小值为_________________ 【练习】1、若4

5ln ,23ln ,12ln ===

c b a ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<

2、求函数1212+=x x y —的值域.

题型三：两直线位置关系的判断

已知，两直线21,l l 斜率存在且分别为2

1,k k ，若两直线平行或重合则有2

1__________k k ，若两直线垂直则有21__________k k .

【例7】已知直线1l 的倾斜角为ο60，直线2l 经过点

()3,1，A ，()322—，—B ，判断直线1l 与2l 的位置关系.

【练习】1、已知点()3,2P

，()5,4Q ,()a A ，—1，()2,2a B 当a 为何值时，直线PQ 与直线AB 相互垂直？

2、已知直线1m 经过点

()()3,23—，，a B a A ，直线2m 经过点()()5,6,3N a M ，，若21m m ⊥，求a 的值.

【例8】在平面直角坐标系中，对R a ∈，直线012:012:21=+=+—和—y ax l ay x l （ ）

.A 互相平行 .B 互相垂直

.C 关于原点对称 .D 关于直线x y —=对称

【练习】直线()()()()07425084123=++=+++——与—y a x a y a x a 垂直，求a 的值.

题型四：求直线方程

（一）点斜式

【例9】根据条件写出下列直线的方程：

（1）经过点A(1,2),斜率为2；

（2）经过点B （—1,4），倾斜角为ο135；

（3）经过点C （4,2），倾斜角为ο90；

（4）经过点D （—3，—2），且与x 轴平行.

已知直线过一点，可设点斜式

【练习】已知ABC ?中，

()()()0,26,241—，，—，C B A ，BC AD ⊥于D ,求AD 的直线方程.

（二）斜截式

【例10】根据条件写出下列直线的方程：

（1）斜率为2，在y 轴上的截距是5；

（2）倾斜角为ο150，在y 轴的截距为—2；

（3）倾斜角为ο45，在y 轴上的截距为0.

已知斜率时，可设斜截式： 【练习】求斜率为4

3，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程.

（三）截距式

【例12】根据条件写出下列直线的方程：

（1)在x 轴上的截距为—3，在y 轴上的截距为2；

（2)在x 轴上的截距为1，在y 轴上的截距为—4；

与截距相关的问题，可设截距式

【练习】直线l 过点()3,4P ，且在轴轴、y x 上的截距之比为1:2，求直线l 的方程.

（四）两点式

【例11】求经过下列两点的直线方程：

（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7)

适时应用“两点确定一条直线”

【练习】过点()1,0M

作直线l ，使他被两条已知直线04:103:21=+++y x l y x l 和—所截得的线段AB 被点M 平分.求直

线l 的方程.

【例12】1、已知点A （3,3）和直线l ：2

543—x y =.求： （1）经过点A 且与直线l 平行的直线方程；

（2）经过点A 且与直线l 垂直的直线方程.

2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A （—1,0），B （2,0），C （2,3），试求AB 边上的高的直线方程.(思考：如果求AB 边上的中线、角平分线呢？）

【例13】已知直线l 的斜率为2，且l 和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线l 的方程为________________．

【练习】已知，直线l 经过点（—5，—4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________________

【例14】直线l 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b （0≠b ），则（ ）

A.00>≤b k 且

B.00<≥b k 且

C.00>

D.00>>b k 且

【练习】两条直线y=ax+b 与y=bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）

A

五、直线的交点坐标与距离公式

1、求两条直线的交点（联立方程组）

例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+21

=0相交于一点，则k=

（2）已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。

2、 两点间的距离公式︱P 1P 2︱=

212212)()(y y x x -+-

例（1）已知点A （a,-5）与B （0,10）间的距离是17，求a 的值。

例（2）已知点A （-1,2），B （2，7），在x 轴上求一点P ，使︱PA ︱=︱PB ︱，并求的 ︱PA ︱值。

例.直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)．

(1)求证：直线l 必过定点；（答案：(15，35

)） (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案：5x ＋5y －4＝0）

(3)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）

六、点到直线的距离

例1：求点A(-2,3)到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= 。

例2：已知点（a,2）到直线l: x-y+1=0的距离为2，则a= 。 (a ＜0)

例3:求直线 y=2x+3关于直线l : y=x+1对称的直线方程。

练习：

1.已知△ABC 中，A (－2，1)，B (3，－3)，C (2，6)，试判断△ABC 的形状

2.求过点M (－2，1)且与A (－1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线方程．

3.已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )