2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学试卷(含答案详解)

2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（﹣4）2的平方根是（）

A ．4B

．

﹣4C

．

±16D

．

%±4

2．函数中自变量x的取值范围是（）

A

．

x≤14B

．

﹣3＜x≤1C

．

x≤1且x≠﹣3D

．

x＞﹣3

3．方程3（x﹣5）2=2（5﹣x）的解是（）

A

．

B

．

x1=5，x2=C

．

x1=5，x2=D

．

x1=4，x2=﹣

4．如图，设P是函数在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′，过P作PA∥y轴，过P′作P′A∥x轴，PA与P′A交于点A，则△PAP′的面积是（）

A

．

2B

．

4C

．

8D

．

随P的变化而变化

5．一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误说法是（）

A

．

极差是15B

．

众数是88C

．

中位数是86D

．

平均数是87

6．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数

是（）

A ．5个B

．

6个C

．

7个D

．

8个

7．若M（）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数的图象上，则（）

A ．y2＞y1＞y3B

．

y2＞y3＞y1C

．

y3＞y2＞y1D

．

无法确定

8．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（）

A ．

B

．

C

．

D

．

9．用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小边用了（）

A ．20根火柴B

．

19根火柴C

．

18或19根火柴D

．

20或19根火柴

10．如图，边长为1的正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

A

．

B

．

C

．

1﹣D

．

1﹣

11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；

其中正确的结论有（）

A

．

5个B

．

4个C

．

3个D

．

2个

12．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A?B?C?M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）

A

．

B

．

C

．

D

．

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．实数范围内分解因式：x3﹣5x2﹣6x=_________．

14．（2008?聊城）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是_________．

15．如图将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，D，D′分别是AB，A′B′的中点，已知AC=12cm，BC=5cm，则线段DD′的长为_________cm．

16．如图所示△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：

①AE=CF；②△EPF为等腰直角三角形；③；④EF=AP；

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有_________（填序号）

17．已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1=0两个实根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，则m的值为_________．

18．（2005?连云港）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为_________．

三、解答题

19．（1）计算；

（2）先化简，再求值，其中．

20．（2010?安顺）某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A，B两种型号，乙品牌有C，D，E三种型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．

（1）利用树状图或列表法写出所有选购方案；

（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C型号打印机被选购的概率是多少？

（3）各种型号打印机的价格如下表：

甲品牌乙品牌

型号A B C D E

价格（元）200017001

300

1

200

1

000

21．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

22．如图所示，在平面直角坐标系内点A和点C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作EF∥CD交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的解析式；

（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF为矩形？若能，求出此时k，b的值；若不能，请说明理由．

23．如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．

求证：（1）ED∥BC；

（2）．

24．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

25．如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．

（1）求D点坐标．

（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式．

（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．

2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（﹣4）2的平方根是（）

A ．4B

．

﹣4C

．

±16D

．

%±4

考

点：

平方根；有理数的乘方。

分

析：

根据平方根的定义，即一个数的平方等于a，则这个数叫a的平方根．

解答：解：∵（﹣4）2=42=16，∴16的平方根为±4，

则（﹣4）2的平方根是±4．故选D．

点评：

此题考查了平方根的概念．注意：一个正数的平方根有两个，并且它们互为相反数．

2．函数中自变量x的取值范围是（）

A ．x≤14B

．

﹣3＜x≤1C

．

x≤1且x≠﹣3D

．

x＞﹣3

考

点：

函数自变量的取值范围。

专

题：

函数思想。

分析：

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

解答：解：根据题意得：1﹣x≥0且x+3≠0，解得：x≤1且x≠﹣3．

故选C．

点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

3．方程3（x﹣5）2=2（5﹣x）的解是（）

A ．

B

．

x1=5，x2=C

．

x1=5，x2=D

．

x1=4，x2=﹣

考

点：

解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程。

专

题：

计算题。

分

析：

移项后分解因式得到（x﹣5）（3x﹣15+2）=0，推出方程x﹣5=0，3x﹣15+2=0，求出方程的解即可．

解答：解：3（x﹣5）2=2（5﹣x），

移项得：3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，

分解因式得：（x﹣5）（3x﹣15+2）=0，∴x﹣5=0，3x﹣15+2=0，

解方程得：x1=5，x2=，

故选B．

点评：

本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

4．如图，设P是函数在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′，过P作PA∥y轴，过P′作P′A∥x轴，PA与P′A交于点A，则△PAP′的面积是（）

A ．2B

．

4C

．

8D

．

随P的变化而变化

考

点：

反比例函数综合题。

专

题：

数形结合。

分

析：

设出点P的坐标，可得到P′坐标，表示出所求三角形的面积，整理即可．

解答：解：设点P的坐标为（x，y），则P′的坐标为（﹣x，﹣y），∴PA=2y，P′A=﹣2x，

∴△PAP′的面积=×2y×（﹣2x）=﹣2xy=8，

故选C．

点评：

考查反比例函数的综合应用；得到所求三角形的两直角边长是解决本题的易错点．

5．（2007?枣庄）一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误说法是（）

A ．极差是15B

．

众数是88C

．

中位数是86D

．

平均数是87

考

点：

算术平均数；中位数；众数；极差。

专应用题。

题：

分

析：

平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数是出现频数最大的数据．解

答：

解：A、极差是15，故A正确；

B、众数是88，故C正确；

C、中位数是87，故B错误；

D、平均数是87，故D正确．

故选C．

点

评：

本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及求法．

6．（2006?成都）如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）

A

．

5个B

．

6个C

．

7个D

．

8个

考

点：

由三视图判断几何体。

分

析：

结合三视图的知识，主视图以及左视图底面有6个小正方体，共有两层三行，第二层有2个小正方体．

解

答：

解：综合主视图，俯视图，左视图底面有6个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是8．

故选D．

点

评：

本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．

7．若M（）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数的图象上，则（）

A

．

y2＞y1＞y 3B

．

y2＞y 3＞y1C

．

y3＞y2＞y1D

．

无法确定

考

点：

反比例函数图象上点的坐标特征。

专

题：

应用题。

分

析：

由于k＜0，可知函数图象在二、四象限，根据点的坐标特征，可知M、N点在第二象限，P点在第四象限，而此函数在第二象限y随x的增大而增大，且知y＞0，而第四象限的点y＜0，进而可比较三点y值的大小．

解

答：

解：∵k＜0，

∴函数图象在二、四象限，

∴M、N点在第二象限，P点在第四象限，

∵﹣＜﹣，

∴0＜y1＜y2，y3＜0，

∴y2＞y1＞y3．

故选A．

点

评：

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是注意k＜0时，函数图象在二、四象限，并且在第二象限y随x的增大而增大．

8．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

考

点：

列表法与树状图法。

分析：

列举出所有情况，看转盘停止后，指针都落在奇数上的情况数占总情况数的多少即可．

解

答：

解：列表得：

所以两个转盘的组合有20种结果，其中有6种指针都落在奇数，

所以指针都落在奇数上的概率是，

故选B．

点

评：

用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9．用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小边用了（）

A ．20根火柴B

．

19根火柴C

．

18或19根火柴D

．

20或19根火柴

考

点：

三角形三边关系。

专

题：

推理填空题。

分

析：

根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．

解答：

解：设三边为a（最小边），3a（最大边），b 则a＜b＜3a，①又∵2a＜b＜4a （三角形三边关系），②由①②，得2a＜b＜3a；又4a+b=120，则b=120﹣4a 则6a＜120＜7a，即17.1＜a＜20，则a取值可为18或者19；

故选C．

点此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．三角形的组成规则：任意两条边的长度和大

评：于第三边同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边．

10．（2006?潍坊）如图，边长为1

的正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

A

．

B

．

C

．

1﹣D

．

1﹣

考

点：

正方形的性质；旋转的性质。

分

析：

设B′C′与CD的交点是E，连接AE，根据旋转的性质可得到AD=AB′，∠DAB′=60°，根据三角函数可求得B′E的长，从而求得△ADE的面积，进而求出阴影部分的面积．

解

答：

解：设B′C′与CD的交点是E，连接AE

根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°．

在直角三角形ADE和直角三角形AB′E中：AB′=AD，AE=AE，

∴△ADE≌△AB′E，

∴∠B′AE=30°，

∴B′E=A′Btan∠B′AE=1×tan30°=，

∴S△ADE=，

∴S四边形ADEB′=，

∴阴影部分的面积为1﹣．

故选C．

点

评：

此题考查了旋转的性质和正方形的性质，解答此题要特别注意根据旋转的性质得到相等的线段、相等的角．

11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；

其中正确的结论有（）

A

．

5个B

．

4个C

．

3个D

．

2个

考

点：

二次函数图象与系数的关系。

分

析：

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解

答：

解：由二次函数的图象开口向下可得a＜0，由抛物线与y轴交于x轴上方可得c＞0，由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，

把x=1代入y=ax2+bx+c，得：y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为正，∵对称轴为x=1，a，b异号，∴b＞0，

∴①abc＜0；故此选项错误；

②∵当x=﹣1时，ax2+bx+c＜0，

∴a﹣b+c＜0，

∴﹣（a﹣b+c）＞0，

∴b﹣a＞c；故此选项正确；

③当x=2时，ax2+bx+c＞0，

∴4a+2b+c＞0；

④2c＜3b；当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，

即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；

⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，

而当x=m时，y=am2+bm+c，

所以a+b+c＞am2+bm+c，

故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），正确．

②③④⑤正确．

故选B．

点

评：

此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根据图象判断其值．12．（2007?临沂）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A?B?C?M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）

A

．

B

．

C

．

D

．

考

点：

动点问题的函数图象；矩形的性质。

专

题：

图表型。

分

析：

根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．

解

答：

解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1．在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是；由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0．因而应选第一个选项．

故选A．

点

评：

本题考查了分段函数的画法，是难点，要细心认真．

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．实数范围内分解因式：x3﹣5x2﹣6x=x（x﹣6）（x+1）．

考

点：

实数范围内分解因式。

专

题：

计算题。

分

析：

把原式先利用提公因式法提取x，然后在利用十字相乘法对二次三项式继续分解，即可得到最后结果．

解答：解：x3﹣5x2﹣6x

=x（x2﹣5x﹣6）

=x（x﹣6）（x+1）．

故答案为：x（x﹣6）（x+1）

点评：

此题考查了分解因式运算，分解因式即要把和的形式变为积的形式，分解到每个多项式都不能再分解为止，其方法有：提公因式法；公式法；十字相乘法；分组分解法，应根据实际情况灵活运用．

14．（2008?聊城）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是﹣5≤a＜﹣4．

考

点：

一元一次不等式组的整数解。

分

析：

先解出不等式的解，然后确定x的取值范围，根据整数解的个数可知a的取值．

解答：解：由不等式组可得：a＜x＜1.5．

因为有6个整数解，可以知道x可取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，因此a要大于等于﹣5小于﹣4．

所以可知a的取值为：﹣5≤a＜﹣4．

点

评：

本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值，利用数轴能直观的得到，易于理

解．

15．如图将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，D，D′分别是AB，A′B′的中点，已知AC=12cm，BC=5cm，则线段DD′的长为cm．

考

点：

旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。

专

题：

计算题。

分

析：

先利用勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出CD=AB，然后连接CD、CD′，再根据旋转的性质求出∠DCD′=90°，CD=CD′，再利用勾股定理列式求解即可．解

答：

解：∵AC=12cm，BC=5cm，

∴AB===13，

∵D是AB的中点，

∴CD=AB=×13=，

∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，

∴∠B′CD′=∠BCD，

∵∠BCD+∠DCB′=90°，

∴∠B′CD′+DCB′=90°，

又CD=CD′（旋转后是对应边），

∴△CDD′是等腰直角三角形，

∴DD′=CD=cm．

故答案为：．

点

评：

本题考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，根据题意判断出旋转后△CDD′是等腰直角三角形是解题的关键．

16．如图所示△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：

①AE=CF；②△EPF为等腰直角三角形；③；④EF=AP；

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有①②③（填序号）

考

点：

等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。

分

析：

利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解

答：

解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，

∴∠APE=∠CPF，

∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，

∴AP=CP，

∴∠PAE=∠PCF，

在△APE与△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

同理可证△APF≌△BPE，

∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=S△ABC，①②③正确；

而AP=BC，EF因不是中位线，则不等于BC 的一半，故④不成立．

故始终正确的是①②③．

故答案为：①②③．

点

评：

此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定．

17．已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1=0两个实根，且满足（α+1）（β+1）=m+1，则m的值为﹣1．

考

点：

根与系数的关系。

专

题：

计算题。

分析：

根据根与系数的关系可得α+β=﹣=﹣=，αβ==，易求（α+1）（β+1），从而可得m2﹣m+2=0，解可求m，再利用根的判别式求出符合题意的m．

解答：解：根据题意可得

α+β=﹣=﹣=，αβ==，

∴（α+1）（β+1）=αβ+α+β+1=++1=m+1，

即m2﹣m+2=0，

解得m=﹣1或m=2，

∵m﹣1≠0，

∴m≠1，

当m=2时，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，无实数根，故m≠2，当m=﹣1时，△=b2﹣4ac=9＞0，有实数根，故m=﹣1．故答案是﹣1．

点评：

此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

18．（2005?连云港）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为79．

考

点：

规律型：图形的变化类。

专

题：

规律型。

分

析：

结合图形根据长方形的周长公式计算几个特殊

值．

解

答：

解：观察图形发现：

第一圈的长是2（1+2）+1=7；

第二圈的长是2（3+4）+1=15；

第三圈的长是2（5+6）+1=23；

则第n圈的长是2（2n﹣1+2n）+1=8n﹣1．

当n=10时，原式=80﹣1=79．

故答案为79．

点

评：

归纳总结，发现规律．

三、解答题

19．（1）计算；

（2）先化简，再求值，其中．

考

点：

分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。