关于高等数学函数的极限与连续习题及答案
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1、函数
()12
++=x x
x f 与函数()11
3--=x x x g 相同.
错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。
∴()12
++=x x x f 与()11
3
--=x x x g 函数关系相同,但定义域不同,所以()x f 与
()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大.
错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。 3、如果数列有界,则极限存在. 错误 如:数列()n
n x 1-=是有界数列,但极限不存在
4、
a a n n =∞
→lim ,a a n n =∞
→lim .
错误 如:数列()n
n a 1-=,1)1(lim =-∞
→n n ,但n n )1(lim -∞
→不存在。
5、如果()A x f x =∞
→lim
,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小).
正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。 6、如果α~β,则()α=β-αo .
正确 ∵1lim
=α
β
,是 ∴01lim lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时,x cos 1-与2
x 是同阶无穷小.
正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim
2
02
2020=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01
sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→x
x x x x x x .
错误 ∵x
x 1
sin lim 0→不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x x
x =⎪⎭
⎫
⎝⎛+→11lim 0
.
错误 ∵e x x
x =⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞
→11lim
10、点0=x 是函数x
x
y =的无穷间断点.
错误 =-→x x x 00lim
1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x
x x ∴点0=x 是函数x
x y =的第一类间断点.
11、函数()
x f x
1
=
必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值. 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质,()x f x
1
=在0=x 处不连续
∴函数()x f x
1
=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值
二、填空题:
1、设()x f y =的定义域是()1,0,则 (1)()x
e
f 的定义域是( (,0)-∞ );
(2)()x f 2
sin 1-的定义域是( ,()2
x x k x k k Z πππ⎧
⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭
);
(3)()x f lg 的定义域是( (1,10) ).
答案:(1)∵10< e (2)∵1sin 102 <- (3)∵1lg 0< 2、函数()⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤<-=<<-+=40300 0222x x x x x x f 的定义域是( (]4,2- ). 3、设()2 sin x x f =,()12 +=ϕx x ,则()[] =ϕx f ( () 2 21sin +x ). 4、n x n n sin lim ∞→=( x ). ∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sin lim 1 sin lim sin lim 5、设()11cos 1121 1x x x f x x x x π-<-⎧⎪⎪ =-≤≤⎨⎪ ->⎪⎩,则()10lim x f x →--=( 2 ),()=+→x f x 01lim ( 0 ). ∵ ()10 10 lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=,()()01lim lim 0 101=-=+→+→x x f x x 6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00 cos 12x a x x x x f ,如果()x f 在0=x 处连续,则=a ( 21 ). ∵21cos 1lim 20=-→x x x ,如果()x f 在0 =x 处连续,则()a f x x x ===-→021 cos 1lim 2 0 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点,则()=→x f x x 0 lim ( ()0x f ). ∵初等函数()x f 在定义区间内连续,∴()=→x f x x 0 lim ()0x f 8、函数() 2 11 -=x y 当x →( 1 )时为无穷大,当x →( ∞ )时为无穷小. ∵() ∞=-→2 1 11 lim x x ,() 011 lim 2 =-∞ →x x