关于高等数学函数的极限与连续习题及答案

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1、函数

()12

++=x x

x f 与函数()11

3--=x x x g 相同.

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。

∴()12

++=x x x f 与()11

3

--=x x x g 函数关系相同,但定义域不同,所以()x f 与

()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大.

错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。 3、如果数列有界,则极限存在. 错误 如:数列()n

n x 1-=是有界数列,但极限不存在

4、

a a n n =∞

→lim ,a a n n =∞

→lim .

错误 如:数列()n

n a 1-=,1)1(lim =-∞

→n n ,但n n )1(lim -∞

→不存在。

5、如果()A x f x =∞

→lim

,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小).

正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。 6、如果α~β,则()α=β-αo .

正确 ∵1lim

β

,是 ∴01lim lim =⎪⎭

⎝⎛-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时,x cos 1-与2

x 是同阶无穷小.

正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim

2

02

2020=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01

sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→x

x x x x x x .

错误 ∵x

x 1

sin lim 0→不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x x

x =⎪⎭

⎝⎛+→11lim 0

错误 ∵e x x

x =⎪⎭

⎝⎛+∞

→11lim

10、点0=x 是函数x

x

y =的无穷间断点.

错误 =-→x x x 00lim

1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x

x x ∴点0=x 是函数x

x y =的第一类间断点.

11、函数()

x f x

1

=

必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值. 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质,()x f x

1

=在0=x 处不连续

∴函数()x f x

1

=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值

二、填空题:

1、设()x f y =的定义域是()1,0,则 (1)()x

e

f 的定义域是( (,0)-∞ );

(2)()x f 2

sin 1-的定义域是( ,()2

x x k x k k Z πππ⎧

⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭

);

(3)()x f lg 的定义域是( (1,10) ).

答案:(1)∵10<

e

(2)∵1sin 102

<-

(3)∵1lg 0<

2、函数()⎪⎩

⎨⎧≤<-=<<-+=40300

0222x x x x x x f 的定义域是( (]4,2- ). 3、设()2

sin x x f =,()12

+=ϕx x ,则()[]

=ϕx f (

()

2

21sin +x ).

4、n

x

n n sin lim ∞→=( x ). ∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sin

lim 1

sin lim sin lim

5、设()11cos 1121

1x

x x f x x x x π-<-⎧⎪⎪

=-≤≤⎨⎪

->⎪⎩,则()10lim x f x →--=( 2 ),()=+→x f x 01lim ( 0 ).

()10

10

lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=,()()01lim lim 0

101=-=+→+→x x f x x

6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00

cos 12x a

x x x x f ,如果()x f 在0=x 处连续,则=a ( 21 ).

∵21cos 1lim 20=-→x x x ,如果()x f 在0

=x 处连续,则()a f x x x ===-→021

cos 1lim 2

0 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点,则()=→x f x x 0

lim ( ()0x f ).

∵初等函数()x f 在定义区间内连续,∴()=→x f x x 0

lim ()0x f

8、函数()

2

11

-=x y 当x →( 1 )时为无穷大,当x →( ∞ )时为无穷小.

∵()

∞=-→2

1

11

lim

x x ,()

011

lim

2

=-∞

→x x

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