【精品】河北高中数学竞赛初赛试题及答案
2011河北高中数学竞赛初赛试题及答案
2012年全国高中数学联赛模拟试题二
2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
各省高中数学竞赛预赛试题汇编
2012各省数学竞赛汇集
目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：
高中数学竞赛试题
1．高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps
(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc
No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）
乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min
2011年河北省高中数学竞赛试题
河北省高中数学竞赛试题2011年 一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分) 1. 已知数列{}n a 满足：,2011,1,2403121==+≤ ++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数，且55y x -的值恰好是由一个2，一个0，两个1组成的四位数，则 满足条件的所有四位数是 . 3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 . 4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）. 5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时，m a 的值都能被9整除，则n 的最小值为 . 6. 函数2011 201032211)(+++++++++++=x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是 . 8. 已知O 为坐标原点，),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线，M 是这垂线上的动点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，21,MT MT 是圆的切线， 则21T MT ?垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、14小题各15分，共78分) 9. 解不等式.11122x x x x x <--+
高中数学竞赛模拟试题一汇总
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品
2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.
1999年河北省高中数学竞赛试题
1999年河北省高中数学竞赛试题 班级 姓名 一、选择题 1、已知log a b+3log b a=213，当a>b>1时，2 24b a b a ++的值是 （ ） A 、13 B 、4 C 、2 D 、1 2、设M={a|a=z y x 532??,x,y,z 均为非负整数}的子集为N={b|b 101,≤≤∈b M },则N 的子集中包含元素1和10的集合有 （ ） A 、10个 B 、64个 C 、128个 D 、256个 3、将边BC=15cm 的ABC 绕边AC 旋转一周，所得旋转体是有公共底面的两个圆锥，边AB 形成的圆锥的侧面展开图是半径为20cm ，圆心角为2160的扇形，则此旋转体内切球的半径是 （ ） A 、cm 760 B 、cm 548 C 、cm 5 36 D 、60cm 4、设x 2+3y 2 -4x+6y+3≤0,则x-3y 的范围是 （ ） A 、[3，7] B 、[1，9] C 、[3-32，7+32] D 、（5-32，7） 5、x+y+z=1999的正整数解的个数是 （ ） A 、998·1997 B 、999·1997 C 、999·1999 D 、1000·1999 6、一个正方体内接于一个圆锥（其中一个底面在圆锥底面上，相对的面的四个顶点 均在圆锥的侧面上），经过圆锥的两条母线作截面，则下列图形中不可能出现的图形 个数是 （ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 二、填空题（每小题9分） 7、βα, 是x 2 +2px+1=0的两个虚根，若复平面上βα,，1对应的点构成正三角形，那么实数P= ； 8、设三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AB=3，AC=2，∠C 为锐角，K 为棱 AB 上的动点，则?PCK 面积的最小值为 ； 9、已知函数2 2)(+=x x x f ，当x 1=1,x n =f(x n-1)(n ∈≥n ,2N)时，x 1999= ； 10、若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为M ，m ， 则m M = ； 11、设a>1,m>p>0,若方程x+log a x=m 的解为p ，则方程x+a x =m 的解是 ； 12、从6名男运动员中选4人，5名女运动员中选3人，分成3个小组去参加三个不同城市的体育比赛，要求每组中男运动员和女运动员至少各有1人，则不同的选派方案种数为 。（用数字作答） 三、解答题 13、（本题20分）设点P 是双曲线122 22=-b y a x 上除顶点外的任意一点，F 1，F 2分别为 左、右焦点，c 为半焦距，?PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2切于点M ，求|F 1M|·|F 2M|的 值。
高中数学竞赛预选赛试题
2020年学科知识竞赛预赛遴选 高中数学试题 考试时间：2020年5月10日 10:00-11:30 （全卷共120分） 一、填空题.（每题8分，一共10个题目） .______________,4)1,1,21122的方程为最小时，直线为圆心，当两点，交于：（与圆的直线、过点l ACB C B A y x C l M ∠=+-??? ??._________,2343cos ,,,,,,,2=+=?=?c a BC BA B c b a c b a C B A ABC 则，且成等比数列，已知的对边分别为中，内角、在._______1,23的最大值为那么满足、如果复数++=-++i z i z i z z .______________0)10(,2110)(4为的解集则或的解集为、已知一元二次不等式>??????>-< 2018年全国高中数学联赛河北省预赛 高三数学试题 一、填空题 1．若 ,且 ,则 的最小值为______________． 【答案】3 【解析】试题分析：设Z=a+bi （a ，b∈R），满足|Z-2-2i|=1的点均在以C 1（2，2）为圆心，1为半径的圆上，所以|Z+2-2i|的最小值是C 1，C 2连线的长为4与1的差，即为3. 【考点】复数模的几何意义及数形结合的思想方法， 2．若，，且满足那么. 【答案】1 【解析】【详解】 把已知条件变形为函数 在上为增函数且是奇函数，另 ，故 即 ，所以 . 3．设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式： _____. 【答案】 【解析】【详解】 将 化为 ， . 设M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则 . 设△ABC 的面积为S ，由几何关系知，，， 所以 . 4．过动点M 作圆： ()()2 2 221x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若MN MO =（O 为坐标原点） ，则MN 的最小值是__________． 【答案】 72 8 【解析】解答：由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径等于1. 由M (a ,b ),则|MN |2=(a 2)2+(b 2)212=a 2+b 24a 4b +7， |MO |2=a 2+b 2. 由|MN |=|MO |,得a 2 +b 2 4a 4b +7=a 2 +b 2 . 整理得：4a +4b 7=0. ∴a ，b 满足的关系为：4a +4b 7=0. 求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值。 在直线4a +4b 7=0上取一点到原点距离最小， 由“垂线段最短”得，直线OM 垂直直线4a +4b 7=0， 由点到直线的距离公式得：MN 的最小值为： 22 77 28 44= + . 5．欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法. 【答案】21 【解析】【详解】 本题采用分步计数原理. 第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法； 第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有种方 法； 第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有种方法； 第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有种方法；共计21种上楼梯的方法. 6．已知棱长 的正方体 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 为轴，则该圆柱体积的最大值为_____. 【答案】 【解析】【详解】 全国高中数学联赛江西省预赛试题 一、选择题（每小题6分,共36分） 1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞U ． 2、设2 2 1a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y + =有公共点，则a b 的取值范围是（ ）. A 、11,22?? -???? ； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞U ； D 、[]2,2-. 3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = . A 、7 ； B 、13 ； C 、18 ； D 、27． 4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3． 5、设(21 2n n a +=+，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）． A 、必为无理数； B 、必为偶数； C 、必为奇数； D 、可为无理数或有理数． 6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和. 你的判断是（ ） A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分） 7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22 194 x y + =所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 . 8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 . 9、 四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ?的垂心，G 是ABC ?的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ． 10、000sin 20sin 40sin80??= . 11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根， 2012年河北省高中数学竞赛试题 说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知，则可化简为（ D ） A． B. C. D. 解答：因为，所以= 。正确答案为D。 2．如果复数的模为4，则实数a的值为（ C ） A. 2 B. C. D. 解答：由题意得。正确答案为C。 3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：，命题q：或，则p是q的（ B ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。 4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（ C ） A. B. C. D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得 。正确答案为C。 5. 函数，则该函数为（ A ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ） 2 2 3 1 2 2 1 2 2 正视图侧视图俯视图（圆和正方形） A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+ 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。 7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依 次记为：若程序运行中 输出的一个数组是则数组中的（ B ） A．64 B．32 C．16 D．8 答案经计算。正确答案为 B。 8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ A ） A. 4 B.8 C. 16 D. 32 解答：平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有 由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。 9. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ C ） A. B C. D. 解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。 全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。 2011年河北省高中数学竞赛试题 一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分) 1. 已知数列{}n a 满足：,2011,1,2 403121==+≤ ++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数，且55y x -的值恰好是由一个2，一个0，两个1组成的四位数，则 满足条件的所有四位数是 . 3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 . 4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）. 5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时，m a 的值都能被9整除，则 n 的最小值为 . 6. 函数2011 20103 22 11 )(+++ ++++ +++ += x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是 . 8. 已知O 为坐标原点，),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线，M 是这垂线上的动点，以O 为 圆心，OB 为半径作圆，21,MT MT 是圆的切线，则21T MT ?垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、14小题各15分，共78分) 9. 解不等式.1112 2 x x x x x < - -+ 全国高中数学联赛模拟试题(三) 学校_____ 姓名______得分_______ 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这 样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集 2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4 辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给 定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1 n i i a 等于 （A ）2 （B ）-1 （C ）1 （D ）0 4、已知、是方程ax 2 +bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，β α2 是实 数，则∑=??? ? ??5985 1k k βα的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）3i 5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()ab b a ac c a bc c b A 2 2 2 2 2 2 111111--+--+--= ，则A 的 值是 （A ）3 （B ）-3 （C ）4 （D ）-4 6、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2 11 += ∑=n n x n i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9 二、填空题：（每小题9分，共54分） 1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距 离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使 n n h a h a h a +++Λ22 11（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ． 高中数学竞赛初赛试题 一 选择题 1. 如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{} 1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对 (),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对， 那么“好集对”一共有（）个 64862A B C D ２.设函数()()lg 10 1x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21 .log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100 到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126 的余数是( ) 4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为 ()1221,1,2,3,, k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( ) 2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质 的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个 新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么 2007____________a = 192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 783660A B C D 绝密★启用前 2018年全国高中数学联赛河北（高二）预赛试题及详解 一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分. 1.已知集合{,,}A x xy x y =+，{0,,}B x y =且A B =，则20182018x y += ． 2.规定：x R ?∈，当且仅当*1()n x n n N ≤<+∈时，[]x n =，则[][]2 428450x x -+≤的解集为 ． 3.在平面直角坐标系中，若与点()2,2A 的距离为1，且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有三条，则实数m 的取值集合是 ． 4.在矩形ABCD 中，已知3AB =，1BC =.动点P 在边CD 上，设PAB α∠=，PBA β∠=，则cos() PA PB αβ?+的最大值为 ． 5.已知1x ≥，1y ≥且2222lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg u xy =的最大值为 ． 6.若123A A A ?的三边长分别为8、 10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A BCD -的表面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是 ． 7.1 >，则tan θ的取值范围是 ． 8.在ABC ?中，3AC =，sin sin C k A =，(2)k ≥，则ABC ?的面积的最大值为 ． 二、解答题 9.已知O 是ABC ?的外心，且3450OA OB OC =+=，求cos BAC ∠的值. 10.设α、0, 2πβ??∈ ???，证明：cos cos sin αβαβ++≤. 11.若a 、b 、c 为正数且3a b c ++=，证明：3ab bc ca ++≤≤. 2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3） 姓名_______ 一、 填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 +=x x ，则33sin cos +=x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设 O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112 ,23 ==A M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于 二、 简答题 8.已知数列{}n a 满足211012 2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。用数学归纳法证明： 223+=-n n a 9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并 求等号成立的充分必要条件。 10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n 2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案 三、 填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 += x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+= x x ，可得112s i n c o s 4+=x x ，故3 sin cos 8 =-x x ，从而33sin cos +=x x 221311 (sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816 +-+= +=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得2016 1(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故 201620161009(1)(1)2++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得 10.505=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 解答：设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ，当01≤全国高中数学联赛河北省预赛高三数学试题解析版
全国高中数学联赛预赛试题(含详细答案)
2012年河北省高中数学竞赛试题
全国高中数学联合竞赛试题(校模拟)附答案
2011年河北省高中数学竞赛试题
全国高中数学联赛模拟试题(三)
高中数学竞赛初赛试题(含答案)
2018年全国高中数学联赛河北预赛试题及详解
浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟(三)试题 Word版 含解析