高中数学人教版必修直线的点斜式方程教案(系列二)

3.2.1直线的点斜式方程

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围．

(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程．

(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．

2．过程与方法

(1)在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程．

(2)学生通过对比，理解“截距”与“距离”的区别．

3．情感、态度与价值观

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题．

●重点难点

重点：直线的点斜式方程和斜截式方程．

难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用．

重难点突破：以“直角坐标系内确定一条直线的几何要素”为切入点，先由学生自主导出“过某一定点的直线方程”，再通过组内分析、交流，找出所求方程的差异，明其原因，最终达成共识，得出直线的点斜式的形式及适用前提，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，引出斜截式方程，并通过多媒体演示“截距”与“距离”的异同，化解难点．

●教学建议

解析几何的实质是“用代数的知识来研究几何问题”，而直线方程恰恰体现了这种思想．由于直线的点斜式方程是推导其他直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位．故本节课易采用“启发式”的教学方法，从学生原有的知识和能力出发，寻找过某一定点的直线方程的求解方法．鉴于学生在“数”和“形”之间转换的难度，教师可引导学生通过合作、交流等方式，对难点予以突破；可通过多媒体直观演示，让学生明确点斜式方程和斜截式方程的适用条件．对于斜截式方程，明确以下三点：(1)它是点斜式方程的特殊形式；(2)讲清

“截距”的概念；(3)了解其与一次函数的关系，其他问题不必扩充太多．由于点斜式方程是学习其他方程的前提，故教师可适当的补充教学案例，让学生在训练中进一步感知解析法的思想．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：过某一定点的直线方程，如何求解？?通过引导学生回忆直线的斜率公式，找出求“过某一定点的直线方程”的方法.?通过引导学生回答所提问题理解直线的点斜式方程及斜截式方程的适用条件.?通过例1及其变式训练，使学生掌握直线的点斜式方程的求法.

?通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜截式方程的求法.?

课标解读

1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)

2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)

3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错

点)

直线的点斜式方程

1．已知直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？

提示y－y0＝k(x－x0)．

2．经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线l如何表示？

提示x＝x0.

方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一定点P0(x0，y0)及斜率k确定，我们把这个方程称为直线的点斜式方程，简称点斜式，适用于斜率存在的直线．

直线的斜截式方程

经过定点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？

提示y＝kx＋b.

1．直线l在y轴上的截距

直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线在y轴上的截距．

2．直线的斜截式方程

方程y＝kx＋b由直线的斜率k和它在y轴上的截距b确定，我们称这个方程为直线的斜截式方程，简称为斜截式．适用范围是斜率存在的直线.

直线的点斜式方程

根据下列条件，求直线的方程

(1)经过点A(2,5)，斜率是4；

(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；

(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；

(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．

思路探究注意斜率是否存在．若存在，方程为y－y0＝k(x－x0)；若不存在，方程为x ＝x0.

自主解答(1)由点斜式方程可知，

所求直线的方程为y－5＝4(x－2)，

即4x－y－3＝0.

(2)∵直线的倾斜角为45°，

∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，

∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，

即x－y＋1＝0.

(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，

∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.

(4)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1.

求直线的点斜式方程，步骤如下：

根据条件写出下列各题中的直线方程．

(1)经过点A(1,2)，斜率为2；

(2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°；

(3)经过点C(4,2)，倾斜角为90°；

(4)经过坐标原点，倾斜角为60°.

解(1)由直线方程的点斜式可得，所求直线的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，

所以直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1)，

即x＋y－3＝0.

(3)由题意可知，直线的斜率不存在，且直线经过点C(4,2)，所以直线的方程为x＝4.

(4)由题意可知，直线的斜率k＝tan 60°＝3，

所以直线的点斜式方程为y＝3x.

直线的斜截式方程

根据条件写出下列直线的斜截式方程．

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

思路探究

确定直线的斜率k―→确定直线在y轴上的截距b―→得方程y＝kx＋b

自主解答(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.

(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3

3.

由斜截式可得方程为y＝－3

3x－2.

(3)∵直线的倾斜角为60°，

∴其斜率k＝tan 60°＝3，

∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，

∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.

∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.

1．本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝3x－3”．2．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．

直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，求直线l的方程．

解由直线l1的方程可知它的斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x＋6.

平行与垂直的应用

当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2

(1)平行？(2)垂直？

思路探究已知两直线的方程，且方程中含有参数，可利用l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2，；l1⊥l2?k1·k2＝－1求解．

自主解答(1)要使l1∥l2，则需满足

{a2－2＝－1，2a≠2，解得a＝－1.

故当a＝－1时，直线l1与直线l2平行．

(2)要使l1⊥l2，则需满足(a2－2)×(－1)＝－1，

∴a＝±3.

故当a＝±3时，直线l1与直线l2垂直．

已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2.

(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2.

(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2?k1·k2＝－1.

(1)已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________； (2)若直线l 1∶y ＝－2a x －1

a 与直线l 2∶y ＝3x －1互相平行，则a ＝________.

解析 (1)由题意可知a ·(a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. (2)由题意可知???

－2a ＝3，－1a ≠－1，解得a ＝－23.

答

案

(1)

－

1

(2)

－

2

3

误把“截距”当“距离”致误

已知斜率为－4

3的直线l ，与两坐标轴围成的三角形面积为6，求l 的方程．

错解 设l ：y ＝－43x ＋b ，令x ＝0得y ＝b ；令y ＝0得x ＝3

4b ，

由题意得12·b ·(3

4b )＝6，

∵b >0，∴b ＝4，

∴直线l 的方程为y ＝－4

3

x ＋4.

错因分析 上述解法的错误主要在于“误把直线在两轴上的截距当作距离”． 防范措施 直线在两轴上的截距是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，而不是距离，因此本题在先求得截距后，应对截距取绝对值再建立面积表达式．

正解 设l ：y ＝－4

3x ＋b ，令x ＝0得y ＝b ；令y ＝0得x ＝34b ，

由题意得12·|b |·|3

4b |＝6，∴b 2＝16，∴b ＝±4.

故直线l 的方程为y ＝－4

3x ±4.

1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有

y －y 1

x －x 1

＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的两条反向射线的方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x ＝x 1.

2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b )点、斜率为k 的直线y －b ＝k (x －0)，即y ＝kx ＋b ，其特征是方程等号的一端只是一个y ，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x 的一次函数．如y ＝c 是直线的斜截式方程，而2y ＝3x ＋4不是直线的斜截式方程．

1．直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可以表示( ) A ．任何一条直线 B ．不过原点的直线 C ．不与坐标轴垂直的直线 D ．不与x 轴垂直的直线

解析 点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x 轴垂直的直线． 答案 D

2．直线l 过点A (－1,2)，斜率为3，则直线l 的点斜式方程为( ) A ．y ＋1＝3(x －2) B ．y －2＝－3(x ＋1) C ．y ＋2＝3(x －1) D ．y －2＝3(x ＋1)

解析 过点(x 0，y 0)，斜率为k 的直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 答案 D

3．已知直线l 的点斜式方程为y －1＝x －1，那么直线l 的斜率为________，倾斜角为________，在y 轴上的截距为________．

解析 直线y －1＝x －1的斜率为1，由tan 45°＝1可知，倾斜角为45°；令x ＝0得y ＝0，故在y 轴上的截距为0.

答案 1 45° 0

4．(1)求经过点(1,1)且与直线y ＝2x ＋7平行的直线方程； (2)求经过点(－1,1)且与直线y ＝－2x ＋7垂直的直线方程． 解 (1)由y ＝2x ＋7得其斜率k 1＝2， ∵所求直线与已知直线平行，设其斜率为k 2， ∴k 2＝k 1＝2，

∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.

(2)由y ＝－2x ＋7得其斜率k 1＝－2， ∵所求直线与已知直线垂直，设其斜率为k 2， ∴k 1·k 2＝－1，∴k 2＝1

2

，

∴所求直线为y －1＝1

2

(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.

一、选择题

1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(－1,2)，斜率为1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－1，－2)，斜率为1

解析 结合直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)得C 选项正确． 答案 C

2．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 解析 由a ＝2－a ，得a ＝1.

答案 B

3．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程是( ) A ．x ＝3 B ．y ＝－5 C ．2y ＝x D ．x ＝4y －1

解析 直线方程的斜截式y ＝kx ＋b ，等号左边为y ，其系数为1，右边x 的系数为斜率

k ，b 为直线在y 轴上的截距，当k ＝0，b ＝－5时，即为y ＝－5，即B 项的方程可看成直

线的斜截式方程．

答案 B

4．(2013·临沂高一检测)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0

解析 直线x －2y －2＝0的斜率为1

2，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所

求直线方程为y ＝1

2

(x －1)，即x －2y －1＝0.

答案 A

5．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝1

2x ＋4 B ．y ＝2x ＋4

C ．y ＝－2x ＋4

D ．y ＝－1

2x ＋4

解析 直线y ＝2x ＋1的斜率为2， ∴与其垂直的直线的斜率是－1

2

，

∴直线的斜截式方程为y ＝－1

2x ＋4，故选D.

答案 D 二、填空题

6．经过点(1,0)且与x 轴垂直的直线方程为________． 解析 如图，所求直线的方程为x ＝1.

答案 x ＝1

7．斜率与直线y ＝3

2x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________．

解析 直线y ＝32x 的斜率为32，又所求直线过点(－4,3)，故由点斜式得y －3＝3

2(x ＋4)．

答案 y －3＝3

2

(x ＋4)

8．(2013·浏阳高一检测)已知直线l 的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则直线l 的斜截式方程为________．

解析 由题意可知直线l 的斜率k ＝tan 120°＝－3， 又l 在y 轴上的截距为－2， 故l 的斜截式方程为y ＝－3x －2. 答案 y ＝－3x －2 三、解答题

9．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的1

4，且分别满足下列条件的直线方程．

(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.

解 ∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3， ∴其倾斜角α＝120°，

由题意，得所求直线的倾斜角α1＝1

4α＝30°，

故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝

3

3

， (1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为33

， ∴所求直线方程是y ＋1＝3

3

(x －3)． (2)∵所求直线的斜率是3

3，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝

3

3

x －5. 10．当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3 (1)平行？(2)垂直？

解 由题意可知，kl 1＝2a －1，kl 2＝4.

(1)若l 1∥l 2，则kl 1＝kl 2，即2a －1＝4，解得a ＝5

2

.

故当a ＝5

2时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3平行．

(2)若l 1⊥l 2，则4(2a －1)＝－1， 解得a ＝3

8

.

故当a ＝3

8

时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．

11．已知直线l 的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为1

2，求直线l 的方

程．

解 设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，O 为坐标原点，则它与两个坐标轴的交点为A (b,0)和B (0，b )，所以直角三角形OAB 的两个直角边长都为|b |，故其面积为12b 2，由12b 2＝12，

解得b ＝±1，

∴所求直线的方程为y ＝－x ＋1或y ＝－x －1.

已知直线l 经过点P (－1，－2)，在y 轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．

思路探究 解答本题可先写出点斜式方程，再化为斜截式方程，求出直线在y 轴上的截距，最后解不等式求斜率的取值范围．也可设出直线l 的斜截式方程，再将点P 坐标代入，找到斜率与在y 轴上截距的关系，从而求出斜率的范围．

自主解答 法一：设直线l 的斜率为k ，由于这条直线过点P (－1，－2)， ∴它的点斜式方程是y －(－2)＝k [x －(－1)]， 可化为斜截式方程是y ＝kx ＋k －2， ∴直线l 在y 轴上的截距为k －2. 由已知得2≤k －2≤6，∴4≤k ≤8. ∴直线l 斜率的取值范围为[4,8]． 法二：设直线l 的斜截式方程为y ＝kx ＋b ，

由于点P (－1，－2)在直线l 上， ∴－2＝k (－1)＋b ，即k ＝b ＋2. 又∵b ∈[2,6]，所以k ∈[4,8]． ∴直线l 的斜率的取值范围为[4,8]．

1．点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)(x ＝x 0除外)的所有直线． 2．斜截式方程y ＝kx ＋b 可表示斜率为k 的所有直线．

3．待定系数法在求直线方程问题中应用很广．已知直线过定点设点斜式，已知斜率或在y 轴上的截距设斜截式是常见的方法．

已知直线l 过点P (－2,0)，直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l 的方程．

解 设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则由已知得1

2×|－2|×|b |＝10，b ＝±10.

①当b ＝10时，直线过点(－2,0)，(0,10)， 斜率k ＝10－0

0－－2

＝5.

∴直线的斜截式方程为y ＝5x ＋10.

②当b ＝－10时，直线过点(－2,0)，(0，－10)， 斜率k ＝－10－0

0－－2

＝－5.

∴直线的斜截式方程为y ＝－5x －10.

综合①②可知直线l 的方程为y ＝5x ＋10或y ＝－5x －10.