概率论与数理统计及其应用课后答案(浙江大学盛骤版)

第1章随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录

投掷的次数。

（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，

记录投掷的次数。

（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4）抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰

子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求

)])([(),(),(),(___

___

AB B A P AB P B A P B A P ??。

解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，

375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，

875.0)(1)(___

--=AB P AB P ，

.0)(625.0)])([()()])([()])([(___

=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P

3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为

72.0900

648

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为

48344=??个，所以出现奇数的概率为

48.0100

= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为

48.0100

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。（2）4只中至少有2只红球。（3）4只中没有白球。

解: （1）所求概率为338

31425=C C C C ；

（2）所求概率为16567

4952014

124418342824==++C C C C C C ；（3）所求概率为165

495354124

=C C 。

6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。

解：根据题意，)(M n n <张提货单分发给M 个销售点的总的可能分法有n M 种，某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的可能分法有

k n k

n M C --)1(种，

所以某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率为n

n k

n M

M C --)1(。

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。（1）求3只球至少有1只配对的概率。（2）求没有配对的概率。

解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以（2）没有配对的概率为3

2=；

（1）至少有1只配对的概率为3

11=-。

8，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ?,

)|(),|(AB A P B A AB P ?.

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解：（1）由题意可得7.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，所以

313.01.0)()()|(===

B P AB P B A P ， 5

5.01.0)()()|(===A P AB P A B P ， 75

)()()()]([)|(=?=??=

?B A P A P B A P B A A P B A A P ，

)()()()]([)|(=?=??=

?B A P AB P B A P B A AB P B A AB P ，

()

()()]([)|(===

AB P AB P AB P AB A P AB A P 。

（2）设)4,3,2,1(=i A i 表示“第i 次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为4321A A A A ，它的概率为（根据乘法公式）

)|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =

0408.020592

840124135127116==???=。

9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。

解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A ，“另一只

也是红球”记为事件B 。则事件A 的概率为

314232422)(=?+??=A P （先红后白，先白后红，先红后红）

所求概率为

53142)()()|(=?

==A P AB P A B P

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A 表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B 表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。

（1）)(),(B P A P ；（2）)|(A B P ；（3）)|(A B P ；（4）)|(B A P ；（5）)|(B A P 。解：（1）根据题意可得

%50%45%5)()()(=+=+=B A P AB P A P ； %15%10%5)()()(=+=+=A B P BA P B P ；

（2）根据条件概率公式：1.0%

50%

5)()()|(===A P AB P A B P ；（3）2.0%

501%

10)()()|(=-==A P A B P A B P ；

（4）179

%151%45)()()|(=-==B P B A P B A P ；（5）3

%15%5)()()|(===

B P AB P B A P 。

11，在11张卡片上分别写上engineering 这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger 的概率。

解：根据题意，这11个字母中共有2个g ，2个i ，3个n ，3个e ，1个r 。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g 中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i 中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为

924013326403661738193102112==?????；或者92401

611

11311131212=A C C C C C C 。

12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A 、症状B ，有20%的人只有症状A ，有30%的人只有症状B ，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；

（3）已知该人有症状B ，求该人有两种症状的概率。

解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为%40%10%30%201=---；（2）至少有一种症状的概率为%60%401=-；

（3）已知该人有症状B ，表明该人属于由只有症状B 的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B 的条件下该人有两种症状的概率为4

%10%30%10=+。

13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。

通讯线通讯量的份额

无误差的讯息的份额

1 0.4 0.9998

2 0.

3 0.9999 3 0.1 0.9997 4

0.2

0.9996

解：设“讯号通过通讯线i 进入计算机系统”记为事件)4,3,2,1(=i A i ，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B 。则根据全概率公式有

9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)|()()(4

1?+?+?+?==∑=i i i A B P A P B P

=0.99978

14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A ，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B 。根据全概率公式有 %1.12%4%90%85%10)|()()|()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P ，所以，根据条件概率得到所要求的概率为 %06.17%

1.121%)

851%(10)(1)|()()()()|(=--=-==

A P

B A P B P A P A B P A B P 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.

15，计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ，“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,,N N N 。则根据全概率公式有 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(3

1=?+?+?==∑=i i i N M P N P M P ，

根据Bayes 公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为

24.0025.001

.06.0)()|()()|(111=?==

M P N M P N P M N P ，

60.0025.005

.03.0)()|()()|(222=?==

M P N M P N P M N P ，

16.0025

.004

.01.0)()|()()|(333=?==

M P N M P N P M N P 。

16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。

解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A ，“一讯息是可信的”记为事件B 。根据Bayes 公式，所要求的概率为

%9947.99%

1.0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(=?+??=+==

B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P

17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C 分别记事件“第一次得H ”，“第二次得H ”，“两次得同一面”。试验证A 和B ，B 和C ，C 和A 分别相互独立（两两独立），但A,B,C 不是相互独立。解：根据题意，求出以下概率为

21)()(=

=B P A P ， 21

21212121)(=?+?=C P ； 412121)(=?=AB P ， 412121)()(=?==CA P BC P ，4

2121)(=?=ABC P 。

所以有

)()()(B P A P AB P =，)()()(C P A P AC P =，)()()(C P B P BC P =。

即表明A 和B ，B 和C ，C 和A 两两独立。但是

)()()()(C P B P A P ABC P ≠

所以A,B,C 不是相互独立。

18，设A,B,C 三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C 各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。

解：设“A,B,C 进球”分别记为事件)3,2,1(=i N i 。（1）设恰有一人进球的概率为1p ，则

}{}{}{3213213211N N N P N N N P N N N P p ++=

)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= （由独立性） 6.03.05.04.07.05.04.03.05.0??+??+??=

29.0=

（2）设恰有二人进球的概率为2p ，则

}{}{}{3213213212N N N P N N N P N N N P p ++=

)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= （由独立性） 6.03.05.06.07.05.04.07.05.0??+??+??= 44.0=

（3）设至少有一人进球的概率为3p ，则

}{13213N N N P p -=)()()(1321N P N P N P -=4.03.05.01??-=94.0=。

19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH +血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。

解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH +型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH +型血的概率是多少？因为

第一次就检验出该型血的概率为0.4；

第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24；第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144；第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864；所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p ，试求系统的可靠性。解：设“元件i 能够正常工作”记为事件)5,4,3,2,1(=i A i 那么系统的可靠性为

)()()()}()(){(5432154321A A P A P A A P A A A A A P ++=??

)()()()(543215435421321A A A A A P A A A P A A A A P A A A P +---

)()()()()()()()()()()()(542132154321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P --++=

)()()()()()()()(54321543A P A P A P A P A P A P A P A P +-

534322p p p p p p p +---++= 543222p p p p p +--+=

21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes 公式）

解：设“一产品真含有杂质”记为事件A ，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B 。则要求的概率为)|(B A P ，根据Bayes 公式可得

)

|()()|()()

|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

又设“产品被检出含有杂质”记为事件C ，根据题意有4.0)(=A P ，而且8.0)|(=A C P ，9.0)|(=A C P ，所以

384.0)8.01(8.0)|(223=-??=C A B P ；027.09.0)9.01()|(22

3=?-?=C A B P

故，

9046

.01698

.01536

.0027.06.0384.04.0384.04.0)|()()|()()|()()|(==?+??=+=

A B P A P A B P A P A B P A P B A P

（第1章习题解答完毕）

第2章

随机变量及其分布

1，设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。

解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因

此有

116.04.0)4.01(4.0}{--?=-?==k k k Y P ，（ ,3,2,1=k ）

上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。

2，水自A 处流至B 处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X 表示当信号发出时水自A 流至B 的通路条数，求X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。解：X 只能取值0，1，2。设以

)3,2,1(=i A i

记第i

个阀门没有打开这一事件。则

)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ?=?==

)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，

类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X

P ，

416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为

3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X 表示15

个人中无任何健康保险的人数（设各人是

否有健康保险相互独立）。问X 服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为

15,2,1,0,8.02.0)(1515 =??==-k C k X P k k k

。

（1）,

2501.08.02.0)3(123315=??==C X P

（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X

P ；

（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；

（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X

0611.0)0()1(==-=-X P X P

4，设有一由n 个元件组成的系统，记为][/G n k ，这一系统的运行方式是当且仅当n 个元件中至少有

k )0(n k ≤<个元件正常工作时，系统正常工作。现有一][5/3G 系统，它由相互独立的元件组成，设

每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。

解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X

服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为

99144.01.09.0)(5

=??==∑∑=-=k k k k

k C

k X P

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立）解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以

∑=-?=≤=<6

080008000999.0001.0)6()7(k k

k k C X P X P

3134.0!8!)001.08000(6

0001.08000==?≈∑∑=-=?-k k k k k e k e （查表得）

。

6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~)10(π，求}15{>X P

（2）已知随机变量X~)(λπ，且有5.0}0{=>X P ，求}2{≥X P 。

解：（1）0487.09513.01}15{1}15{=-=≤-=>X P X

P ；

（2）根据5.01}0{1}0{=-==-=>-λe X P X

P ，得到2ln =λ。所以

1534.02/)2ln 1(5.01}1{}0{1}2{≈-=--==-=-=≥-λλe X P X P X P 。

7，一电话公司有5名讯息员，各人在t 分钟内收到讯息的次数

)2(~t X π（设各人收到讯息与否相互独

立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数)2(~πX 。

（1）1353.0}0{2≈==-e X

P ；

（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y 表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以

00145.0)1353.01(1353.0}4{4

45=-?==C Y P 。

（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为

()∑∑∞=-∞=-???

??=???

? ?

?0510

!32!2k k k k k e k e

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。设X 的概率密度为

?≤≤=他

其100

)(2

x kx x f ，（1）确定k ；（2）求}3

{≤X

P ；（3）求}2141{

≤≤X P ；（4）求}3

2{>X P 。解：（1）根据3

)(11

dx kx dx x f =

??+∞

∞

-，得到3=k ；（2）271313}3

/10

=???

??==

≤?dx x X P ；（3）64741213}2141{3

/14/12

=??? ??-??? ??==≤≤?dx x X P ；

（4）27193213}32{3

/22

??? ??-==>?dx x X P 。

9，设随机变量X 的概率密度为??

?≤≤=他

其1000

003.0)(2

x x x f ，求t 的方程0

4522

=-++X Xt t

有实根的概率。

解：方程04522

=-++X Xt t 有实根表明0)45(442≥--=?X X ，即0452≥+-X X ，

从而要求

4≥X 或者1≤X 。因为

001.0003.0}1{1

==≤?dx x X P ， 936.0003.0}4{10

2==≥?dx x X P

所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.

10，设产品的寿命X （以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

???≥=-他

其0

0100

)(200/2x e x x f x

（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超过一年的概率；

（3）已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

解：（1）00498.01100}1{200/11

200

/2≈-==<--?

e dx e x X

P x ；（2）000001.0100}52{200/270452

200

/2≈==>-+∞

-?e dx e x X P x ；（3）25158.0100100}

20{}

26{}2026{200/27620

200/26

200

/22≈==

>>=

>>-∞

+-+∞

-??e dx e x dx e x X P X P X X P x x 。

11，设实验室的温度X （以

计）为随机变量，其概率密度为

???≤≤--=他其210)4(91

)(2x x x f

（1）某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。

（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y 表示10个实

验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y 的分布律。

（3）求}2{=Y

P ，}2{≥X P 。

解：（1）?=

-=>2

2275

)4(91}1{dx x X

P ；（2）根据题意)27

10(~B Y

，所以其分布律为

10,2,1,0,2722275)(1010 =?

? ?????? ???==-k C k Y P k

k k

（3）

2998.02722275)2(8

10=??? ?????? ???==C Y P ，

5778.0)1()0(1)2(==-=-=≥Y P Y P Y P 。

12，（1）设随机变量Y 的概率密度为

??≤<≤<-+=他

其100102.02

.0)(y y Cy

y f

试确定常数C ，求分布函数)(y F ，并求}5.00{≤≤Y P ，}1.0|5.0{>>Y Y P 。

（2）设随机变量X 的概率密度为

??≤≤<<=他其422008/8/1)(x x x x f

求分布函数)(x F ，并求}31{

≤≤x P ，}3|1{≤≥X X P 。

解：（1）根据2

4.0)2.0(2.0)(11

dy Cy dy dy y f +

=++==

???-+∞

∞

-，得到2.1=C 。 110011)2.12.0(2.0)2.12.0(2.02.00)()(01

101≥<≤<≤--

?++++==??????---∞-y y y y dy y dy dy y dy dy dy y f y F y y

11001112.02.06.0)1(2.002

≥<≤<≤--

???+++=y y y y y y y 25.02.045.0)0()5.0(}0{}5.0{}5.00{=-=-=≤-≤=≤≤F F Y P Y P Y P ；

7106

226

)1.0(

)5.0(

}1.0

{

}5.0

{

}1.0

{

}5.0

{

}1.0

|5.0

≤

（2）

)

(

)

(

≥

≤

∞

F x

≥

≤

8/1

)1(

)3(

1{=

≤

≤F

P；

9/7

)3(

)1(

)3(

{

≤

≥

P。

13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y 表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。

解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此

(

}

{

P，（j

i≠，且n

i≤

≤,

1）

当n取3时，

}

P,（j

i≠，且3

1≤

≤j

i）,表格形式为

14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为

（1）求}1

P，}1

{≤

≤Y

P；

（2）求至少有一根软管在使用的概率；

（3）求}

P=，}2

P。

解：（1）由表直接可得}1

P=0.2，

}1,1{≤≤Y X P =0.1+0.08+0.04+0.2=0.42

（2）至少有一根软管在使用的概率为

9.01.01}0,0{1}1{=-===-=≥+Y X P Y X P

（3）}2{}1{}0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X

P =0.1+0.2+0.3=0.6

28.0}0,2{}1,1{}2,0{}2{===+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P

15,设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

?>>=+-他其，，0

,00),()42(y x Ce y x f y x 试确定常数C ，并求}2{>X P ，}{Y X P >，}1{<+Y X P 。

解：根据

1),(0

,0=??>>y x dxdy y x f ，可得

),(10

)

42(0

,0C

dy e dx e C dy Ce dx dxdy y x f y x y x y x ===

??????

+∞

-+∞

+-+∞

>>，

所以8=C

。

404220)

42(2

428),(}2{-+∞

-+∞

+-+∞

>====

>??????e dy e dx e

dy e

dx dxdy y x f X P y x

y x x ；

2)1(2428),(}{0

420

)

42(0

=-===

>???????

+∞

---+∞

-+-+∞

>dx e e dy e dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x

x x

y x y

x 2210

410

210

)

42(10

)1(428),(}1{-----+-<+-====

<+??????e dy e dx e

dy e

dx dxdy y x f Y X P x

y x

y x y x 。

16，设随机变量（X ，Y ）在由曲线1,2/,22===x x y x y 所围成的区域G 均匀分布。

（1）求（X ，Y ）的概率密度；（2）求边缘概率密度

)(),(y f x f Y X 。

解：（1）根据题意，（X ，Y ）的概率密度

),(y x f 必定是一常数，故由

),(61

),(),(12

y x f dy y x f dx

dxdy y x f x x G

==?

???，得到?

??∈=他其，0),(,6),(G y x y x f 。

（2）

???<<===??∞

+∞-他其，,01

036),()(22

2x x dy dy y x f x f x

x X ；

?????<<-<<-=?????

?????<≤<<==???∞+∞-他其，，，他

其，，，015.0)1(65.00)2(6015.065.006),()(1

2y y y y y y dx y dx dx y x f y f y y

18，设Y X ,是两个随机变量，它们的联合概率密度为

???>>=+-他其，，0,002),()1(3y x e x y x f y x ，

（1）求),(Y X 关于X 的边缘概率密度)(x f X ；

（2）求条件概率密度)|(|x y f X Y ，写出当5.0=x 时的条件概率密度；

（3）求条件概率}5.0|1{=≥X Y

P 。

解：（1）

??>===??+∞-+-∞

+∞-其他,00,22),()(0

2)1(3x e x dy e x dy y x f x f x

y x X 。（2）当0>x 时，

?>==-其他

,00

,)(),()|(|y xe x f y x f x y f xy X X Y 。特别地，当5.0=x

时

?>==-其他,

,5.0)5.0|(5.0|y e x y f y X Y 。（3）5.01

5.01

|5.0)5.0|(}5.0|1{-+∞

-+∞

====

=≥??

e dy e dy x y

f X Y P y X Y 。

19，（1）在第14题中求在0=X 的条件下Y 的条件分布律；在1=Y 的条件下X

的条件分布律。

（2）在16题中求条件概率密度

)|(|x y f X Y ，)|(|y x f Y X ，)5.0|(|x f Y X 。

解：（1）根据公式}

0{}

0,{}0|{====

==X P X i Y P X i Y P ，得到在0=X 的条件下Y

的条件分布律

为

类似地，在1=Y

的条件下的条件分布律为

（2）因为

?∈=他

其，0),(,6),(G

y x y x f 。 ?????<<==?他其，,01

036)(2

2/2

2x x dy x f x

x X ；??

???<<-<<-=他其，，，015.0)1(65.00)2(6)(y y y y y y f Y 。

所以，当10<

???<<==其他,02/,2

)(),()|(2

22|x y x x

x f y x f x y f X X Y ；

当5.00<

<<-==其他

,02,21)(),()|(|y x y y

y y f y x f y x f Y Y X ；

当15.0<≤y 时，

??<<-==其他

01,11)(),()|(|x y y

y f y x f y x f Y Y X ；

当

5.0=y 时，

???

??<<-=其他

015.0,5

.011

)|(|x y x f Y X 。

20，设随机变量（X ，Y ）在由曲线

x y x y ==,2所围成的区域G 均匀分布。

（1）写出（X ，Y ）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；

（3）求条件概率密度

)|(|x y f X Y ，并写出当5.0=x 时的条件概率密度。

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料一填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197 选择题和填空题详解试题来自百度文库答案由王馨磊导师提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为则称（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

1992-2016年浙江大学820普通物理考研真题及答案解析-汇编

2017版浙江大学《820普通物理》全套考研资料我们是布丁考研网浙大考研团队，是在读学长。我们亲身经历过浙大考研，录取后把自己当年考研时用过的资料重新整理，从本校的研招办拿到了最新的真题，同时新添加很多高参考价值的内部复习资料，保证资料的真实性，希望能帮助大家成功考入浙大。此外，我们还提供学长一对一个性化辅导服务，适合二战、在职、基础或本科不好的同学，可在短时间内快速把握重点和考点。有任何考浙大相关的疑问，也可以咨询我们，学长会提供免费的解答。更多信息，请关注布丁考研网。以下为本科目的资料清单（有实物图及预览，货真价实）： 2017年浙江大学《普通物理》全套资料包含：一、浙江大学《普通物理》历年考研真题及答案 2016年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2014年浙江大学《普通物理》考研真题 2012年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2011年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2010年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2009年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2008年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2007年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2006年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2005年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2004年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2003年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2002年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2001年浙江大学《普通物理》考研真题（含答案解析） 2000年浙江大学《普通物理》考研真题 1999年浙江大学《普通物理》考研真题 1998年浙江大学《普通物理》考研真题 1997年浙江大学《普通物理》考研真题 1996年浙江大学《普通物理》考研真题

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章随机事件和概率第一节基本概念 1、排列组合初步（1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

(完整版)浙江大学物理化学实验思考题答案

一、恒温槽的性能测试 1.影响恒温槽灵敏度的主要因素有哪些？如和提高恒温槽的灵敏度？答：影响灵敏度的主要因素包括：1)继电器的灵敏度；2)加热套功率；3)使用介质的比热；4)控制温度与室温温差；5)搅拌是否均匀等。要提高灵敏度：1)继电器动作灵敏；2)加热套功率在保证足够提供因温差导致的热损失的前提下，功率适当较小；3)使用比热较大的介质，如水；4)控制温度与室温要有一定温差；5)搅拌均匀等。 2.从能量守恒的角度讨论，应该如何选择加热器的功率大小？答：从能量守恒角度考虑，控制加热器功率使得加热器提供的能量恰好和恒温槽因为与室温之间的温差导致的热损失相当时，恒温槽的温度即恒定不变。但因偶然因素，如室内风速、风向变动等，导致恒温槽热损失并不能恒定。因此应该控制加热器功率接近并略大于恒温槽热损失速率。 3.你认为可以用那些测温元件测量恒温槽温度波动？答：1)通过读取温度值，确定温度波动，如采用高精度水银温度计、铂电阻温度计等；2)采用温差测量仪表测量温度波动值，如贝克曼温度计等；3)热敏元件，如铂、半导体等，配以适当的电子仪表，将温度波动转变为电信号测量温度波动，如精密电子温差测量仪等。 4.如果所需恒定的温度低于室温，如何装备恒温槽？答：恒温槽中加装制冷装置，即可控制恒温槽的温度低于室温。 5.恒温槽能够控制的温度范围？答：普通恒温槽(只有加热功能)的控制温度应高于室温、低于介质的沸点，并留有一定的差值；具有制冷功能的恒温槽控制温度可以低于室温，但不能低于使用介质的凝固点。其它相关问题： 1.在恒温槽中使用过大的加热电压会使得波动曲线：( B ) A.波动周期短，温度波动大； B.波动周期长，温度波动大； C.波动周期短，温度波动小； D.波动周期长，温度波动小。

概率论与数理统计期末总结

第1章概率论的基本概念 1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；（3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点样本空间随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。样本空间的子集称为随机事件，简称事件。在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算（1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生；（2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?；（3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生；（4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生；（5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生；（6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生；（7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =?=?,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,；（3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,；（4）幂等律 A AA A A A ==?, ；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足：（1）1)(0≤≤A P ；（2）1)(=ΩP ；（3）若事件，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质（1）0)(=φP ；（2）若事件n A A A ，，， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ；（3）)(1)(A P A P -=；（4）)()()(AB P B P A B P -=-。特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-；（5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

大学物理习题册-陈晓-浙江大学出版社第七.八章答案

1、磁场的高斯定理??=?0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 A 、ad ； B 、ac ； C 、cd ； D 、ab 。 [ ] 1. A 解释：磁感线闭合的特性。 2 洛仑兹力可以 A 、改变带电粒子的速率； B 、改变带电粒子的动量； C 、对带电粒子作功； D 、增加带电粒子的动能。 [ ] B 解释：洛仑兹力的特点，改变速度方向不改变速度大小。 3 如图所示，两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? A 、0； B 、R I 2/0μ； C 、R I 2/20μ； D 、R I /0μ。 [ ] C 解释：两个圆电流中心磁感强度的合成，注意方向。 4 一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管（R=2r ），两螺线管的匝数密度相等。两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足： A 、r R B B 2=； B 、r R B B =； C 、r R B B =2； D 、r R B B 4=。 [ ] B 解释：参考长直螺线管内部磁感强度公式nI B 0μ=，场强与半径无关。

5 B 6 D

7 B 一质量为m 、电量为q 的粒子，以速度υ垂直射入均匀磁场B 中，则粒子运动轨道所包围范围的磁通量与磁场磁感应强度B 大小的关系曲线是 [ ] （A ）（B ）（C ）（D ）解释：由半径公式qB m R υ = 求出磁通量表达式，反比关系。 8 如图所示，有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感应强度B 的大小为： A 、 () b a I +πμ20 ； B 、； ) 2 1 (20b a I +πμ C 、b b a a I +ln 20πμ； D 、a b a b I +ln 20πμ。 [ ] C 解释：铜片上取线电流，由无限长线电流磁感强度公式) (20x b a a Idx dB -+= πμ积分求出p 点

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选择题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填空题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计课后习题答案

习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。解（1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ；（3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ；（4）ABC ABC ABC U U ；（5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解（1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。解设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。解（1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》试卷A （考试时间：90分钟；考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =，则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件：（1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。的度量对应区域的度量对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式：设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率）乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式：（全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。（贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性：两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。二、随机变量和分布函数:

(完整版)大学物理习题册-陈晓-浙江大学出版社第二章答案

P8. 1.B A 重力在速度方向上的分力，大小在变，a τ 不为恒量 B 正确 2 2 sin sin N n N N v F mg ma m R v F m mg R v F θθθ-===+↑↑↑ C 合外力为重力和支持力的合力，错 D 错 2.C 说的是“经摩擦力”，应和重力构成平衡力。 3A 212 s at t = === 4C 杆Mg f Ma += 猴,0mg f ma -== 得M m a Mg += 5A 合外力为0 6C

() (sin )*(sin )(sin )0ma Fcos mg Fsin F cos mg cos a da F cos d tg θμθθμθμθμθμθθθ μθ =--=+-+=-==取最大值，则取最大值 7B 8B 2 sin cos v N m R N mg v Rgtg θθθ ?=???=?= 9

10 一质量为5kg 的物体（视为质点）在平面上运动，其运动方程为263()r i t j SI =-r r r ，则物体所受合外力f r 的大小为_____；其方向为______. 解因为()22 5630d r f m j j dt ==?-=-r r r ，所以物体所受合力f r 的大小为30N ，其方向沿y 轴负向。 11 0000000000022002cos cos sin sin cos (1cos )v t x t x dv F a t dt m F dv t dt m dx F v t dt m F dx t dt m F F x x t m m F x t x m ωωωωωωωωωωω= ==?===?-=-+=-+????

概率论与数理统计课后习题答案

第一章随机事件及概率第一节样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8

{}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。