初中数学解题技巧(史上最全)

目录

一选择填空题解题技巧（一）

二选择填空题解题技巧（二）

三初中数学常用十大解题技巧举例

四数学思想在初中数学解题中的应用

选择题与填空题解题技巧（一）选择题和填空题是中考中必考的题目，主要考查对概念、基础知识的理解、掌握及其应用．填空题所占的比例较大，是学生得分的重要来源．近几年，随着中考命题的创新、改革，相继推出了一些题意新颖、构思精巧、具有一定难度的新题型．这就要求同学切实抓好基础知识的掌握，强化训练，提高解题的能力，才能在中考中减少失误，有的放矢，从容应对．

解题规律：要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确计算能力、严密的推理能力外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧．常用方法有以下几种：

(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念，公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法．

(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代人条件中去验证，找出正确答案．此法称为验证法(也称代入法)．当遇到定量命题时，常用此法．

(3)特值法：用合适的特殊元素(如数或图形)代人题设条件或结论中去，从而获得解

答．这种方法叫特殊元素法．

(4)排除、筛选法；对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法．

(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法．图解法是解选择题常用方法之一．

(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽地分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法．

(7)整体代入法：把某一代数式进行化简，然后并不求出某个字母的取值，而是直接把化简的结果作为一个整体代入。

【典例剖析】

1.（直接推演法）下列命题中，真命题的个数为（ ）

①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半，③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等，④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 2．（整体代入法）已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式

22008m m -+的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009

3．（图解法）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，

7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是 （ ）

A ．y 1＜y 2＜y 3

B ．y 2＜y 1＜y 3

C ．y 3＜y 1＜y 2

D ．y 1＜y 3＜y 2

4．（特值法）如图所示是二次函数2122y x =-+的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最．

接近的值是（ ）

A ．4

B ．163

C ．2π

D ．8

5．（排除、筛选法）已知：二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，

则a 的值为（ ）

A .－1

B ． 1

C . －3

D . －4

6.（图解法）如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A=90°，AB=28cm ，DC=24cm ，AD=4cm ，点M 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点C 运动，点N 从点B 同时出发，以2cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.则四边形AMND 的面积y （cm 2）与两动点运动的时间t （s ）的函数图象大致是（ ）

7.（分析法）已知α为锐角，则m =sin α+cos α的值（ ）

A ．m ＞1

B ．m =1

C ．m ＜1

D ．m ≥1

8.（验证法：）下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元

二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若23b a c =+，则一元二次方程

20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（ ）． Ｏ x y

Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．

9．（直接推理法）如图，菱形ABCD （图1）与菱形EFGH （图2）的形状、大小完全相同．ww （1）请从下列序号中选择正确选项的序号填写；

①点E F G H ，，，；②点G F E H ，，，；③点E H G F ，，，；④点G H E F ，，，．

如果图1经过一次平移后得到图2，那么点A B C D ，，，对应点分别是 ；

如果图1经过一次轴对称后得到图2，那么点A B C D ，，，对应点分别是 ； 如果图1经过一次旋转后得到图2，那么点A B C D ，，，对应点分别是 ；

（2）①图1，图2关于点O 成中心对称，请画出对称中心（保留画图痕迹，不写画法）； ②写出两个图形成中心对称的一条．．

性质： ．（可以结合所画图形叙述） 10．（图象信息法）绍兴黄酒是中国名酒之一．某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示． 某日8:00～11:00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有 条．

11. ( 直接计算法) 如图, 大圆O 的半径OC 是小圆1O 的直径, 且有OC 垂直于圆O 的直径AB . 圆1O 的切线AD 交OC 的延长线于点E , 切点为D . 已知圆1O 的半径为r ,则=1AO _______ ; =DE ________

图1 B

A C D 图 2 G

F E H

12．（分析法）如图所示，直线12l l ⊥，垂足为点O ，A 、B 是直线1

l 上的两点，且OB=2，AB=2．直线1l 绕点O 按逆时针方向旋转，

旋转角度为α（0180α<<）。

（1）当α=60°时，在直线2l 上找点P ，使得△BPA 是以∠．B ．为顶角．．．

的等腰三角形，此时OP=___ ___。

（2）当α在什么范围内变化时，直线2l 上存在点P ，使得△BPA 是以∠．B ．

为顶角．．．

的等腰三角形，请用不等式表示α的取值范围：___ ___。 13．（分类讨论法）已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，

四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），

点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。

【强化训练】

1．现有一扇形纸片，圆心角∠AOB 为120°，弦AB 的长为23cm ，

用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半

径为（ ）新课标第一网

A ．32cm

B ．π32cm

C ．23cm

D ．π2

3cm 2．如图，在Ｒt △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°,∠Ａ＝30°,Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ：ＥＢ＝4：1 ，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）

32353 A.53333

Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3. 下列命题是假．

命题的是（ ） A. 若x y <，则x +2008

47

x y -的系数是-4

y –1 3

3 O x P 1 C. 若21(3)0,x y -+-=则1,3x y == D. 平移不改变图形的形状和大小

4. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a

x 与正比例函数 y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）

5．李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析

式 ．

6.如图为二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；

②方程ax 2＋b x ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0

④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。正确的说法有_____________。

(填序号)

7.将半径为4cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如右图），

当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm.

8.已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，它的侧面积是 ______

9.若O 为△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，则∠BAC = °

10．已知下列命题：①若a>0,b>0,则ab>0; ②平行四边形的对角线互相

垂直平分; ③ 若∣x ∣=2,则x ＝２ ; ④圆的切线垂直于经过切点的

直径，其中真命题是 （填序号）

11．下列命题：①正多边形都是轴对称图形；②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况；③方程1

312112-=+--x x x 的解是0=x ；④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等地。其中真命题的有 （填序号）

12．在平面直角坐标系中，将A( 1，0)、B( 0，2)、C( 2，3)、D(3，1) 用线段依次连接起来形成一个图案（图案①）。

（1）直接写出图案①的面积： ；

（2）请按要求对图案作如下变换：

a ．将图案①绕点O 逆时针旋转90°得到图案②；

b ．以点O 为位似中心，位似比为2∶1将图案①

在位似中心的异侧进行放大得到图案③；

（3）若图案①上某点P （在第一象限内）的坐标为（a ，b ），

图案②中与之对应的点

为点Q ，图案③中与之对应的点为R 。则S △PQR ＝ ．

初中数学选择题、填空题解题技巧（二）

选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。

1.排除选项法：

选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案那么我们就可以采用排除法从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案那么留下的一个自然就是正确的答案。

例1 一次函数y=-3x+2的大致图象为（ ）

A B C D

解析：因为k=-3＜0，所以y 随着x 的增大而减小，故排除C 、D 。又因为

O x

y A B C

D ① o x o o x o y y y y x

x x

b=2＞0，所以图象交于y 轴正半轴，故排除A ，因此符合条件的为B 。

对于正确答案有且只有一个的选择题，利用题设的条件，运用数学知识推理、演算，把不正确的选项排除，最后剩下一个选项必是正确的。在排查过程中要抓住问题的本质特征

2.赋予特殊值法：

即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。

例2.如果m

A.m-9

B.-m>-n

C.1m <1n

D.m n

>1 有些问题从理论上论证它的正确性比较困难，但是代入一些满足题意的特殊值，验证它是错误的比较容易，此时，我们就可以用这种方法来解决问题。

例 3 已知ABC △中，60A ∠=，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，则BOC ∠的度数为 ．

分析：此题已知条件中就是ABC △中，60A ∠=说明只要满足此条件的三角形都一定能够成立。故不妨令ABC △为等边三角形，马上得出BOC ∠=120。

例4、填空题：已知a<0，那么，点P(-a 2-2，2-a)关于x 轴的对称点是在第_______象限. 解：设a=-1，则P{-3，3}关于x 轴的对称点是 {-3，-3}在第三象限，所以点P(-a^2-2，2-a)关于x 轴的对称点是在第三象限.

3.观察猜想法：

这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。

例5 用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个

图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.

…

分析：从第1个图中有4枚棋子4=3×1+1，从第2个图中有7枚棋子7=3×2+1, 从第3个图中有10枚棋子10=3×3+1,从而猜想：第n 个图中有棋子3n+1枚.

例6 一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，11

4b a

，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．

分析：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。

通过观察已有的四个式子，发现这些式子前面的符号一负一正连续出现，也就是序号为奇数时负，序号为偶数时正。同时式子中的分母a 的指数都是连续的正整数，分子中的b 的

指数为同个式子中a 的指数的3倍小1，通过观察得出第7个式子是20

7b a

-，第n 个式子是31

(1)n n

n b a --。 4、直接求解法：

有些选择题本身就是由一些填空题、判断题解答题改编而来的因此往往可采用直接法直接由从题目的条件出发通过正确的运算或推理直接求得结论再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。

例7 如图，点C 在线段AB 的延长线上，?=∠15DAC ，?=∠110DB C ，则D ∠的度数是_____________

分析：由题设知?=∠15DAC ?=∠110DB C ，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的

两个内角的和知识，通过计算可得出D ∠=?95．

5、数形结合法：

"数缺形时少直观，形缺数时难入微。"数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，

图形的特征上也体现着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到"形帮数"的目的;

同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处A B C D

理形的方法，来达到"数促形"的目的。对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例8、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，，则

S1+S2+S3+S4=_______。

解：四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，可设它们的边长分别为a、b、c、d，由直角三角形全等可得

解得a^2+b^2+c^2+d^2=4，则S1+S2+S3+S4=4.

6、代入验证法

与直接法的思考方向相反，它将选择支中给出的答案逐一代入已知条件中进行验证，与已知相矛盾的为错误选项，符合条件的为正确选项。

例9方程（x+1）2=9的根是（）

A．x=2 B.x=-4 C .x

1=2 x

2

=-4 D .x

1

=4 x

2

=-2

解析：把x=2、-2、4、-4分别代入方程（x+1）2=9中

发现只有x=2和x=-4能使方程左右两边相等，所以选择答案C

7、枚举法：

列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。

例10:，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( )

(A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。

分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B.

8、待定系数法：

要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。

例11:如图，直线AB对应的函数表达式是( )

A.y=-x+3

B.y=x+3

C.y=-x+3

D.y=x+3

解析:把点A（0，3），B（2，0）代入直线AB的方程，用

待定系数法求出函数关系式，从而得出结果．

解：设直线AB对应的函数表达式是y=kx+b，

把A（0，3），B（2，0）代入，

得，

故直线AB对应的函数表达式是y=-x+3．故选A．

9、整体法

例12. 如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2－y2的值是 c 分析：若直接由x+y=-4，x-y=8解得x，y的值，再代入求值，则过程稍显复杂，且易出错，而采用整体代换法，则过程简洁，妙不可言．

分析：x2－y2=（x+y）（x-y）=-4×8=-32

10.实践操作法

例13.如图所示，将正方形纸片三次对折，并剪出一个等腰直角三角形后铺平，得到的图形是（）

??

A B C D

以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。

初中数学十大解题方法详解

1、配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

例题：

用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( )

A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3

【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。

【解】将方程x2+4x+1=0，

移向得：x2+4x=－1，

配方得：x2+4x+4=－1+4，

即(x+2) 2=3；

因此选D。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

例题：

若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1

【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。

【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），

即x2+mx-3=（x-1）（x+3），

∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，

∴m=2；

因此选B。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

例题：

已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（）

A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1

【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单

【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得

(t+1)(t+3)=8，化简得：

(t+5)(t-1)=0，

解得：t1=-5，t2=1

又t≥0

∴t=1

∴x2+y2的值为只能是1．

因此选B．

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数

等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

注意：①△=b 2-4ac ＜0，方程无实数根，即无解；②△=b 2-4ac =0，方程有两个相等的实数根；③△=b 2-4ac ＞0，方程有两个不相等的实数根。

例题：

当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

【分析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。

【解】当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；

当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：

△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥2

5- ∴当m ≥2

5-

且2±≠m 时，方程有实根。 综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

例题：

例1. 已知函数y＝mx x n

x

2

2

43

1

++

+

的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。【解】函数式变形为： (y－m)x2－43x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0

∴△＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0 即： y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①

不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，

代入两根得：

1120

497120

+++-=

-++-=

?

?

?

()

()

m n mn

m n mn

解得：

m

n

=

=

?

?

?

5

1

或

m

n

=

=

?

?

?

1

5

∴ y＝5431

1

2

2

x x

x

++

+

或者y＝

x x

x

2

2

435

1

++

+

此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0，然后与不等式①比较系

数而得：

m n

mn

+=

-=-

?

?

?

6

127

，解出m、n而求得函数式y。

六、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法．运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决．例一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱高是2m．当水面下降1m 后，水面宽度是多少？（结果精确到0.1m）

【点拨】本题和实际问题结合紧密，图象是我们学过的抛物线，所

以要学会构造数学模型，建立坐标系，通过这种方法，可以很巧妙

地利用我们学过的知识．

解：如图所示，以桥面为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立坐标系，则点O （0，0），A （-2，-2），B （2，-2）设拱桥抛物线的函数为2

y ax bx c =++

又因为抛物线过点O 、A 、B ,由图可知点A 、B 关于y 轴对称，

点C 、D 关于y 轴对称．将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线的函数，可得：0242242c a b c a b c =??-=-+??-=++?

解得：1

002a b c =-==、、，则抛物线的方程为212

y x =- 设点C （-m ,-3）,D(m ,-3)可的m =6，那么CD =26

所以，若水面下降1米，水面的宽度为26．

练习：如果32

8x ax bx +++有两个因式1x +和2x + ,则a +b 的值是

(注：此题难度较大，学有余力的同学可以挑战一下！)

七、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法．反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论．

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨，导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．

例 已知:如图，l 1∥l 2 ,l 2∥l 3，求证： l 1∥l 3

【点拨】此题直接证，证起来不太容易，如果能够采用从反面来证的话，非常容易达到目的．

证明：假设1l 不平行3l ，则1l 与3l 相交，设交点为P.

∵1l ∥2l , 2l ∥3l ,

则过点P 就有两条直线1l 、 3l 都与2l 平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．

所以假设不成立，即求证的结论成立，即 1l ∥3l

练习：

已知：如图，直线a 、b 被直线c 所截，

∠1 ≠ ∠2

求证：a ∥b

八、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果．运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法．

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线．面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果．所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置辅助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到．

例 如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC = 90°，

BE ⊥CD ，CD =BC ．求证：AB = BE ．

【点拨】一般的四边形问题，通常就是把它转化为三角形来处理．初

看AB 与BE 这两条线段，它们之间并没有什么明显的联系．在这里，

21c b

a E D C

B A D A

作DM ⊥BC ，连接BD 就实现了转化．

证明：连接BD ，作DM ⊥BC 于M ．

则四边形ABMD 为矩形，有AB=DM ，在△BDC 中，BE 和DM 分别是边CD 、BC 上的高，由面积相等，可得1122

BC DM DC BE ?=?，即BC DM DC BE ?=?，由条件CD =BC ，可得DM=BE ，且AB=DM ，可得AB = BE ．

练习：

如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 是AC 上一点，

BD=DC ，P 是BC 上任一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ．求

证：PE +PF=AB ．

九、几何变换法

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决．中学数学中所涉及的变换主要是初等变换．有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易．另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中．将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识．

几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称．

例 如图，线段AB=CD ，AB 与CD 相交于点O ，且∠AOC =60°，

CE 是由AB 平移所得，则AC+BD 与AB 的大小关系是

______________

【答案】A C B D A B

+≥ 【解析】将AB 沿AC 平移到CE ，连结BE 、DE ，由平移的特征可知AB=CE ，AC=BE ，∴∠OCE =∠AOC =60°，

又∵CD =AB ，∴CD =CE ，

F

E P D C B A E D C B

A O

所以△CDE 是等腰三角形，即CD =CE =DE =AB ，

∵DB+BE >DE ，所以DB+AC >AB ，

而当AC ∥DB 时，DB+AC=AB ，

故 AC BD AB +≥

练习：复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ =CP ．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ =CP 之后，将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ =CP ”仍然成立，请你就图②给出证明．

十、客观性题的解题方法

选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型．选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面．

填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识覆盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况．

要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧．下面通过实例介绍常用方法．

（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理图① Q P C B A A Q B P C 图②