小学数学三年级奥数教案《奥数解析：用倒推法解应用题》

三年级奥数解析：用倒推法解应用题

综述：有些应用题解法的思考，是从应用题所叙述事情的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析推理。追根究底，逐步靠拢所求，直到解决问题。这种思考问题的方法，通常我们把它叫做倒推法。

故事为铺垫例题：张二痞平时好吃懒做，还一心想发财，一天，他依在一棵大槐树上正幻想着如何发财，突然来了一位白发苍的老人，看透了他的心事，笑了笑对他说：“小伙子，我知道你在想什么，想发财，我可以帮助。”张二痞高兴得跳起来：“真的！你帮我发了才，一定感谢你。”老人说：“我知道你身上有钱，但不多，这样吧，把你身上的钱往身后树洞里一放，我吹一口气，你的钱就会增加一倍，然后你给我32元作为报酬。”小伙子照样办了，钱果然增长了一倍，他恳求老人再来一次，钱一放，吹口气，又增加一倍，付给老人32元………经过四次之后，张二痞从树洞里取出32元，付给了老人，他变得两手空空的了。十分沮丧。老人把钱还给张二痞说：“小伙子，要发财，还得靠自己勤劳。”说完老人不见。这是怎么一回事？张二痞原来有多少钱？我们用“○”表示小伙子原来的钱数，按照上面说的，就会得到下面的图示：

从上图就会发现，如果顺着算是很是很难算出原来的钱数，

如果我们从最后的结果，倒推回去，就很容易算出原来的钱数，如果给老人32

元，最后一次从树洞里取出的钱就是32元，第

4

次放进去的钱就是32÷2＝16元了，照这样倒推回去，就得到下面的图示：

2－32 ×2－32

（4） （3）

（2） （1）

这样倒着推算的结果是张二痞原来只有30元。

有些问题，从已知条件出发，向所求的问题顺着推算得到答案是很困难的，如果从应用题所叙述的叙述的最后结果出发，倒着向前一步一步分析推算，直到解决问题，解起来就容易得多，这种利用已知条件，按照题目叙述的过程向相反的方向倒着推理思考、解答问题的方法，通常叫做“倒推法”。

例1 小聪问小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4。请你算一算，我今年几岁？”

分析与解 分析时可以从最后的结果“4”逐步倒着推。这个数没除以5时应该是多少？没加上6时应该是多少？没乘以7时是多少？没减去8时是多少？这样依次逆推，就可以推出小明的年龄数。

（1）“除以5，正好等于4”。如果不除以5时，此数是：

4×5=20

（2）“加上6”此数是20，如果没加上6时，该数是：

20-6=14

（3）“乘以7”此数是14，如果不乘以7时，这个数是：

14÷7＝2

（4）“我的年龄数减去8”，此数是2，如果不减去8时，我的年龄数是：

2＋8=10

综合列式计算：

（4×5-6）÷7+8

=（20-6）÷

7+8

×2－32

×2－32 （4）

（3） （2） （1）

＝14÷7＋8

=10（岁）

验算：为了保证解题正确，可按原题的叙述顺序进行列式计算，看最后结果是否“正好等于4”。若等于4，则解题正确。

［（10-8）×7＋6］÷5

=（2×7+6）÷5

＝20÷5

=4

答：小明今年10岁。

例2 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来有多少米？

分析与解为了帮助同学们分析数关系，可依照题意画出图1。

从线段图上可以看出：

（1）7+15-10=12（米），就是第一次用去后余下的一半。

（2）12×2=24（米），就是余下的电线长度。

（3）24＋3=27（米），就是全长的一半。

（4）27×2=54（米），就是原来电线的长度。

综合列式计算：

［（7＋15-10）×2＋3］×2

=（12×2+3）×2

=27×2

=54（米）

验算：第一次用去的：54÷2＋3=30（米）

第二次用去的：（54-30）÷2-10=2（米）

剩下的：54-30-2-15=7（米）

答：这捆电线原来有54米。

例3 、一条毛毛虫从幼虫长到成虫，每天长一倍，24天能长到20厘米，当长到5厘米时需要用多少天？

解题关键：毛毛虫每天长一倍的意思是：第二天的身长是第一天的2倍，第三天的身长是第二天的2倍，第四天的身长是第三天的2倍，……，从24天能长到20厘米开始，往前倒推，当长到20÷2＝10厘米时，就是第23天，以此倒推。

解法一：用倒推法解

20÷2÷2＝5（厘米）24－1－1＝22天。

解法二：用列表倒推法解：

答长到5厘米时要用22天。

例4：小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？

分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。

解：123-4＋50＝169。

答：正确的结果应是169。

例5：甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？

分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为

甲组有30＋3＝33（本），

乙组有30—3＋5＝32（本），

丙组有30—5＝25（本）。

例6：袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？

分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如下：

所以原来袋中有34个球。

例7：货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。货场原有煤多少吨？

分析与解这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图2，然后再分析。

结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可跃然纸上，使同学们一目了然。

根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求出剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。

（1）剩余煤的吨数是：

1200÷2＝600

（2）现有煤的一半是：

600＋50=650（吨）

（3）现有煤的吨数是：

650×2=1300

（4）原有煤的一半是：

1300-450=850（吨）

（5）原有煤的吨数是：

850×2=1700

综合列式计算：

［（1200÷2＋50）×2-450］×2

=［（600＋50）×2-450］×2

=（650×2-450）×2

=（1300-450）×2

＝850×2

=1700（吨）

验算：第一次运出的煤：1700÷2=850（吨）

第二次运进后现有的煤：

1700-850＋450=1300（吨）

第三次运出的煤：1300÷2＋50=700（吨）

剩余的煤：1300-700=600（吨）

剩余煤的2倍是：600×2=1200（吨）

验算结果符合题意，说明解题正确。

答：货场原来有煤1700吨。

例8 有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？

分析与解请看线段图3。

从上面的线段图可以看出：最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是（2×2=）4个；

4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是（5×2=）10个；

10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是（11×2=）22个。

22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱。

（1）先求有多少个苹果：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2

=｛［2×2＋1］×2+1｝×2

=（5×2+1）×2

=11×2=22（个）

（2）再求每个苹果平均值多少钱:

6元6角=66角或6.6元

66÷22=3（角）或6.6÷22=0.3（元）

验算：甲取出的：22÷2+1=12（个）

乙取出的：（22-12）÷2+1=6（个）

丙取出的：（22-12-6）÷2＋1=3（个）

最后剩下的：22-（12＋6＋3）=1（个）

整筐苹果共值：3×22=66（角），即6元6角。

验算结果符合题意，证明解题正确。

答：每个苹果平均值3角钱。

倒推法也是一种常用的思考方法，在解答这类应用题时，要根据题目的特点，从问题的最后结果着手倒推去解决问题。有些题目如果用倒推法去解，那么就可以化难为易，化繁为简。请你做下面的练习，以便更好地掌握这种方法。

解题在于实践：

1．一个数加上2，减去3，乘以4，除以5，结果等于12。问这个数是多少？

2．一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8。问这个数是多少？

3．修路队修一条公路，第一天修了全长的一半少40米；第二天修了余下的一半多10米，还剩60米。这条公路全长多少米？

4．妈妈从副食店买回几个鸡蛋。第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天又吃了余下的一半又半个，恰好吃完。妈妈从副食店买回多少个鸡蛋？

5．某仓库运出四批原料，第一批运出的占全部库存的一半，第二批运出的占余下的一半，以后每一批都运出前一批剩下的一半。第四批运出后，剩下的原料全部分给甲、乙、丙三个工厂。甲厂分得24吨，乙厂分得的是甲厂的一半，丙厂分得4吨。问最初仓库里有原料多少吨？

6．有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑得太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？

答案：

1．这个数是16。

12×5÷4+3-2=15+3-2=16

2．这个数是1。

（8×8+8）÷8-8=（64+8）÷8-8=9-8=1

3．这条公路全长200米。

[（60+10）×2-40]×2=（140-40）×2=200（米）

4．7个。

有的同学一看每次都吃“一半又半个”，认为这不符合实际，于是就不去进行仔细认真地分析，被“半个”这一假象所迷惑。其实，只要采用倒推法，就很容易知道第三天吃了0.5×2=1（个），于是问题就可以迎刃而解了。

[（0.5×2+0.5）×2+0.5]×2

=（1.5×2+0.5）×2

=3.5×2=7（个）

5．最初仓库里有原料640吨。

先求第四批运出后剩下多少吨原料：

24+24÷2+4=24+12+4=40（吨）

再用倒推法求最初仓库里有原料多少吨：

40×2×2×2×2=640（吨）

6．最初弟弟准备挑16块。

先利用“和差”问题的解法求弟弟最后挑多少块：

（26-2）÷2=24÷2=12（块）

再利用倒推法求最初弟弟准备挑多少块：

｛26-[26-（12+5）]×2｝×2

=｛26-[26-17]×2｝×2

=（26-9×2）×2

=8×2=16（块）