高等数学(上)重要知识点归纳

高等数学（上）重要知识点归纳

第一章 函数、极限与连续

一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）

,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞

→ε当N n >时，ε<-||a x n

2、性质

(1) )()()(lim 0

x A x f A x f x

x α+=⇔=→，其中)(x α为某一个无穷小。 (2)(保号性）若0)(lim 0

>=→A x f x

x ，则,0>∃δ当),(0δx U x o

∈时，0)(>x f 。

(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。 二、求极限的主要方法与工具

1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim

=∆

∆

→∆ (2)e =◊

+◊

∞

→◊)11(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法 常用替换：当0→∆时

（1)∆∆~sin （2）∆∆~tan （3）∆∆~arcsin （4)∆∆~arctan （5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）n

n ∆-∆+~

11

4、分子或分母有理化法

5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价 四、连续与间断点的分类 1、连续的定义*

)(x f 在a 点连续

)()()()()(lim 0lim 0

a f a f a f a f x f y a

x x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆

2、间断点的分类⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨

⎧其他震荡型（来回波动）

）

无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）

第一类 3、曲线的渐近线*

a

x x f A

y A x f a

x x =∞===→∞

→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(

五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理

第二章 导数与微分

一、导数的概念 1、导数的定义*

a

x a f x f x a f x a f x y dx dy a f y a

x x x a x a x --=∆-∆+=∆∆==

'='→→∆→∆==)

()(lim

)()(lim lim |)(|00

2、左右导数 左导数a

x a f x f x y a f a x x --=∆∆='-

-

→→∆-)

()(lim

lim

)(0 右导数a

x a f x f x y a f a x x --=∆∆='+

+

→→∆+)

()(lim

lim

)(0 3、导数的几何意义*

k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=

4、导数的物理意义

加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。可导→ 二、导数的运算

1、四则运算 v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')( 2

)(v

v u v u v u '

-'=' 2、复合函数求导 设)]([x f y ϕ=，一定条件下

x

u u y dx

du

du dy dx dy ''== 3、反函数求导 设)()(1y f x x f y -==和互为反函数，一定条件下：y

x x y '=

'1

4、求导基本公式*（要熟记）

5、隐函数求导* 方法：在0),(=y x F 两端同时对x 求导，其中要注意到：y 是中间变量，然后再解出y '

6、参数方程确定函数的求导* ⎩⎨⎧==)

()

(t y y t x x 设，一定条件下

3

)

()(,t t t t t t t

t

t x x t t x x x y x y x x y dx y d y x y dx dy y ''''-'''=''''='=''''=='（可以不记） 7、常用的高阶导数公式 （1）...)2,1,0(),2

sin(sin

)

(=+=n n

x x n π

（2）...)2,1,0(),2

cos(cos )(=+=n n x x n π （3）...)12(,)

1()!

1()1()1(ln 1

)(=+--=+-n x n x n

n n （4）...)2,1,0(,)

1(!)1()11(1

=+-=++n x n x n n n （5）（莱布尼茨公式）∑=-=n

k k k n k n n v u C uv 0

)()()

()(

三、微分的概念与运算 1、微分定义 *

若)(x o x A y ∆+∆=∆，则)(x f y =可微，记Adx x A dy =∆= 2、公式：dx x f x x f dy )()('=∆'= 3、可微与可导的关系* 两者等价

4、近似计算 当较小时，

||x ∆dy y ≈∆，x x f x x f x f ∆'+∆+≈)()()(