2011年高考数学二轮复习5.1直线与圆

专题五：解析几何

【备考策略】

根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：

1．直线的倾斜角、斜率及它们间的关系。

2．两直线平行与垂直的充要条件。

3．点到直线的距离、两平行线间的距离。

4．圆的方程（标准方程和一般方程）。

5．直线与圆的位置关系。

6．椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质。

7．直线和圆锥曲线的位置关系，同时常与平面向量、数列、不等式结合，且每年必考。

第一讲直线与圆

【最新考纲透析】

1．直线与方程

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。

（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

2．圆与方程

（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。

（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。

（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

3．空间直角在系

（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。 （2）会推导空间两点间的距离公式。

【核心要点突破】

要点考向1：直线的倾斜角、斜率、距离问题

考情聚焦：1．直线的倾斜角、斜率、距离问题是最基本问题，是高考中常考的知识。 2．该类问题常与平面向量结合，体现知识的交汇。 3．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。

考向链接：1．直线的倾斜角和斜率反映了直线的倾斜程度。已知斜率求倾斜角时，通常可以结合正切函数的图象求解，要注意当斜率的取值范围有正有负时，倾斜角是分段的，如直线斜率的范围是[-1，1]，则倾斜角的取值范围是

，而不是

2．对于距离要熟记有关公式，并能灵活运用。

例1：若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：

①15

②30

③45

④60 ⑤75

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】两平行线间的距离为21

1|13|=+-=

d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为o 45，

所以直线m 的倾斜角等于304575o += 或453015o -=

。故填写① ⑤

答案:①⑤

要点考向2：两直线的位置关系

考情聚焦：1．两直线的位置关系——平行或垂直是高考考查的重点内容。 2．多以选择题、填空题的形式呈现，属容易题。

考向链接：两条直线

和

平行充要条件为

且

垂直的充要条件为

0，

要熟练掌握这一条件。判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况。

例2：（2010·安徽高考文科·Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是

（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 【命题立意】本题主要考查直线平行问题。

【思路点拨】可设所求直线方程为20x y c -+=，代入点（1，0）得c 值，进而得直线方程。

【规范解答】选A ，设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --= ，

要点考向3：圆的方程

聚焦考情：1．圆的方程及求法是很重要的一类问题，是高考中的必考内容。 2．各种题型均可出现，属中低档题。

考向链接：求圆的方程一般有两类方法：（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；（2）代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。其一般步骤是：

①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式； ②利用条件列出关于的方程组；

③解出

，代入标准方程或一般方程。

此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量。

例3：(2010·广东高考文科·Ｔ6）若圆心在x 轴上、

O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）

A

．22(5x y += B

．22(5x y += C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++= 【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.

【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】选D 设圆心为(,0)(0)a a <

，则r =

=5a =-，所以，所求圆的方

程为：2

2(5)5x y ++=，故选D .

要点考向4：直线和圆的位置关系

聚焦考情：1．直线和圆的位置关系是每年必考内容，有时和向量相结合，体现了知识的交汇。 2．考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属中、低档题目。 例4：（2010·重庆高考文科·Ｔ8）若直线y x b =-与曲线2cos sin x y θ

θ

=+??

=?，（[)0,2θπ∈）有两个不

同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ）

A

．(2 B

．2??

C

．(,2(2)-∞?+∞ D

．(2

【命题立意】本小题考查直线、圆的方程的基础知识，体现了方程的思想、数形结合的思想及化归与转化的思想.

【思路点拨】先把圆的参数方程化为普通方程，再与直线方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用判别式求解；或数形结合法，画出圆的图形，平移直线y x b =-观察计算.

【规范解答】选 D . （方法一）消去参数θ得22(2)1x y -+=，与y x b =-联立方程组，消去y 得：

222(42)30x b x b -+++=，因为直线与曲线有两个不同的公共点，所以22[(42)]8(3)0b b ?=-+-+>，即2420b b -+<

，解得22b <<

（方法二）把圆的参数方程代入直线方程得：sin 2cos

b θθ=+-，即sin cos 2b θθ+=-

，所以sin()4

π

θ+

=

，所以11-<<，

解得22b <<

（方法三）如图所示，直线与圆相切之间的情形 符合题意，计算圆心（2，0）到直线y x b =-的

距离等于圆半径1

1=

，解得2b =±

所以22b <<【方法技巧】（1）判别式法:直线与曲线的交点问题转化为方程的解的个数问题；（2）利用三角函数的值域求解；（3）数形结合法.

注：直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d ，及半弦长，构成直

角三角形的关系来处理。

【高考真题探究】

1．（2010 ·海南宁夏高考·理科T15）过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆

C 的方程为 .

【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.

【思路点拨】由题意得出圆心既在点,A B 的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，进而可求出圆心和半径.

【规范解答】由题意知，圆心既在过点 B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，又在点,A B 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，,A B 的中垂线为3x =，联立

方程303x y x +-=??

=?，解得3

x y =??=?，即圆心(3,0)C ，

半径r CA ==

22(3)2x y -+=.

【答案】22(3)2x y -+=

2．（2010·广东高考理科·Ｔ１2）已知圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是

【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.

【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.

【规范解答】设圆心坐标为(,0)a =2a =±，又圆心位于y 轴左侧，所以2a =-.

故圆O 的方程为22(2)2x y ++=. 【答案】22(2)2x y ++=

3．（2010·山东高考理科·Ｔ16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被

圆C 所截得的弦长为l 垂直的直线的方程为 ．

【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】根据弦长及圆心在x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再根据垂直关系可求直线方程. 【规范解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：

2

2+2=(a-1)

，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0.

【答案】x+y-3=0

【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的

直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.

2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.

4．（2010·山东高考文科·Ｔ１6）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被

该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .

【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】根据弦长及圆心在x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径. 【规范解答】设圆心坐标为(a,0)，圆的半径为r ，则由题意知：2

2+2=(a-1)

，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），222(1)(31)4,r a =-=-=

故所求圆

的方程为22(3) 4.x y -+=. 【答案】22(3)4x y -+=

【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的

直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.

2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.

5．（2010·湖北高考理科·Ｔ9）若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ）

A.[1-,1+

B.[1

C.[-1,1+

D.[1-,3]

【命题立意】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查考生数形结合、运动变化观点的应用和运算求解能力．

【思路点拨】将方程3y = 变形，然后借助函数图像，利用运动变化的观

点得到直线y x b =+

在与曲线3y = 有公共点时b 的取值范围.

【规范解答】选

D.3y =?22

3(2)(3)4

y x y ≤?

?

-+-=?由图可知当直线y x b =+过点（0，3）时b 取最大值3；当直线y x b =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相切且切点在圆的下半部分时对应的b 取最小值.由

(2)(3)4

y x b x y =+?

?

-+-=?消去y 可得22(210)(3)0x b x b +-+-=，由?=0

得1b =-

或1b =+.

6．（2010·江西高考理科·Ｔ８）直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N

两点，若

MN ≥k 的取值范围是( )

A ．3,04??-

???? B ．[)3,0,4?

?-∞-+∞ ??

?

C

．????

D ．2,03??

-????

【命题立意】本题主要考查直线与圆位置关系的判定及利用数形结合法解题的能力. 【思路点拨】方法一：数形结合，利用圆心到直线的距离进行判定.

方法二：联立方程组利用根与系数的关系及弦长公式求解.

【规范解答】选A ．（方法1

）由题意，若使MN ≥1≤d ，即

113232

≤++-k

k ，

解得04

3

≤≤-

k .故选A. （方法2）设点M,N 的坐标分别为

),(),,2211y x y x （，将直线方程和圆的方程联立得方程组???=-+-+=4

)2()3(32

2y x kx y ，消去y 得06)3(2)1(2

2=+-++x k x k ， 由根与系数的关系得1

6

,1)3(22

21221+=?+--=

+k x x k k x x ， 由弦长公式知212

2122124)(1||1||x x x x k x x k MN -+?+=-?+==

1

12

2420164]1)3(2[12

22222

++--=+?-+--?+k k k k k k k ，

32||≥MN ,∴321

12

24202

2≥++--k k k ，即034(8≤+）k k ， ∴04

3

≤≤-k ，故选A.

【跟踪模拟训练】

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a 等于( ) (A)2 (B)1 (C)0 (D)-1

2.夹在两条平行直线l 1：3x-4y=0与l 2：3x-4y-20=0之间的圆的最大面积为( )

(A)2π (B)4π (C)8π (D)16π

3.已知直线l 与直线3x+4y+1=0平行且它们之间的距离为4，如果原点(0，0)位于已知直线与直线l 之间，那么l 的方程为( )

(A)3x+4y=0 (B)3x+4y-5=0 (C)3x+4y-19=0 (D)3x+4y+21=0

4.直角坐标平面内,过点P(2,1)且与圆x 2+y 2=4相切的直线( ) (A)有两条

(B)有且仅有一条 (C)不存在 (D)不能确定

5.直线l 与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a ＜3)相交于两点A,B,弦AB 的中点为D(0,1),则直线l 的方程为( ) (A)x-y+1=0 (B)x+y+1=0 (C)x-y-1=0

(D)x+y-1=0

6．(2010 漳州模拟) ．一束光线从点A(－1, 1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2

＋(y －3)2

=1上一点的最短路程是（ ） A ．32－1 B ．26 C ．5

D ．4

二、填空题(每小题6分，共18分)

7. 已知圆O:x 2+y 2=5和点A(1,2),则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_______.

8.一直线经过点P(1,2),并且与点A(2,3)和B(0,-5)的距离相等,则此直线方程为___________. 9. 过点A(

,1)的直线l 将圆C ：x 2+(y-2)2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率k

等于_______.

三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)

10.已知直线l 1:mx+8y+n=0和直线l 2:2x+my-1=0,分别根据下列情况求实数m 与n 的取值.

(1)l 1与l 2平行; (2)l 1与l 2垂直.

11．（2010安徽名校联考）将圆04222=+-+y x y x 向左平移1个单位，再向上移2个单位，得到圆O ，直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，若圆O 上存在点C ，使)2,1(-=+=λ，求直线l 的方程及对应的点C 的坐标。

12．已知圆M ：

22

(2)1x y +-=，设点,B C 是直线l ：20x y -=上的两点，它们的横坐标分别是,4()t t t R +∈，点P 在线段BC 上，过P 点作圆M 的切线PA ，切点为A ．

（1）若0t =，MP =PA 的方程；

（2）经过,,A P M 三点的圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小值()L t ．

参考答案

1．【解析】选D.方法一:将选项分别代入题干中观察,易求出D 符合要求.故选D.

方法二:∵直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直, ∴a ·(a+2)=-1. ∴a=-1.

2．【解析】选B.夹在两条平行线之间的最大的圆的半径为两平行线间距离的一半,而两平行线间的距离

所以，则圆的最大面积

3．【解析】选C.与直线3x+4y+1=0平行的直线可设为3x+4y+m=0， 由两平行线之间的距离公式可得

即直线方程为3x+4y+21=0或3x+4y-19=0，

原点位于直线l 与直线3x+4y+1=0之间，可将点(0，0)代入两直线解析式，乘积为负的即为所求，故应选C.

4．【解析】选A.∵22+12＞4,

∴点P 在圆外,故过P 作圆的切线可作两条.

5．【解析】选A.圆心C的坐标为(-1,2),AB中点D(0,1)，

∴l的方程为y-1=x-0,

即x-y+1=0,故应选A.

6．【解析】选D.因为点A(－1, 1)关于x轴的对称点坐标为（-1，-1），圆心坐标为（2，3），所以点A(－1, 1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2=1上一点的最短路程为

=

1 4.

7．【解析】∵点A(1,2)在⊙O上,∴过点A且与⊙O相切的直线方程为x+2y=5,

答案：

8．【解析】假设所求直线的斜率存在,则可设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.

由题设有:

即|k-1|=|7-k|,解得k=4.

又所求直线的斜率不存在时,方程为x=1,符合题意.

故所求直线的方程为4x-y-2=0或x=1.

答案：4x-y-2=0或x=1

9．【解析】∵点A(,1)在圆C:x2+(y-2)2=4的内部.

∴当劣弧所对的圆心角最小时,AC⊥l.

答案：

10．【解析】（1）显然两直线的斜率都存在，两条直线的方程可化为

故只需，即

即

两直线平行。

（2）方法一：若两直线的斜率都存在，则可得两条直线的斜率分别为但由于

所以,此时两直线不垂直.

若m=0,则两条直线中一条斜率为0,另一条斜率不存在,于是两直线垂直. 综上可知,当m=0,且n ∈R 时,两直线垂直. 方法二:因为两直线垂直,所以只需2m+8m=0, 即m=0.故当m=0时,两直线垂直.

11．【解析】已知圆5)2()1(0422222=++-=+-+y x y x y x 即， 经平移后圆O 的方程为522=+y x

因为，⊥=-=+=,|,|||)2,1(所以且λ 又2

1

,),2,1//(=-AB k 所以

设直线l 的方程是5,2

1

22=++=

y x m x y 它与圆交于 52

1

),,(),,(222211=++=y x m x y y x B y x A 代入到圆把中并简化得

02044522=-++m mx x

由题意：m m x m x y y m x x 58212154212121=+++=+?-

=+ 所以，)58

,54(m m -=

因为，4

5

5)58)54(22±=?=+-m m m （ 所以，直线l 的方程为0542=+-y x 对应的点C 的坐标为（-1，2） 或直线l 的方程为0542=--y x 对应点C 的坐标为（1，-2）.

12．【解析】（1）设(2,)(02).P a a a ≤≤

(0,2),

M MP=

解得1

a=或

1

5

a=-

（舍去）．

(2,1).

P

∴

由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．

所以直线PA的方程为

1(2)

y k x

-=-，即210.

kx y k

--+= 直线PA与圆M

相切，

1

=

，解得0

k=或

4

.

3

k=-∴直线PA的方程是1

y=或43110.

x y

+-=........6分（2）设

(2,)(24).

P a a t a t

≤≤+

PA

与圆M相切于点A，.

PA MA

∴⊥

∴经过,,

A P M三点的圆的圆心D是线段MP的中点．

(0,2),

M D

∴

的坐标是

(,1).

2

a

a+

设

22222

5524 ().()(1)1().

24455

a

DO f a f a a a a a

=∴=++=++=++当

2

25

t

>-

，即

4

5

t>-

时，

2

min

5

()()1;

2162

t t

f a f t

==++当

2

2

252

t t

≤-≤+

，即

244

55

t

-≤≤-

时，min

24

()();

55

f a f

=-=当

2

2

25

t

+<-

，即

24

5

t<-

时

22

min

515

()(2)(2)(2)138

242216

t t t

f a f t t

=+=++++=++

则

4

5

244

()

55

24

5

t

L t t

t

>-

=-≤≤-

?

<-

.

【备课资源】

2.经过圆C：(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为( )

(A)x-y+3=0 (B)x-y-3=00

(C)x+y-1=0 (D)x+y+3=0

【解析】选A.圆C的圆心坐标为(-1,2),

故所求直线方程为y-2=1·(x+1)，

即x-y+3=0.

3.直线x+y-2=0上的点和圆(x-6)2+(y-6)2=18上的点的最短距离是________.

5. 已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切,

(1)求直线l1的方程；

(2)设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM 交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.

求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.

【解析】(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆O:

x2+y2=1相切,由题意设直线l1的方程为

y=k(x-3),

即kx-y-3k=0,